2024年數(shù)學新高考新結構新題型二十一大考點及答案

新題型新高考新結構二十一大考點匯總

命題趨勢

高考數(shù)學全國卷的考查內(nèi)容、考杳范圍和考查要求層次與比例均與課程標準保持致注重考查內(nèi)容的全面性的

同時，突出主干、重點內(nèi)容的考杳，通過依標施考，引導中學教學依標施教。

調整布局，打破固化模式。高考數(shù)學堅持穩(wěn)中有變，通過調整試卷結構，改變相對固化的試題布局優(yōu)化試題設

計，減少學生反復刷題、機械訓練的收益，竭力破除復習備考中題海戰(zhàn)術和題型套路，發(fā)揮引導作用。

熱考題型解讀

題型1集合新考點

題型2復數(shù)新考點

題型3函數(shù)選圖題新考點

題型4比較大小新考點

題型5數(shù)列小題新考點

題型6排列組合小題新考點

題型7圓錐曲線小題新考點

題型8導數(shù)周期與對稱新考點

題型9抽象函數(shù)類新考點

題型10函數(shù)導數(shù)新考點

題型11不等式新考點

題型12立體幾何小題新考點

題型13統(tǒng)計概率小題新考點

題型14三角函數(shù)小題新考點

題型15實際應用相關新考點

題型16三角函數(shù)解答題新考點

題型17立體幾何解答題新考點

題型18數(shù)列解答題新考點

題型19統(tǒng)II概率解答題新考點

題型20圓錐曲線解答題新考點

題型21九省聯(lián)考類19題

?M

【題型1集合新考點】

例（2024?浙江溫州?高三期末）設集合U=R,A=,則圖中陰影部分表

xx-2<]B=xy=In（1-x）

示的集合為（）

A.{x|x>1}B.{x[1x<2}C.{x[0<xWl}I）.{x|xW0）

【變式訓練】

題目1（2024?安徽省?高三模擬）（多選）卜列選項中的兩個集合相等的有（）.

A.P=x|x=2n,nEZ,Q=x|x=2n+1,nEZ

B.P=x|x=2n-1,n€N|.,Q=x|x=2n+l,nEN

i+（-1）n

C.P=xIx2-x=0,Q=x|x=—1——

',nez

D.P=x|y=x+1,Q=\y|y=x+1

題目2（2024?江蘇四校聯(lián)合?高三期水）設全集為U定義集合A的運算：A*B=xlx^AUB且

xAAB,貝MA*B）*A=（）

A.AB.BC.An[uBD.Bn[uA

題目[3]（2024?$琰南通?高三期末）定義集合運算八。8=z|z=xy（x-y）,x€A,yGB，集錦=0,1,B

=2,3,貝噪合AOB所有元素之和為

題目4（2024?江蘇南通?高三期末）已知X為包含v個元素的集合（v￡N*,v23）AX一

子集（含有三個元素的子集）組成的集合，使得X中的任意兩個不同的元素，都恰好福時勰1在陰彳騰落

元子集中，則稱X,A組成一個v階的Steiner三元系.若X,A為一個7階的Steiner三元系，則集合A

中元素的個數(shù)為______.

【題型2復數(shù)新考點】

J+察in，ntzN*Hz>。，則n的最小值為（

例（2023?全國?統(tǒng)考模擬預測）己知復數(shù)2=)

