中考數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)題型訓(xùn)練壓軸題22以四邊形新定義為背景的閱讀材料壓軸題（原卷版）

壓軸題22以四邊形新定義為背景的閱讀材料壓軸題例1．（2022春?玄武區(qū)期末）【概念認(rèn)識】在四邊形ABCD中，∠A＝∠B．如果在四邊形ABCD內(nèi)部或邊AB上存在一點P，滿足∠DPC＝∠A，那么稱點P是四邊形ABCD的“映角點”．【初步思考】（1）如圖①，在四邊形ABCD中，∠A＝∠B，點P在邊AB上且是四邊形ABCD的“映角點”．若DA∥CP，DP∥CB，則∠DPC的度數(shù)為°；（2）如圖②，在四邊形ABCD中，∠A＝∠B，點P在四邊形ABCD內(nèi)部且是四邊形ABCD的“映角點”，延長CP交邊AB于點E．求證：∠ADP＝∠CEB．【綜合運用】在四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝α，點P是四邊形ABCD的“映角點”，DE、CF分別平分∠ADP、∠BCP，當(dāng)DE和CF所在直線相交于點Q時，請直接寫出∠CQD與α滿足的關(guān)系及對應(yīng)α的取值范圍．例2．（2022?長沙模擬）有一組對角相等的凸四邊形稱為“對等四邊形”，連接這兩個相等對角的頂點的線段稱為“對等線”．（1）如圖1，已知四邊形ABCD是“對等四邊形”，AC是“對等線”，且AB＝BC．求證：AD＝CD；（2）如圖2，四邊形ABCD中，∠ADC＝120°，∠ABC＝150°．且AD⊥BD，BC=22，BD①求證：四邊形ABCD是“對等四邊形”；②試求AC2．（3）如圖3，對等四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠A＝90°，AD上存在點E，滿足AE=CD，連結(jié)BE并延長交CD的延長線于點F，BE與AD交于點G，連結(jié)CE，CE＝BG．若AD＝2，tan∠ADB①cos∠F的值；②△DEF的周長，（請選擇一個進(jìn)行解答）．例3．（2023?秦都區(qū)校級三模）【了解概念】定義提出：有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做“等鄰邊四邊形”．【理解運用】（1）如圖1，在3×3的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的頂點稱為格點，每個小正方形的邊長均為1，線段AB、BC的端點均在格點上，在圖1的方格紙中畫出一個等鄰邊四邊形ABCD，要求：點D在格點上；（2）如圖2，在等鄰邊四邊形ABCD中，AB＝AD＝4，∠A＝60°，∠ABC＝90°，BC=33，求CD【拓展提升】（3）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點A、C分別在x、y軸正半軸上，已知OC＝4，OA＝6，D是OA的中點．在矩形OABC內(nèi)或邊上，是否存在點E，使四邊形OCED為面積最大的“等鄰邊四邊形”，若存在，請求出四邊形OCED的最大面積及此時點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．1．（2022秋?開江縣校級期末）在平面直角坐標(biāo)系中，P（a，b）是第一象限內(nèi)一點，給出如下定義：k1=ab和k2=ba（1）求點P（6，2）的“傾斜系數(shù)”k的值；（2）①若點P（a，b）的“傾斜系數(shù)”k＝2，請寫出a和b的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②若點P（a，b）的“傾斜系數(shù)”k＝2，且a+b＝3，求OP的長；（3）如圖，已知點A（2，2），B（4，2），C（4，4），D（2，4），P（a，b）是四邊形ABCD上任意一點．試說明是否存在使點P的“傾斜系數(shù)”k為32的點．若存在，請自己寫出這樣的點P2．（2023?