《線性代數(shù)》 課件 黃先開 第3章 n維向量

《線性代數(shù)》課件第三章

n維向量向量組的線性相關(guān)、線性無關(guān)是線性代數(shù)中一個(gè)非常重要的概念，與線性方程組的理論密切相關(guān)．我們已經(jīng)知道，平面和空間中的向量可分別用二元有序數(shù)組和三元有序數(shù)組來表示．在研究其它問題時(shí)也常遇到有序數(shù)組問題．例如，方程的系數(shù)可以用元有序數(shù)組

來表示．我們抽象出維向量的概念．當(dāng)我們研究線性方程組時(shí)，會(huì)發(fā)現(xiàn)方程組中的各個(gè)方程之間存在一定的關(guān)系，由此引出向量組的線性相關(guān)性及極大無關(guān)組的概念．本章主要介紹維向量及向量組的線性組合、向量組的線性相關(guān)性及向量組的秩．第三章n維向量

§3.1向量組及其線性組合

§3.2向量組的線性相關(guān)性

§3.3向量組的秩一、向量的概念§3.1

向量組及其線性組合二、向量組的線性組合一、向量的概念

定義1

個(gè)數(shù)所組成的有序數(shù)組稱為

維向量，第

個(gè)數(shù)

稱為

維向量的第

個(gè)分量．分量是實(shí)數(shù)的向量稱為實(shí)向量，分量是復(fù)數(shù)的向量稱為復(fù)向量．若維向量寫成一行，則稱為行向量；若維向量寫成一列，則稱為列向量．

事實(shí)上，維行向量是矩陣，維列向量是矩陣．稱向量為向量的負(fù)向量，記作，即．向量常用小寫的黑體希臘字母表示．分量全為零的向量稱為零向量，記作．由于列向量和行向量分別是列矩陣和行矩陣，所以向量的運(yùn)算與矩陣的運(yùn)算類似．

定義2

設(shè)兩個(gè)維向量，若，則稱向量與向量相等，記作．定義3

設(shè)兩個(gè)維向量，，稱向量為向量與向量的和，記作，即由向量加法和負(fù)向量的定義，可定義向量減法．定義4設(shè)維向量，是一個(gè)常數(shù)，稱向量

為數(shù)與向量的積（簡(jiǎn)稱數(shù)乘），記作，即向量的加法和向量的數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算，線性運(yùn)算滿足下列運(yùn)算規(guī)律（是維向量，是實(shí)數(shù)）：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）解

（1）；例1

設(shè)，（1）求；（2）求滿足的．（2）由得

若干個(gè)同維數(shù)的列向量(或同維數(shù)的行向量)所組成的集合稱為向量組．例如，在矩陣中，它的每一行是一個(gè)維行向量，向量組稱為矩陣的行向量組；它的每一列是一個(gè)維列向量，向量組稱為矩陣的列向量組．于是，矩陣可表示為或由上述可知，矩陣的列向量組和行向量組都是只含有限個(gè)向量的向量組．反之，一個(gè)含有限個(gè)同維向量的向量組總可以構(gòu)成一個(gè)矩陣．例如，個(gè)維行向量所組成的向量組，構(gòu)成一個(gè)矩陣；個(gè)維列向量所組成的向量組，構(gòu)成一個(gè)矩陣．可見，矩陣與含有限個(gè)同維向量的有序向量組建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系．考察線性方程組

令，則線性方程組(3.1)可寫成如下向量形式:

(3.1)(3.2)于是，線性方程組(3.1)是否有解，就歸結(jié)為是否存在一組數(shù)，使得下列線性關(guān)系式

成立．因此，可以用向量組來討論線性方程組的問題．二、向量組的線性組合

定義5

給定維向量組:

，對(duì)于任何一組實(shí)數(shù)，稱向量

為向量組的一個(gè)線性組合，稱為這個(gè)線性組合的系數(shù)．定義6給定向量組:和向量，若存在一組數(shù)，使

則稱向量是向量組的線性組合，或稱向量可以由向量組線性表示．由定義6可得：（1）零向量可由任意一組向量線性表示．因?yàn)椋?）向量組中任一向量可以由向量組

線性表示.因?yàn)椋?）任一維向量都可由維單位向量組

線性表示，其中．事實(shí)上，

例2

判斷向量是否可由向量組，，

線性表示？若是，寫出線性表示式．解

設(shè)，則有即，因?yàn)槠湎禂?shù)行列式，由克拉默法則知該方程組有唯一解，解之．因此，向量可以由向量組

線性表示，且有.由例2我們知道，判斷向量能否由向量組：線性表示，轉(zhuǎn)化為方程組

是否有解．例3

判斷向量是否可由向量組，

線性表示？若是，寫出線性表示式．，解

設(shè)則有即，第二個(gè)方程減去第三個(gè)方程得，這與第一個(gè)方程矛盾．所以方程組無解，從而向量不能由向量組線性表示．定義7設(shè)有兩個(gè)向量組及，若向量組中的每個(gè)向量都能由向量組線性表示，則稱向量組能由向量組線性表示．若向量組與向量組能相互線性表示，則稱這兩個(gè)向量組等價(jià)．向量組之間的等價(jià)關(guān)系具有以下性質(zhì)：（1）反身性：任一向量組與它自身等價(jià)．（2）對(duì)稱性：若向量組與向量組等價(jià)，則向量組與向量組等價(jià)．（3）傳遞性：若向量組與向量組等價(jià)，向量組與向量組等價(jià)，則向量組與向量組

等價(jià)．一、向量組線性相關(guān)、線性無關(guān)的概念§3.2

向量組的線性相關(guān)性二、向量組線性相關(guān)性的判定在研究線性方程組的向量形式時(shí)，若每個(gè)方程的右端項(xiàng)都為零，則．一、向量組線性相關(guān)、線性無關(guān)的概念

例如，在齊次線性方程組當(dāng)時(shí)，上式顯然成立．我們關(guān)心的是除了

外，是否存在一組不全為零的數(shù)，使

成立．中，系數(shù)的列向量除了滿足關(guān)系式外，還滿足關(guān)系式．而在齊次線性方程組

中，系數(shù)的列向量只滿足關(guān)系式．由此我們引入下面的概念:定義1

設(shè)向量組，若存在不全為零的數(shù)，使，則稱向量組線性相關(guān)，否則稱向量組線性無關(guān)．注：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，則向量組

線性無關(guān)．前面例子中線性相關(guān)，線性無關(guān)．（2）含有零向量的向量組一定線性相關(guān)．事實(shí)上，對(duì)于向量組，

，任意不等于0的常數(shù)，恒有成立，所以向量組線性相關(guān)．從定義1可知：（1）向量組只含一個(gè)向量時(shí)，線性相關(guān)的充分必要條件是，

線性無關(guān)的充分必要條件是．（3）含兩個(gè)向量的向量組線性相關(guān)的充分必要條件是的對(duì)應(yīng)分量成比例，其幾何意義是兩向量共線．對(duì)于3個(gè)向量線性相關(guān)的幾何意義是三向量共面．例1

判斷向量組的線性相關(guān)性．解設(shè)有三個(gè)數(shù)，使得，即

．于是有

解得，是任意實(shí)數(shù)，不妨取，有．由定義1可知向量組線性相關(guān)．證

設(shè)有三個(gè)數(shù)，使得，即，例2

證明3維單位向量組線性無關(guān)．而方程組的系數(shù)行列式，故方程組只有零解，得，由定義1知向量組線性無關(guān)．同理可證維單位向量組線性無關(guān)．解

設(shè)有三個(gè)數(shù)，使得，即．例3

設(shè)向量組線性無關(guān)，判斷向量組

的線性相關(guān)性．因?yàn)橄蛄拷M線性無關(guān)，所以

而方程組的系數(shù)行列式，故方程組只有零解，即，因此向量組線性無關(guān)．對(duì)于向量組，我們?cè)谘芯克木€性相關(guān)性時(shí)，常常以為列，構(gòu)造矩陣，利用齊次線性方程組有沒有非零解來判定．二、向量組線性相關(guān)性的判定

定理1對(duì)于向量組，設(shè)，則向量組

線性相關(guān)的充分必要條件是齊次線性方程組有非零解；向量組線性無關(guān)的充分必要條件是齊次線性方程組只有零解．推論對(duì)于維向量組，以為列的行列式記為，則向量組線性相關(guān)的充分必要條件是，向量組線性無關(guān)的充分必要條是．例4