A.1B.3C.6D.9

【變式訓練】

—"2023

題目1（多選）（2024上?云南?高三校聯(lián)考階段練習）若復數(shù)z=「則（）

A.z的共枕復數(shù)z=2=B.|z|=￡

nn

C.復數(shù)z的虛部為-±iD.復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點在第四象限

0

題目2（多選）（2024上?江西宜春?高三上高二中?？茧A段練習）設z為復數(shù)，則下列命題中正確的是（）

A.z2=zzB.若z=（l-2i）2,則復平面內(nèi)z對應的點位于第二象限

C.z2=z2D.若z=1,則z+i的最大值為2?M

題目3（多選）（2024匕云南德宏?高二統(tǒng)考期末）已知z是復數(shù)z的共枕復數(shù)，則下列說法正確的是（）

A.z■z=z2B.若|z|=1,貝作=±1

C.|z-z|=|z|?|z|D.若|z+1|=1,則z-1|的最小值為1

題目4（多選）（2024上?河南南陽?高三統(tǒng)考期末）設復數(shù)z=-J-孚i的共扼復數(shù)為z,則下列結論正確的

乙乙

有（）

A_2nL..2又z_1

A.z-cos-^-+isin-^-B.----

33Z22

C.—I）,z2+z2=2

ZT

【題型3函數(shù)選圖題新考點】

例工（2024?浙江?高三期末）已知函數(shù)對任意的xGR有f（x）+f（-x）=6,且當x>0時，f（x）=ln（x+1）;貝崎

數(shù)f（x）的圖象大致為（）

【變式訓練】

題目1（2024?浙江寧波?高三期末）函數(shù)f（x）=四%+xcosx在［-2",2丸］上的圖象大致為（）

ex|

A.B.

?M

題目3（2024?安徽?高三期末）若將Iny=lnx+lny-x確定的兩個變量y與x之間的關系看成y=fx，則

題目4（2023上?湖北?高三校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)fx的定義域為-oo.oUQ+oo,

I.當X〈。時fx=財X的大致圖象為（）

【題型4比較大小新考點】

2_（2。24?遼寧重點高中?頤預測）設a-b=IOsin（H,c=忌仃，則（）

例

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【變式訓練】

題目1卜2024?物四校聯(lián)合?高三期末）設2=》『2111尊+c%>CT射，則）

A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.a<c<b

題目2（2024?吉林?高三期末）已知a=sin%b='cos=In5貝I］（）

A.c<a<bB.c<b<aC.b<c<aD.b<a<c

題目3）（2024?全卦模擬預測）已知a=e*,b=1+sin耨c=LI，則a,b,c的大小關系為（）

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a

題目」（2023?山東臨沂?統(tǒng)考一模）已知x=號丫=八，乂=睡2，則（）

A.x<y<zB.y<x<zC.z<x<yD.z<y<x

【題型5數(shù)列小題新考點】

“約率”竽與“密率”

例（2024上?北京房山?高三統(tǒng)考期末）數(shù)學家祖沖之曾給出圓周率n的兩個近似值:

黑.它們可用“調日法”得到：稱個于3.1415926的近似值為弱率，大于3.M15927的近似值為強率.由于1

llo1

<n<±,皿為弱率，4為強率，計算得ai=1,故1為強率，與上一次的弱率3計算得a=答

=平，腸2為強率，繼續(xù)計第，若某次得到的近似值為強率，與二一次的弱率繼續(xù)計算得到新的近似值:

若某次得到的近似值為弱率，與上一次的強率繼續(xù)計算得到新的近似值，依此類推已知am=等，則m=

O

）

A.8B.7C.6D.5?M

【變式訓練】

題目1（2023?山東煙臺?統(tǒng)考二模）給定數(shù)列A,定義A上的加密算法行：當為奇數(shù)時，將A中各奇數(shù)項的意

均增加i,各偶數(shù)項的值均減去1：當為偶數(shù)時，將A中各偶數(shù)項的值均增加2i,各奇數(shù)項的值均減去2,并記

新得到的數(shù)列為fi（A）iGN*.設數(shù)列2023,5,7數(shù)列Bn=fnBn.,,n^N*B

;數(shù)列B2n的所有項的和為.'貝嬲"2為

題目2（2024江西省九師聯(lián)盟）在1,3中間插入二者的乘枳，得到1,3,3,稱數(shù)列1,3,3為數(shù)列1,3的第一次

擴展數(shù)列，數(shù)列1,3,3,9,3為數(shù)列1,3的第二次擴展數(shù)列，重復上述規(guī)則，可得l,x“X2…，X20?1,3為數(shù)

歹lj1,3的第n次擴展數(shù)列，令ak1O&31Xx丫x/…XX2.-1X3,則教列an的通項公式為.