定遠(yuǎn)縣校級一模）定義：我們知道，四邊形的一條對角線把這個四邊形分成了兩個三角形，如果這兩個三角形相似（不全等），我們就把這條對角線叫做這個四邊形的“相似對角線”．（1）如圖1，△ABC的三個頂點均在正方形網(wǎng)格中的格點上，若四邊形ABCD是以AC為“相似對角線”的四邊形，請只用無刻度的直尺，就可以在網(wǎng)格中畫出點D，請你在圖1中找出滿足條件的點D，保留畫圖痕跡（找出2個即可）（2）①如圖2，在四邊形ABCD中，∠DAB＝90°，∠DCB＝135°，對角線AC平分∠DAB．請問AC是四邊形ABCD的“相似對角線”嗎？請說明理由；②若AC=10，求AD?AB（3）如圖3，在（2）的條件下，若∠D＝∠ACB＝90°時，將△ADC以A為位似中心，位似比為5：2縮小得到△AEF，連接CE、BF，在△AEF繞點A旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)CE所在的直線垂直于AF時，請你直接寫出BF的長．3．（2022秋?鎮(zhèn)海區(qū)校級期末）如圖，四邊形ACDE是證明勾股定理時用到的一個圖形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED邊長，易知AE=2c，這時我們把關(guān)于x的形如ax2+2cx+b＝0的一元二次方程稱為“勾系一元二次方程請解決下列問題：（1）判斷下列方程是否是“勾系一元二次方程”：①2x2+5x+1＝0（填“是”或“不是”②3x2+52x+4＝0（填“是”或“不是”）（2）求證：關(guān)于x的“勾系一元二次方程”ax2+2cx+b（3）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax2+2cx+b＝0的一個根，且四邊形ACDE的周長是12，求△ABC4．（2022秋?龍崗區(qū)校級期末）定義：有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做“等鄰邊四邊形”，回答下列問題．（1）如圖1，四邊形ABCD中，∠A＝90°，AB＝1，CD=2，∠BCD＝∠DBC，判斷四邊形ABCD是不是“等鄰邊四邊形”（2）如圖2，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝1，現(xiàn)將Rt△ABC沿∠ABC的平分線BB′方向平移得到△A′B′C′，連接AA′，BC′，若平移后的四邊形ABC′A′是“等鄰邊四邊形”，求BB'的長．5．（2023春?義烏市校級期中）類比等腰三角形的定義，我們定義：有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做等鄰邊四邊形．【概念理解】如圖1，在四邊形ABCD中，添加一個條件使得四邊形ABCD是“等鄰邊四邊形”．請寫出你添加的一個條件．（只寫一個即可）【問題探究】如圖2，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝1，將△ABC沿∠ABC的平分線BB′的方向平移，得到△A′B′C′，連接AA′、BC′，若平移后的四邊形ABC′A′是等鄰邊四邊形，求平移的距離（直接寫出答案）．【拓展應(yīng)用】如圖3，等鄰邊四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD+∠BCD＝90°，AC，BD為對角線，△BCD為等邊三角形，試給出AC和AB的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．6．（2023春?江油市月考）定義：我們把一組對邊平行另一組對邊相等且不平行的四邊形叫做等腰梯形．【性質(zhì)初探】如圖1，已知，?ABCD，∠B＝80°，點E是邊AD上一點，連結(jié)CE，四邊形ABCE恰為等腰梯形．求∠BCE的度數(shù)；【性質(zhì)再探】如圖2，已知四邊形ABCD是矩形，以BC為一邊作等腰梯形BCEF，BF＝CE，連結(jié)BE、CF．求證：BE＝CF；【拓展應(yīng)用】如圖3，?ABCD的對角線AC、BD交于點O，AB＝2，∠ABC＝45°，過點O作AC的垂線交BC的延長線于點G，連結(jié)DG．