《線性代數(shù)》 課件 黃先開 第1章 行列式

《線性代數(shù)》配套課件第一章行列式

§1.1行列式的概念

§1.2行列式的性質(zhì)

§1.3行列式的展開定理§1.4行列式的計算

§1.5克拉默法則§1.1

行列式的概念二階行列式

用消元法解二元線性方程組

得到(假設分母不為零)分子分母都是統(tǒng)一的形式,引入記號并稱之為二階行列式.記憶法則:有了這個記號,原方程組的解可以寫成其中,例1求解二元線性方程組

解

故方程組的解為

,,

三階行列式類似地,在解三元線性方程組時,我們引入三階行列式

記憶法則:例2計算三階行列式解按對角線法則,有例3解方程解

由解得或排列及逆序數(shù)

定義1由組成的一個有序數(shù)組稱為一個n

級排列.例如,3級排列共有種,分別是

定義2在一個n級排列中,若較大的數(shù)排在較小的數(shù)前面，,則稱與構成一個逆序.排列中所有逆序的總數(shù)稱為該排列的逆序數(shù),記為

定義3

稱逆序數(shù)為奇數(shù)的排列為奇排列；稱逆序數(shù)為偶數(shù)的排列為偶排列.例4求排列35142

的逆序數(shù).解從最左邊的數(shù)開始,依次數(shù)一下后面有幾個比它小的數(shù):例5求排列的逆序數(shù).解

定義4在一個n級排列中,交換某兩個元素的位置,而其余元素的位置保持不變,就得到另一個n級排列,稱這種變換為一次對換.

定理1

對一個排列中的任意兩個元素進行一次對換,改變排列的奇偶性.

定理2

全部n(n>1)

級排列中,奇、偶排列的個數(shù)皆為n

階行列式的定義從前面三階行列式的定義可以看出:（1）每一項都是取自不同行不同列的三個元素的乘積；（2）在行標按照自然順序排好后,每一項的符號都取決于列標排列的奇偶性.

定義5把n2個元素組成的記號

稱為n

階行列式,且注意:展開式共有n!項,帶正號和帶負號的項各占一半.n階行列式有時也簡記為或當n=1時,定義一階行列式注意不要與絕對值的記號相混淆.行列式是一個數(shù)!

例6計算n階行列式解根據(jù)行列式的定義,每一項都是取自不同行不同列的元素的乘積.考慮有可能不為零的項,可知只有一種可能,所以主對角線上方的元素都為0

的行列式稱為下三角形行列式.例6中的行列式為下三角形行列式.主對角線下方的元素都為0

的行列式稱為上三角形行列式.主對角線上方和下方都為0

的行列式稱為對角形行列式.同理也有例7計算四階行列式解根據(jù)行列式的定義,取不同行不同列的元素相乘,由于零元素比較多,不為零的項只有一種可能:例8若是五階行列式D的一項,試確定i,j的值.

解由行列式的定義知,是取自不同行不同列的元素,所以

或而題中符號是負號,可知應選

下面給出n階行列式的另一種定義形式：

定理3§1.2

行列式的性質(zhì)轉置

設n階行列式將D

中的行與列互換后所得的n階行列式稱為D的轉置行列式,記作或

性質(zhì)1行列式與它的轉置行列式相等,即由性質(zhì)1可知,在行列式中行與列的地位相同,凡對行成立的性質(zhì)對于列也同樣成立,反之亦然.

性質(zhì)2

互換行列式的兩行（列）,行列式變號.

推論若行列式有兩行（列）元素完全相同,則此行列式等于零.

性質(zhì)3

行列式某一行（列）的所有元素同乘以數(shù)k

,等于用數(shù)k乘此行列式,即

推論1行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式記號的外面.

推論2

行列式中若有兩行（列）的對應元素成比例,則此行列式等于零.

性質(zhì)4

若行列式第i行（列）的各元素都是兩數(shù)之和,則此行列式等于兩個行列式之和,這兩個行列式分別以這兩個數(shù)作為第i行（列）對應位置的元素,其它位置的元素與原行列式相同,即

性質(zhì)5

把行列式某一行（列）的各元素乘以數(shù)k

加到另一行（列）對應的元素上去,行列式不變,即

例1

若求

解利用行列式的性質(zhì),可以將一個復雜的行列式化為上（下）三角形行列式,從而計算出行列式的值.

例2

計算行列式

解

例3

計算行列式

解§1.3

行列式的展開定理

關于二階、三階行列式，不難驗證有下列關系：這樣，可將三階行列式的計算轉化為計算二階行列式.一般地，低階行列式的計算要比高階行列式的計算容易,為了將高階行列式轉化為低階行列式,先引入余子式和代數(shù)余子式的定義.

定義1

在n階行列式中,劃去元素（）所在的第i行和第j列后,剩下的元素按原來的位置構成的n-1

階行列式稱為的余子式,記作；稱為的代數(shù)余子式.

例如,三階行列式

中的元素的余子式和代數(shù)余子式分別為

定理1

n

階行列式等于它的任意一行（列）的各元素與其對應的代數(shù)余子式乘積之和,即或定理1稱為行列式的展開定理,第一式稱為行列式按第i

行展開公式,第二式稱為行列式按第j

列展開公式.例1

按第2

列展開,計算行列式

解

還可以按第1

行展開,得

推論

n

階行列式中某一行（列）的各元素與另一行（列）對應元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零,即

綜合定理1及其推論可得：

例2

設求

解所求式子的系數(shù)是第一列的元素,而是第二列的代數(shù)余子式,由上頁推論得利用行列式的展開定理,可將求一個n階行列式歸結為求n個n-1

階行列式.特別是某行（列）的零元素比較多時（或利用行列式的性質(zhì)化出盡可能多的零元素）,若按此行（列）展開,可簡化行列式的計算.

例3

證明

證可以證明，一般有

例4

計算行列式解先利用行列式的性質(zhì)將第2

行除元素1

外其余元素化為零,再利用定理1

按第3

行展開,得§1.4

行列式的計算

對于行列式,可利用行列式的性質(zhì)化為上三角形行列式來計算,或先利用行列式的性質(zhì)再用行列式的展開定理來計算.

例1

計算行列式

解

方法一：利用行列式的性質(zhì)化為上三角形行列式.(見下頁)

方法二:先利用行列式的性質(zhì)再用行列式的展開定理.根據(jù)行列式的特點下面介紹幾種計算行列式的常用方法.

1．定義法.

當行列式中非零元素較少時,可用行列式定義計算,見§1.1節(jié)例7.

2．降階法（行列式的展開定理）.

當行列式中零元素較多時,可用行列式的展開定理計算,見§1.3節(jié)例3.

3．化三角形法.

利用行列式的性質(zhì)化為上（下）三角形行列式來計算.

例2

計算行列式

解此行列式的特點為各行（列）元素之和相等,可將其余列（行）加到第1列（行）上,再提出公因子:

4．數(shù)學歸納法.

例3

證明范德蒙德(Vandermonde)行列式

證用數(shù)學歸納法.當n=2

時,結論成立.假設結論對于n-1階范德蒙德行列式成立,(接下頁)下面要證明結論對n

階范德蒙德行列式也成立.為此,設法把Dn

降階：從第n

行開始,前一行的-x1

倍加到后一行,有由已提出的公因子和歸納法假設,即得結論.

例4

求解方程

解方程左式為3

階范德蒙德行列式，由例3的結果得故方程的解為：§1.5克拉默法則定理1(克拉默(Cramer)法則)若n

元線性方程組的系數(shù)行列式

則方程組有唯一解:

其中

例1

解線性方程組

解