題目13卜2023上?廣東深圳?）若系列橢圓（；潤渦2+丫2=1（。＜緣＜1,n￡N*）的離心率e=則a=

（）

A-1-TnB.1-；nC.Jl-+nD.^1--n

_____4

題目4（2024上?浙江溫州?高三）漢諾塔（又稱河內(nèi)塔）問題是源于印度一個古老傳說的益智玩具如圖所示目

標柱起始柱輔助柱的漢諾塔模型，有三根高度相同的柱子和一些大小及顏色各不相同的圓盤，三根柱子分別

為起始柱、輔助柱及目標柱.已知起始柱上套有n個圓盤，較大的圓盤都在較小的圓盤下面現(xiàn)把圓盤從起始

柱全部移到目標柱上，規(guī)則如下：每次只能移動一個圓盤，且每次移動后，每根柱上較大的圓盤不能放在較小

的圓盤上面.規(guī)定一個圓盤從任一根柱上移動到另一根柱上為一次移動.若將n個圓盤從起始柱移動到目標

柱上最少需要移動的次數(shù)記為p（n）,貝從3）=?°P⑴=.

目標柱起始柱輔助柱

題目5（2024卜?卜海?）已知等差數(shù)冽an（公差不為0）和等差數(shù)列bn的前n項和分別為S、丁..如果關干

x的實系數(shù)方程1003X2-S1003X+X=0有實數(shù)解，那么以下1003個方程x2-a「+瓦=0i=1,2,-■■1003

中，有實數(shù)解的方程至少有（）個.

A.499B.500C.501D.502

【題型6排列組合小題新考點】

例（2023?貴州?校聯(lián)考模擬預測）公元五世紀，數(shù)學家祖沖之估計圓周率員的值的范圍:3.1415926<父<

3.1415927,為紀念祖沖之在圓周率的成就，把3.1415926稱為“祖率”，這是中國數(shù)學的偉大成就某小學教

師為幫助同學們/解“祖率”，讓同學們把小數(shù)點后的7位數(shù)字1,4,1,5,9,2,6進行隨機排列，整數(shù)部分3不

變，那么可以得到小于3.14的不同數(shù)字的個數(shù)有（）

A.240B.360C.600D.720

【變式訓練】

題目「（2023?寧夏銀川?銀川一中?？家荒＃﹫D為一個開關陣列，每個開關只有“開”和“關”兩種狀態(tài)，按其中

一個開關1次，將導致自身和所有相鄰的開關改變狀態(tài).例如，按2,2將導致L2,21，22,23,

3,2改變狀態(tài).如果要求只改變1,1的狀態(tài)，則需按開關的最少次數(shù)為（）

1213

Z12223

313233

A.5B.6C.7D.8

題目2（2023?高工課時練習）小于300的所有末尾是1的三位數(shù)的和等于.

題目［3（2024?遼寧重點高中?高三模擬）在一個圓周上有8個點，用四條既無公共點又無交點的弦連結它們，則

連結方式有種.

懣目14（2024?江蘇省四校聯(lián)合?高三模擬）（多選）若m,n為正整數(shù)且n>m>1,則（）

A3

A.C?=B.C/二箸C.mC『=（n-D.A^+mA1"-^Ara

??nnn+1

【題型7圓錐曲線小題新考點】

例（2023上?上海浦東新?高三華師大二附中校考階段練習）已知圓錐曲線Jfx,y=1關于坐標原點。對

稱，定點P的坐標為xo,yo.給出兩個命題：①若0<fxftyo<1,則曲線T上必存在兩點A,B,使得P為線

段AB的中點：②若fxayo=0,則對曲線「上任一點A,「上必定存在另外一點B,使得PA=PB.其

中（）

A.①是假命題，②是真命題B.①是真命題，②是假命題

C.①②都是假命題D.①②都是真命題

【變式訓練】

題目1（2023?貴州畢節(jié)?校考模擬預測）加斯帕爾-蒙日是1819世紀法國著名的幾何學家.如圖，他在研究

國錐曲線時發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點都在同?個圓上，其圓心是橢圓的中心，這個圓被