若∠CDG＝90°，求BC的長．7．（2023春?西城區(qū)校級期中）平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形ABCD的四個頂點坐標(biāo)分別為：A（?12，12），B（?12，?12），C（12，?12），D（12，12），P、Q是這個正方形外兩點，且PQ＝1．給出如下定義：記線段PQ的中點為T，平移線段PQ得到線段P'Q'（其中P'，Q'分別是點P，Q的對應(yīng)點），記線段P'Q'的中點為T．若點P'和Q'分別落在正方形ABCD的一組鄰邊上，或線段P'Q'與正方形ABCD的一邊重合，則稱線段TT'長度的最小值為線段PQ到正方形ABCD的“回歸距離（1）如圖1，平移線段PQ，得到正方形ABCD內(nèi)兩條長度為1的線段P1Q1和P2Q2，這兩條線段的位置關(guān)系為；若T1，T2分別為P1Q1和P2Q2的中點，則點（填T1或T2）為線段PQ到正方形ABCD的“回歸點”；（2）若線段PQ的中點T的坐標(biāo)為（1，1），記線段PQ到正方形ABCD的“回歸距離”為d1，請直接寫出d1的最小值：，并在圖2中畫出此時線段PQ到正方形ABCD的“回歸點”T'（畫出一種情況即可）；（3）請在圖3中畫出所有符合題意的線段PQ到正方形ABCD的“回歸點”組成的圖形．8．（2022秋?興化市校級期末）我們給出如下定義：若一個四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方，則稱這個四邊形為勾股四邊形，這兩條相鄰的邊稱為這個四邊形的勾股邊．（1）寫出你所學(xué)過的特殊四邊形中是勾股四邊形的兩種圖形的名稱；（2）如圖1，已知格點（小正方形的頂點）O（0，0），A（3，0），B（0，4），請你畫出以格點為頂點，OA，OB為勾股邊且對角線相等的勾股四邊形OAMB；（3）如圖2，將△ABC繞頂點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△DBE，連接AD，DC，∠DCB＝30°．求證：DC2+BC2＝AC2，即四邊形ABCD是勾股四邊形．9．（2021秋?永豐縣期末）定義：我們把兩條對角線互相垂直的四邊形稱為“垂美四邊形”．特例感知：（1）如圖1，四邊形ABCD是“垂美四邊形，如果OA=OD=13OB，OB＝2，∠OBC＝60°，則AD2+BC2＝，AB2+CD2猜想論證（2）如圖1，如果四邊形ABCD是“垂美四邊形”，猜想它的兩組對邊AB，CD與BC，AD之間的數(shù)量關(guān)系并給予證明．拓展應(yīng)用：（3）如圖2，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE，BG，GE，已知AC＝4，∠BAC＝60°，求GE長．（4）如圖3，∠AOB＝∠COD＝90°，∠ABO＝∠CDO＝30°，∠BOC＝120°，OA＝OD，OC=3，連接AC，BC，BD，請直接寫出BC10．（2022秋?東城區(qū)校級月考）點P（x1，y1），Q（x2，y2）是平面直角坐標(biāo)系中不同的兩個點，且x1≠x2，若存在一個正數(shù)k，使點P，Q的坐標(biāo)滿足|y1﹣y2|＝k|x1﹣x2|，則稱P，Q為一對“限斜點”，k叫做點P，Q的“限斜系數(shù)”，記作k（P，Q）．由定義可知，k（P，Q）＝k（Q，P）．例：若P（1，0），Q（3，12），有|0?12|=14|1﹣3|，所以點P，Q為一對“限斜點”，且“已知點A（1，0），B（2，0），C（2，﹣2），D（2，12（1）在點A，B，C，D中，找出一對“限斜點”：，它們的“限斜系數(shù)”為；（2）若存在點E，使得點E，A是一對“限斜點”，點E，B也是一對“限斜點”，且它們的“限斜系數(shù)”均為1．求點E的坐標(biāo)；（3）正方形對角線的交點叫做中心，已知正方形EFGH的各邊與坐標(biāo)軸平行，邊長為2，中心為點M（0，m）．