判斷向量組的線性相關(guān)性．解以為列構(gòu)造行列式

，由定理1的推論知向量組線性相關(guān)．例5

設(shè)向量組線性無關(guān)，，，，試證向量組線性無關(guān)．證法一

設(shè)有數(shù)，使得，即．因?yàn)橄蛄拷M線性無關(guān)，所以

由于系數(shù)行列式，故方程組只有零解，即，因此向量組線性無關(guān)．證法二

把已知條件寫成矩陣形式

=記作．設(shè)，則．因?yàn)榫仃嚨牧邢蛄拷M線性無關(guān)，所以．又因，所以方程組只有零解.因此矩陣的列向量組線性無關(guān)．定理2向量組()線性相關(guān)的充分必要條件是向量組中至少有一個(gè)向量可以由其余個(gè)向量線性表示．即能由其余個(gè)向量線性表示．充分性．若向量組中至少有一個(gè)向量能由其余個(gè)向量線性表示，不妨設(shè)能由線性表示，即有數(shù)使，于是．因?yàn)椴蝗珵?，所以向量組線性相關(guān)．證

必要性．若向量組線性相關(guān)，則存在不全為零的數(shù)，使．不妨設(shè)，于是有，定理2′向量組()線性無關(guān)的充分必要條件是向量組

中任一向量都不能由其余個(gè)向量線性表示．定理3

若向量組中有一部分向量線性相關(guān)，則向量組

線性相關(guān)．證

不妨設(shè)是向量組的一個(gè)部分組且線性相關(guān)，則存在一組不全為零的數(shù)使得

成立，從而有．由于不全為零，所以向量組線性相關(guān)．定理3′

(定理3的逆否命題)若向量組線性無關(guān)，則其任一部分向量組也線性無關(guān).定理3及定理3′可簡(jiǎn)單敘述為：

部分相關(guān)，整體相關(guān)；整體無關(guān)，部分無關(guān)．定理4

設(shè)維向量組線性無關(guān)，分別是

的維的加長(zhǎng)向量，則線性無關(guān)．證設(shè)，則.令，得定理4′

若加長(zhǎng)向量組線性相關(guān)，則原向量組也線性相關(guān)．例如，3維單位向量組線性無關(guān)，則加長(zhǎng)向量組也線性無關(guān)；向量組,,線性相關(guān)，則向量組 ,,也線性相關(guān)．由上述方程組的前個(gè)方程可得．因?yàn)橄蛄拷M線性無關(guān)，所以，于是向量組

線性無關(guān).定理5設(shè)向量組線性無關(guān)，而向量組線性相關(guān)，則向量可以由向量組線性表示且表示式是唯一的．證

先證向量可以由向量組線性表示．由向量組線性相關(guān)知，存在一組不全為零的數(shù)

使得．下證．若，則上式變?yōu)椋蝗珵榱?，所以向量組線性相關(guān)，與已知矛盾，因此，于是，即向量可以由向量組線性表示．再證表示式是唯一的．設(shè)有兩個(gè)表示式

兩式相減得．由向量組線性無關(guān)可知，，即．故表示式是唯一的．(2)用反證法．假設(shè)能由向量組表示，而由(1)知能由向量組表示，因此能由向量組線性表示，這與向量組線性無關(guān)矛盾．因此不能由向量組線性表示．例6

設(shè)向量組線性相關(guān)，向量組線性無關(guān)，證明:(1)能由向量組線性表示;(2)不能由向量組線性表示．證

(1)因向量組線性無關(guān)，由定理3′知向量組線性無關(guān)，而向量組線性相關(guān)，由定理5知能由向量組

線性表示．定理6若向量組可由向量組線性表示，且，則向量組線性相關(guān)．證

設(shè)有數(shù)，使得．由條件設(shè)，于是由于，從而有非零解．因此向量組線性相關(guān)．即考慮齊次線性方程組定理6′

若向量組可由向量組線性表示，且向量組線性無關(guān)，則．推論設(shè)向量組與向量組等價(jià)，若這兩個(gè)向量組均是線性無關(guān)的，則．一、向量組的極大線性無關(guān)組§3.3

向量組的秩二、向量組的秩一、向量組的極大線性無關(guān)組

我們用消元法求解線性方程組時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)方程組中有些方程是多余的.例如，線性方程組