稱為“蒙日圓”.若長方形G的四邊均與橢圓M:蕓+（?=1相切，知下列說法錯誤的是（）

A.橢圓M的離心率為、,：B.橢圓M的蒙日圓方程為x2+y2=io

C.若G為正方形，則G的邊長為2§D.長方形G的面枳的最大值為18

題目2（多選）（2023?廣東茂名?統(tǒng)考二模）阿波羅尼奧斯是古希臘著名的數(shù)學家，與歐兒里得、阿基米德齊名，

他的著作《圓錐曲線論》是占代世界光輝的科學成果，它將圓椎曲線的性質網(wǎng)羅殆盡，幾乎使后人沒有插足的

余地.其中給出了拋物線一條經(jīng)典的光學性質：從焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過拋物線上的一點反射后，反射光線平

行于拋物線的軸.此性質可以解決線段和的最值問題，已知拋物線C:y2一乙PXpzuMf是拋物戰(zhàn)上的動

刷的葉甲小42,下列說法正確的是（）

?M

A.C的方程為y2=xB.C的方程為y2=2x

C.MF+MN的最小值為9D.MF+MN的最小值為"

題目3（2024江西九師聯(lián)盟）阿波羅尼斯（約公元前262年~約公元前190年），古希臘著名數(shù)學家，主要著作

有《圓錐曲線論》、《論切觸》等，尤其《圓錐曲線論》是?部經(jīng)典巨著，代表了希臘幾何的最高水平，此書集前人

之大成，進一步提出了許多新的性質，其中也包括圓錐曲線的光學性質，光線從雙曲線的一個焦點發(fā)出，通過

x2y2,

雙曲線的反射，反射光線的反向延長線經(jīng)過其另一個焦點，已知雙曲線C：芯■一薩=la>°,b>°的左、右

焦點分別為L，其離心率為e=區(qū)從F發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線C的右支上一點E的反射，反射光線為

EP,若反射光線與入射光線垂直，則sin/F，E=

A.B.gC.1D.辛

6555

題目［4）（2024?浙江寧波?高三期末）（多選）已知0為坐標原點,曲線Lx2'3x2一丫2&

Pxffy為曲線「上動點，則（）6'’22'

A.曲折關于y軸對稱B.曲線「的圖象具有3條對稱軸

C.yoem春D.0P的最大值為ga

【題型8導數(shù)周期與對稱新考點】

G）的定義域均為R，宓（X）=f（X）制1-2x）

皿二（2024?陜西西安?統(tǒng)考一模）己知函數(shù)f（x）及其導函數(shù)f

+4x為偶函數(shù)，g（x+2）=g（x-4）,j3g-y=0,賺1+g（4）=（）

A.4B.6C.8D.10

【變式訓練】

題目1（2023上?四川?高三校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)fx及其導函數(shù)fx的定義域均為口住X—1

為

奇函數(shù)，f2-x+fx=-2,f-1=-2,則f2i-l=（）

i=i

A.-28B.-26C.-24D.-22

題目2卜2024上?浙江寧波?高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)fx的定義域為R,J3fx+yfxfy=fx+y

2024

fK-fy,f1二后貝ijfk=（）

k=l

A.2024B.1012VTC.FI）.0

題目3|（2024上?山東淄博?高三統(tǒng)考期末）己知函數(shù)fx,gx的定義域都為R,gX為旦xg

x的定義域也為R,且fx+gx=2,fx-g4-x=2,卷x為偶函數(shù)，則下列結論群舞數(shù)的

個數(shù)為（）

①f4=2②g2=0③fl=f3f-1+f-3=4

④?M

A.1B.2C.3D.4

題目4(多選)(2024上?河南溪河?高三統(tǒng)考期末)已知函數(shù)f(x)及其導函數(shù)F(x)的定義域均為R,若函數(shù)7

=f(3-2x)為奇函數(shù)，函數(shù)y=g-f(x+2)為偶函數(shù)，g(x)=/(x),則()

A.g(0)=VB.g(4)=JC.g(0)+g(2)=D.g(4)-g(6)=

JJJJ

【題型9抽象函數(shù)類新考點】

例】【2024九省聯(lián)考第11題】已知函數(shù)f*"此又取'K，坊wo,薦x+y+fxfy=4x，，則

■)

