湖南省株洲市第三中學(xué)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末質(zhì)量檢測考試數(shù)學(xué)試題

2024年高一第一學(xué)期期未質(zhì)量檢測考試數(shù)學(xué)時量：120分鐘滿分：150分得分：__________.一?選擇題（本大題共8個小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題意的）1.已知集合，則（）A.B.C.D.2.函數(shù)的定義域為（）A.B.C.D.3.已知是第四象限角，且，則（）A.B.C.D.4.若，設(shè)，則的大小關(guān)系為（）A.B.C.D.5.若函數(shù)在區(qū)間上存在零點，則實數(shù)的取值范圍為（）A.B.C.D.6.若函數(shù)的圖象的兩個對稱中心的最短距離為，則的值為（）A.B.C.D.7.已知分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且為自然對數(shù)的底數(shù)，則下列命題中真命題的個數(shù)為（）①的最大值為1；②；③；④方程有唯一實數(shù)根.（）A.0B.1C.2D.38.已知函數(shù)若存在最小值，則實數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.二?多選題（本大題共3個小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.已知，則下列不等式恒成立的是（）A.B.C.D.10.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.在區(qū)間上單調(diào)遞增B.的圖象關(guān)于點對稱C.若，則的最小值為D.若，則11.已知奇函數(shù)的定義域為，且，若對于任意的且，都有，則（）A.的圖象關(guān)于直線對稱B.4為函數(shù)的一個周期C.在區(qū)間上單調(diào)遞減D.當(dāng)且時，恒有三?填空題（本大題共3個小題，每小題5分，共15分）12.計算：__________.13.魯洛克斯三角形（又稱勒洛三角形）是一種特殊三角形，具有神奇的性質(zhì)，在機械加工業(yè)上有廣泛的應(yīng)用，它可以用來制作車輪、鉆出方形孔等，分別以正三角形的頂點為圓心，邊長為半徑作圓弧，由這三段圓弧組成的曲邊三角形就是魯洛克斯三角形.如圖是一個魯洛克斯三角形，其中的長度為，則中間正三角形的面積為__________.14.已知函數(shù)若函數(shù)有四個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是__________，若這四個零點有如下關(guān)系，，則的取值范圍是__________.四?解答題（本大題共5個小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15.（本題滿分13分）已知角，角的終邊過點.（1）求與的值；（2）求的值.16.（本題滿分15分）設(shè)函數(shù).（1）若，證明：函數(shù)為奇函數(shù)；（2）若，對任意，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.17.（本題滿分15分）近年來，伴隨著騎行運動的蓬勃興起，越來越多的體育愛好者投身于騎行的行列中，“2024環(huán)太湖國際公路自行車賽”更是為廣大騎行愛好者提供了一場精彩絕倫的體育盛宴.科學(xué)研究表明：騎行運動一般分為兩個階段，第一階段為前1小時的穩(wěn)定階段，第二階段為調(diào)整階段.現(xiàn)一體重為60千克的專業(yè)騎行運動員進行4小時騎行訓(xùn)練，假設(shè)其穩(wěn)定階段是速度為的勻速運動，該階段每千克體重消耗體力（表示該階段所用時間），調(diào)整階段由于體力消耗過大，速度變?yōu)榈臏p速運動（表示該階段所用時間）.調(diào)整階段速度降低，體力得到一定恢復(fù)，該階段每千克體重消耗體力，已知該運動員初始體力為，不考慮其他因素，所用時間為（單位：h），請回答下列問題：（1）請寫出該運動員剩余體力關(guān)于時間的函數(shù)；（2）該運動員在4小時內(nèi)何時體力達到最低值，最低值為多少？18.（本題滿分17分）已知函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，且函數(shù)的圖象的相鄰兩條對稱軸間的距離為.（1）求函數(shù)的解析式；（2）求函數(shù)的值域；（3）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，再把橫坐標(biāo)縮小為原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，記方程在區(qū)間上的根從小到大依次為，，求的值.19.（本題滿分17分）已知定義域為的函數(shù)，若存在實數(shù)，使得對任意，都存在滿足，則稱函數(shù)具有性質(zhì).（1）判斷下列函數(shù)是否具有性質(zhì)，并說明理由；①；②.（2）若函數(shù)在區(qū)間上具有性質(zhì)，求實數(shù)的取值范圍；（3）若存在唯一的實數(shù)，使得函數(shù)，在區(qū)間上具有性質(zhì)，求實數(shù)的值.2024年高一第一學(xué)期期來質(zhì)量撿測考試數(shù)學(xué)參考答案題號1234567891011答案ACBCBACDBCACDABD一?選擇題（本大題共8個小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題意的）1.A【解析】，故選A.2.C【解析】由題意得，解得，故選C.3.B【解析】，由是第四象限角得，故選B.4.C【解析】，故選C.5.B【解析】在區(qū)間上單調(diào)遞增，且存在零點，得，故選B.6.A【解析】設(shè)函數(shù)的最小正周期為，由題意可知，可得，則，故選A.7.C【解析】由題意可知又分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，則解得，故①錯誤；，故②錯誤；，故③正確；，，解得，故④正確.