的第一個(gè)方程的二倍加到第二個(gè)方程上得到第三個(gè)方程．假如刪去第三個(gè)方程，保留其余兩個(gè)方程，得到的方程組

與原方程同解，且第一個(gè)方程與第二個(gè)方程相互獨(dú)立．方程組中每個(gè)方程的三個(gè)系數(shù)做成列向量，分別記為，，則，且線性無關(guān)．由此看出尋找方程組中最多有多少個(gè)不多余的相互獨(dú)立的方程，就相當(dāng)于尋找向量組中最多有多少個(gè)線性無關(guān)的向量．下面引入向量組的極大無關(guān)組的概念:定義1設(shè)向量組A

，若A中存在部分組滿足（1）向量組線性無關(guān)；（2）向量組A中任意個(gè)向量(如果A中有的話)都線性相關(guān)，則稱向量組是向量組A的一個(gè)極大線性無關(guān)向量組(簡(jiǎn)稱極大無關(guān)組)．由極大無關(guān)組的定義知，一個(gè)線性無關(guān)的向量組的極大無關(guān)組就是其本身，含有非零向量的向量組一定有極大無關(guān)組．例如，在向量組中，由于與線性無關(guān)，且，所以向量組是向量組的一個(gè)極大無關(guān)組．同理或也是向量組的一個(gè)極大無關(guān)組．從上例可以看出，向量組的極大無關(guān)組可以不唯一．下面給出極大無關(guān)組的等價(jià)定義：（2）向量組中任意一個(gè)向量都可以由向量組線性表示，則稱向量組是向量組的一個(gè)極大無關(guān)組．，定義2

設(shè)向量組，若A中存在部分組滿足（1）向量組線性無關(guān)；只需證明兩個(gè)定義中的第二個(gè)條件等價(jià)即可．先證定義1定義2．設(shè)個(gè)向量線性相關(guān)，又線性無關(guān)，由§3.2節(jié)定理5知可以由線性表示.顯然可以由線性表示．因此向量組中任意一個(gè)向量都可以由向量組線性表示．再證定義2定義1．任取中向量，由（2）可知，可由向量組線性表示．由§3.2定理6可得，線性相關(guān)．，（1）一個(gè)向量組與其極大無關(guān)組等價(jià)；（2）一個(gè)向量組的任意兩個(gè)極大無關(guān)組都是等價(jià)的，且所含向量個(gè)數(shù)相同．雖然向量組的極大無關(guān)組不唯一，但極大無關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)是唯一的，它反映了向量組內(nèi)在的特性，下面引入向量組的秩的概念．由極大無關(guān)組的等價(jià)定義及§3.2節(jié)定理可得出如下結(jié)論：，二、向量組的秩

定義3

向量組的極大無關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)，稱為向量組的秩，記作．規(guī)定：只含零向量的向量組的秩為0．對(duì)于任一含有非零向量的向量組，它的秩滿足不等式．定理1

若向量組可由向量組線性表示，則．證

設(shè)向量組的一個(gè)極大無關(guān)組為，向量組

的一個(gè)極大無關(guān)組為．因?yàn)橄蛄拷M可由向量組線性表示，所以向量組可由向量組

線性表示．又向量組線性無關(guān)，由§3.2節(jié)定理6′可得，即．．

推論

若向量組與向量組等價(jià)，則．矩陣的行向量組的秩稱為矩陣的行秩，矩陣的列向量組的秩稱為矩陣的列秩．下面給出矩陣的秩與其行秩及列秩的關(guān)系．定理2

矩陣的秩等于它的列秩，也等于它的行秩．證設(shè)，，并設(shè)階子式．根據(jù)§3.2節(jié)定理1的推論1及定理4知，所在的個(gè)列向量線性無關(guān)．下證這個(gè)列向量構(gòu)成是的列向量組的一個(gè)極大無關(guān)組。假設(shè)矩陣的列向量組中存在一個(gè)包含r+1個(gè)列向量的線性無關(guān)組，則取為這個(gè)列向量組中每一個(gè)向量的前r+1個(gè)分量構(gòu)成的的r+1階子式，由§3.2定理1可知，與矛盾.因此所在的個(gè)列向量是

的列向量組的一個(gè)極大無關(guān)組，所以列向量組的秩等于，即矩陣的秩等于它的列秩．類似