A.f-y=0B.fy=~2

C-函數(shù)fX-y是偶函數(shù)D,函數(shù)fx+｝是減函數(shù)

【變式訓練】

22

題目1(2022?新高考H)已知函數(shù)f(x)的定義域為R,代(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),f(l)=1,則f(k)

k=l

=()

A.-3B.-2C.0D.1

題目2J(2023?玉林三模)函數(shù)fxk任意x,y￡R總有fx+y=fx+fy,當(<0時，fx<0,f1

=y，則下列命題中正確的是()

A.fX是偶函數(shù)

B.fx是R上的減函數(shù)

C.fx在-6,6上的最小值為-2

D.若fx+fx-32-1,則竭的取值范圍為3,+8

題目3)已知函數(shù)fx的定義域D為-8,0uQ+8,fx在-8,(|上單調遞減，且對任意的x,3@D,

都有fxix2=fxi+fx2-1,若對任意的x￡1,+8,不等式fax-fInx>f1T恒成立，貝！J實數(shù)

a的取值范圍是____.

題目￡)(2024?江蘇南通?高三模擬)(多選)已知函數(shù)fx的定義域為R,且'x+yfx-y=f2x-f2y,

f1=W，f2x+/為偶函數(shù)，則()

A.f(0)=0B.fx為偶函數(shù)

2023

C.f(3+x)=-f(3-x)D.f(k)=y/2

k=l

【題型10函數(shù)導數(shù)新考點】

L(多選)(2022?山東荷澤?統(tǒng)考一模)對圓周率我的計算幾乎貫穿了整個數(shù)學史.占希臘數(shù)學家阿基米德(公

元前287-公元前212)借助正96邊形得到著名的近似值：予我國數(shù)學家祖沖之(430-501)得出近似

值翳后米人何圻需<10-6,這是一個“令人吃驚的好結果”.隨著科技的發(fā)展，計算兀的方法

越來越多.已知n=3.141592653589793238462643383279502…，定"nn￡N的值為下的小數(shù)點后第

n個位置上的數(shù)字，如f1=1,f4=5,規(guī)超0=3.記儀n=fn,fk+1n=fkf

合Ak為函數(shù)fknn￡N的值域，則以下結論正確的有()

A.Aj=0,1,2,3,4,5,67,8,9B.A3=1,2,3,4,5,6,9

C.對VkGN*,1GAkD.對Vk￡N*,Ak中至少有兩個元素

【變式訓練】

*目［1(2024?高三?期末)(多選)在平面直角坐標系中，將函數(shù)f(x)的圖象繞坐標原點逆時針旋轉a(0<a<

90)后，所得曲線仍然是某個函數(shù)的圖象，則稱f(x)為％旋轉函數(shù)”.那么()

A.存在90旋轉函數(shù)B.80旋轉函數(shù)一定是7。旋轉函數(shù)