故選C.8.D【解析】在上單調(diào)遞減，且，而在上單調(diào)遞增，要使存在最小值，結(jié)合分段函數(shù)的圖象可得：，即，故選D.二?多選題（本大題共3個小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.BC【解析】對于A，，但與不能比較大小，故A不一定成立；對于B，，故B成立；對于C，由題意得，故C成立；對于D，由，但符號不確定，故D不一定成立.10.ACD【解析】選項A：令，解得，故的單調(diào)遞增區(qū)間為，取，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，故選項A正確；選項B：令，則，取，則有，因此的圖象關(guān)于點對稱，故選項B不正確；選項C：若，則在和處分別取最大值和最小值，因此，故，選項C正確；選項D：若，則是函數(shù)的零點，故，選項D正確.11.ABD【解析】選項A：因為是定義在上的奇函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，由，得的圖象關(guān)于直線對稱，由對稱性可知，函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱，故A正確；選項B：由與，得，所以，則4為函數(shù)的一個周期，故B正確；選項C：因為對于任意的且，都有，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，又函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱，則在上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，因為的圖象關(guān)于直線對稱，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，故C錯誤；選項D：由上可知點是的對稱中心，又因為，所以，故D正確.三?填空題（本大題共3個小題，每小題5分，共15分）12.6【解析】原式.13.【解析】設(shè)中間正三角形的邊長為，則有，解得，所以.14.（第1空2分，第2空3分）【解析】由圖象可知，要使函數(shù)有四個不同的零點，即方程有四個不同的解，則需.由二次函數(shù)的對稱性可知，，由對數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)可知，，則，函數(shù)在上遞減，在上遞增，故其值域為.四?解答題（本大題共5個小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15.【解析】（1）.由三角函數(shù)的定義，.（2），，，，所以.16.【解析】（1）當(dāng)時，函數(shù)，因為，則，所以的定義域為，對任意，有，所以是奇函數(shù).（2）當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，證明如下：證明：（法一）當(dāng)時，恒成立，故函數(shù)定義域為，任取，且，則，因為，所以在上單調(diào)遞增.（法二）當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，從而函數(shù)在上單調(diào)遞增.因為對任意恒成立，所以恒成立，①當(dāng)時，顯然成立；②當(dāng)時，得.綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.17.【解析】（1）由題意寫出速度關(guān)于時間的函數(shù)代入與公式可得即（2）①穩(wěn)定階段中單調(diào)遞減，此過程中；②調(diào)整階段，則有，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以調(diào)整階段中體力最低值為，由于，因此該運動員在時，體力達到最低值，為.18.【解析】（1）由題意，函數(shù)，因為圖象的相鄰兩條對稱軸間的距離為，所以最小正周期，可得，因為函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，所以圖象過點，可得，所以，因為，所以，所以函數(shù).（2），令，則，所以原函數(shù)可化為，因為對稱軸是直線，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，即的值域是.（3）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，可得，再把橫坐標(biāo)縮小為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)，（法一）由方程，可得，所以，或，即或，因為，且，所以，符合題意，所以.（法二）對于方程，方程的根可以轉(zhuǎn)化成在區(qū)間上的零點，由的圖象可知函數(shù)有6個零點，且相鄰的兩個零點關(guān)于對稱軸對稱.令，得，因為，所以這五條對稱軸分別為，所以.19.【解析】（1）①函數(shù)不具有性質(zhì).理由如下：對于，取，對于任意，有，所以不存在滿足，所以函數(shù)不具有性質(zhì).②函數(shù)具有性質(zhì).理由如下：因為的定義域與值域均為，所以對于任意，有，則必存在，使得，即成立.所以函數(shù)具有性質(zhì).（2）因為函數(shù)在區(qū)間上具有性質(zhì)，所以對任意，都存在使得，即，可得，因為，所以，又，所以，即解得，所以實數(shù)的取值范圍為.（3）由題意，對于任意，存在滿足，所以，由，則，設(shè)的