C.若g(x)=ax+上為45°旋轉函數(shù)，貝1=1D.若h(x)=史為45施傳函數(shù)，則-e2WbW0

xex

題目2(2024?遼寧重點高中?高三模擬)為了激發(fā)同學們學習數(shù)學的熱情，某學校開展利用數(shù)學知識設計

LOGO的比賽，其中某位同學利用函數(shù)圖像的一部分設計了如圖的LOGO,那么該同學所選的函數(shù)最有可

B.fx=sinx-xcosx

D.fx=sinx+x3

3(2024?遼寧重點高中?高三模擬)如圖是古箏鳴箱俯視圖，鳴箱有多根弦，每根弦下有一只弦碼，弦碼乂

叫雁柱，用于調節(jié)音高和傳振.圖2是根據(jù)圖1繪制的古箏弦及其弦碼簡易直觀圖.在直觀圖中，每根弦都

垂直于x軸，左邊第一根弦在y軸上，相鄰兩根弦間的距離為1,弦碼所在的曲線(又稱為雁柱曲線)方程為y

=L1S第i(n￡N,第)根弦表示與y軸重合的弦)根弦分別與雁柱曲線和直線l:y=x+l交于點A…

20

和BnXRX，則y..yn=()參考數(shù)據(jù)：］J22一cn

C.914D.1000

題目4(2024-江西省吉安市?高三模擬)(多選)定義：對于定義在區(qū)間I上的函數(shù)f(x)和正數(shù)a(oW1),若

存在正數(shù)M,使得不等式fxi-f:<2WMxrx2對任意恒成立，則稱函數(shù)f(x)I

a階李普希茲條件，則下列說法正確的有()在區(qū)間上滿足

A.函數(shù)f(x)=次一在［1,+8)上滿足1階李普希茲條件

B.若函數(shù)Mx)=xlnx在［1,c］上滿足一階李普希茲條件，則M的最小值為c

C.若函數(shù)f(x)在［&b］上滿足M=k(0<k<1)的一階李普希茲條件，且方程f(x)=x在區(qū)間［a,b］上有解

X。，貝取促方程f(x)=x在區(qū)間kb］上的唯一解?M

D.若函數(shù)Mx）在[0,1]上滿足M=1的一階李普希茲條件，且f（0）=f⑴，則對任意函數(shù)f（x）,Vx,斗e2[0,

1],恒f%-fxW）

【題型11不等式新考點】2

1（2020下?浙江溫州?高三溫州中學校考階段練習）已知正實數(shù)x,y,z>0,貝此=maxx,L+max義工

例

-yx

1OQ

的最小值為：B=maxx,—+maxy,—+maxz,—的最小值為.

--------yzx-------

【變式訓練】

題目112024九省聯(lián)考】以maxM表示數(shù)集M中最大的數(shù).設0<a<b<c<1,已知322a或a+bW：,

則maxb-a,c-b,1-c的最小值為______.

題目12（2024?浙江寧波?高三期末）設實數(shù)x,y滿足x>/y>3,不等式X2x-3y-3W8x3丁丫3一

-3y2恒成立，則實數(shù)k的最大值為（）

A.12B.24C.20D.40

題目$（2018?河南?高三競賽）已知a、b、c均為正數(shù)，則min強血的最大值為

題目4（2018?全國?高三競賽）設非負實數(shù)x、y、z滿足x+y+z=l.則1=行h4T產(chǎn)+?^0的最

小值為

題目5（2023?全國?高三專題練習）設fx,y,z=*$+常義+z2x-y,其中x、y、z20,

1+z+3x

且x+y+z=l.求fx,y,z的最大值和最小值.

?M

【題型12立體幾何小題新考點】

例」（2024?浙江省溫州?高.三）（多選）“牟合方蓋”是由我國古代數(shù)學家劉徽首先發(fā)現(xiàn)并采用的?種用于計算球

底體積的方法，當一個正方體用圓柱從縱橫兩側面作內(nèi)切圓柱體時，兩圓柱體的公共部分即為“牟合方蓋”，

他提出“牟合方蓋”的內(nèi)切球的體積與“牟合方蓋”的體積比為定值.南北朝時期祖眶提出理論：“緣喜勢既

同，則積不容異”，即“在等高處的截面面積總是相等的幾何體，它們的體積也相等”，并算出了“牟合方蓋”和

球的體積.其大體思想可用如圖表示，其中圖1為校長為2r的正方體截得的“牟合方蓋”的八分之圖2

為棱長為2r的正方體的八分之一，圖3是以底面邊長為r的正方體的一個底面和底面以外的一個頂點隼的

四極錐，則根據(jù)祖眶原理，下列結論正確的是：（）

A.若以一個平行于正方體上下底面的平面，截“牟合方蓋”，截面是一個圓形

B.圖2中陰影部分的面積為H

C.“牟合方蓋”的內(nèi)切球的體積與“牟合方蓋”的體積比為九4

D.由棱長為2r的正方體截得的“牟合方蓋體積為嵯聲

【變式訓練】

題目1（2024?高三期木）如圖，將正四棱臺切割成九個部分，其中一個剖分為長方體，四個部分為直三棱柱，四

一個部分為四棱錐.已知每個直三棱柱的體積為3,每個四棱錐的體積為1,則該正四棱臺的體積為（）

題目［2（2024?高三期末）已知直線BC垂直單位圓0所在的平面，口直線BC交單位圓于點A,AB=BC=

1,P為單位留上除A外的任意一點，1為過點P的單位圓0的切線，則（）

A.有且僅有一點P使二面角B-1-C取得最小值

B.有且僅有兩點P使二面角B-1-C取得最小值

C.有且僅有一點P使二面角B-1-C取得最大值

D.有且僅有兩點P使二面角B-1-C取得最大值?M

題目3（2024?遼寧重點高中?高三模擬）表而枳為好的球內(nèi)切于圓錐，則該圓錐的表面枳的最小值為（）

A.4nB.831C.12nD.16n

題目4（2024?遼寧重點高中?高三模擬）（多選）在空間直角坐標系中，有以卜.兩條公認事實：

（1；過點PoX“<0,且以J=a,b,cabcHO為方向向量的空間直纜的方程為-~~—=Yy°=

ab

z-zo

_?9

c

+

⑵過點Px^y/o,Ji，=m,n,tmnt#0為法向量的平面a的方程為mx-x。+ny-y0

tz-=0.

KJ沖TUUU；X丁/y丁JZ-O'l：2xy=119_i.x-1,y_z/\

?3廠2Z=1'1'X7—2z,l3.--T（）

A.11aB.12aC.13aI）.li±a

【題型13統(tǒng)計概率小題新考點】

例也（2024?浙江省溫州）在研究急剎車的停車距離問題時，通常假定停車距離等于反應距離（di,單位：m）與制

動距離（d2,單位：m）之和.如圖為某實驗所測得的數(shù)據(jù)，其中“KFH”表示剎車時汽車的初速度v（單位：

km/h）.根據(jù)實驗數(shù)據(jù)可以推測，下面四組函數(shù)中最適合描述dpdqv的函數(shù)關系的是（）

_____?制期”1

22

A.di=av,d2=B4B.dj=av,d2=0vC.di=a4，d?=BvD.dj=ayv,d2=0v

【變式訓練】

題目1（2024?河北省?高三模擬）現(xiàn)有甲、乙兩組數(shù)據(jù)，每組數(shù)據(jù)均由六個數(shù)組成，其中甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3,

方差為5,乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5,方差為3.若將這兩組數(shù)據(jù)混合成?組，則新的?組數(shù)據(jù)的方差為（）

A.3.5B.4C.4.5D.5

題目2（2022下?山西運城?高二校聯(lián)考日段練習）已知n為滿足T=a+C1皿?+C鐮?+C薪；+…+C2022a>3

能被9整除的正整數(shù)a的最小值，則x2-X丁乙廠,n的展開式中含Xio的項的系數(shù)為2也

題目j）（2022?貴州?高二統(tǒng)考競賽）嫡，“愛心”是由曲線CM'丫2一乙1丫15市C2：y|=cosx+lSWxW

五）所圍成的封閉圖形，在區(qū)域。=（x,y）強乂冬a內(nèi)任取一點A,則A取自“愛心”內(nèi)的概率P=

陋目4（2018?全國?高三競賽）設n為正整數(shù).從集合1,2,…,2015中任取一個正整數(shù)n恰為方程:=

1+得的解的概率為（x表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù)）.

【題型14三角函數(shù)小題新考點】

例工（2024浙江省溫州高三）已知函數(shù)fx=asin2x+bcos2xabWO的圖象關于直線*二2寸稱，若存在

xbx》xn,『齪fXi-f>e+-+fx-1-fX=24b,22,n￡N.,則）的

最小值為（）

A.6B.7C.8D.9

【變式訓練】

題目1（2024?遼宇重點高中?高三模擬）（多選）已知對任意角Q,B均有公式sin2a+sin2B=

2sma+Bcosa-B.設aABC的內(nèi)角A,B,C滿足sin2A+sinA-B+C=sinC-A-B+■面

積S滿足1WSW2記a,b,c分別為A,B,C所對的邊，則下列式子一定成立的是（）

A.sinAsinBsinC=5B.2^-^—^2^

4sinA

C.8WabcW16VS'D.beb+c>8

題目2（2024-江蘇南通?高三模擬）（多選）若函數(shù)fx=2sin2xlo&sinx+2cos2x1。詼cosx,貝lj（

A.fx的最小正周期為兀B.fx的圖像關于直線乂=聲寸稱

C.fx的最小值為-1D.fx的單調遞減區(qū)間為2附1+2kn,k€Z

題目3（2024-江蘇南通?高三模擬）函數(shù)f（x）=Jr病人a￡R）的最小值

題目4（2024?河北省?高三模擬）蚊香具有悠久的歷史，我國蚊否的發(fā)明與占人端午節(jié)的習俗有關如圖為某

校數(shù)學社團用數(shù)學軟件制作的“蚊香”.畫法如下：在水平直線上取長度為1的線段AB,作一個等邊三角形

ABC,然后以點B為圓心，AB為半徑逆時針畫圓孤交線段CB的延長線于點D（第一段圓弧），再以點C為圓

心，CI）為半徑逆時針畫圓弧交線段AC的延長線于點E,再以點A為圓心，AE為半徑逆時針畫圓弧……

以此類推，當?shù)玫降摹拔苗P恰好有15段圓弧時，“蚊香”的長度為（）

?M

D.80丸

題目5（2024?浙江?高三期末）已知0<xKX2<；3<4兀，僦fX=sinx在點x,§inxji=1,2,3處的切線

均經(jīng)過坐標原點，則（）

+c…tanx____idiiA

.tanx1/3?tanx1、s

A.-----x------B.------/——--C.Xi+X3<2x2D.x+x>2x

XIX3XIX3132

【題型15實際應用相關新考點】

例工（2024?浙江溫州?高三）著名數(shù)學家、物理學家牛頓曾提出：物體在空氣中冷卻，如果物體的初始溫度為

飛°C,空氣溫度為nC,則分鐘后物體的溫度0（單位：°C）滿足：0=?！?eft.若常數(shù)k=0.D5,空

氣溫度為30C,某物體的溫度從90c下降到50C,大約需要的時間為（）（參考教據(jù)：ln3~l.l）

A.16分鐘B,18分鐘C.20分鐘D.22分鐘

【變式訓練】

題目1（2024上?河南?高三校聯(lián)考期末）據(jù)科學研究表明，某種玫瑰花新鮮程度y與其花朵凋零時間1（分鐘）

（在植物學上t表示從花朵完全綻放時刻開始到完全凋零時刻為止所需的時間）近似滿足函數(shù)關系式：y=b?

2點（b為常數(shù)），若該種玫瑰花在凋零時間為10分鐘時的新鮮程度為；，則當該種玫瑰花新鮮程度為）時，

其凋零時間約為（參考數(shù)據(jù)：Ig2-O3）（）

A.3分鐘B.30分鐘C.33分鐘D.35分鐘

題目2（2024上?北京房山?高三統(tǒng)考期末）保護環(huán)境功在當代，利在千秋，良好的生態(tài)環(huán)境既是自然財富，也是

經(jīng)濟財富，關系社會發(fā)展的潛力和后勁某工廠將生產(chǎn)產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放，已知過濾過程中的污染

物的殘留數(shù)量P（單位：空米/升）與過濾時間t（單位：小時）之間的函數(shù)關系為P=Poe-,其中為常

數(shù)，k>0,P0為原污染物數(shù)量.該工廠某次過濾廢氣時，若前9個小時廢氣中的污染物恰好被過濾掉80%,那

么14m夜灶般3小叼，成4架初削我用史PiZJ原沖能初則（資芍效骷：41-7I~0.585)()

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A.12%B.10%C.9%D.6%

題目3（2023上?寧夏銀川?高三寧夏育才中學?？茧A段練習）“開車不喝酒，喝酒不開車.”，飲酒駕駛和醉酒駕

駛都是根據(jù)駕駛人員血液、呼氣酒精含量來確定，經(jīng)過反復試驗，?般情況下，某人喝?瓶啤酒后血液中的酒

精含量值fx隨著時間x（小時）的變化規(guī)律，可以用函數(shù)模型fx=40sinTX+13>O'、（？來擬