點T為正方形上任意一點，若所有點T都與點C是一對“限斜點”，且都滿足k（T，C）≥1，直接寫出點M的縱坐標(biāo)m的取值范圍．11．（2022?南京模擬）對于平面直角坐標(biāo)系xOy中的圖形M，N，給出如下定義：P為圖形M上任意一點，Q為圖形N上任意一點，如果P，Q兩點間的距離有最小值，那么稱這個最小值為圖形M，N間的“鄰近距離”，記為d（圖形M，圖形N），已知點A（﹣2，﹣2），B（3，﹣2），C（3，3），D（﹣2，3）．（1）d（點O，線段AB）＝；（2）若點G在軸上，且d（點G，線段AB）＞2，求點G的橫坐標(biāo)a的取值范圍；（3）依次連接A，B，C，D四點，得到正方形ABCD（不含圖形內(nèi)部），記為圖形M，點E（t，0），點F（0，12?t）均不與點O重合，線段EO，OF組成的圖形記為圖形N，若1＜d（圖形M，圖形N）＜2，直接寫出12．（2022春?海淀區(qū)校級期中）對于平面直角坐標(biāo)系xOy中的圖形W1和圖形W2．給出如下定義：在圖形W1上存在兩點A，B（點A，B可以重合），在圖形W2上存在兩點M，N（點M、N可以重合）使得AM＝2BN，則稱圖形W1和圖形W2滿足限距關(guān)系．（1）如圖1，點C（1，0），D（﹣1，0），E（0，3），點F在CE上運動（點F可以與C，E重合），連接OF，DF．①線段OF的最小值為，最大值為；線段DF的取值范圍是．②在點O，D中，點與線段CE滿足限距關(guān)系．（2）如圖2，正方形ABMN的邊長為2，直線PQ分別與x軸，y軸交于點Q，P，且與x軸正方向的夾角始終是30°，若線段PQ與正方形ABMN滿足限距關(guān)系，求點P的縱坐標(biāo)a（a＞0）的取值范圍；（3）如圖3，正方形ABMN的頂點均在坐標(biāo)軸上，A（0，b）（b＞0），G，H是正方形邊上兩點，分別以G，H為中心作邊長為1的正方形，與正方形ABMN的四邊分別平行．若對于任意的點G，H，以G，H為中心的正方形都滿足限距關(guān)系，直接寫出b的取值范圍．13．（2022?匯川區(qū)模擬）定義：有一組對角互補(bǔ)的四邊形叫做“對補(bǔ)四邊形”，例如：四邊形ABCD中，若∠A+∠C＝180°或∠B+∠D＝180°，則四邊形ABCD是“對補(bǔ)四邊形”．【概念理解】（1）如圖1，四邊形ABCD是“對補(bǔ)四邊形”．①若∠A：∠B：∠C＝3：2：1，則∠D＝度．②若∠B＝90°．且AB＝3，AD＝2時．則CD2﹣CB2＝．【類比應(yīng)用】（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝CB，BD平分∠ADC．求證：四邊形ABCD是“對補(bǔ)四邊形”．14．（2022春?曾都區(qū)期末）定義：我們把對角線相等的凸四邊形叫做“等角線四邊形”．（1）在已經(jīng)學(xué)過的“①平行四邊形；②矩形；③菱形；④正方形”中，一定是“等角線四邊形”的是（填序號）；（2）如圖1，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，且EC＝DF，連接EF，AF，求證：四邊形ABEF是等角線四邊形；（3）如圖2，已知在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，D為線段AB的垂直平分線上一點，若以點A，B，C，D為頂點的四邊形是等角線四邊形，求這個等角線四邊形的面積．15．（2022春?長汀縣期末）在平面直角坐標(biāo)系中，如果點p（a，b）滿足a+1＞b且b+1＞a，則稱點p為“自大點”：如果一個圖形的邊界及其內(nèi)部的所有點都不是“自大點”，則稱這個圖形為“自大忘形”．（1）判斷下列點中，哪些點是“自大點”，直接寫出點名稱；p1（1，0），p2(2（2）如果點N（2x+3，2）不是“自大點”，求出x的取值范圍．（3）如圖，正方形ABCD的初始位置是A（0，6），B（0，4），C（2，4），D（2，6），現(xiàn)在正方形開始以每秒1個單位長的速度向下（y軸負(fù)方向）平移，設(shè)運動時間為t秒（t＞0），當(dāng)正方形成為“自大忘形”時，求t的取值范圍．16．（2022春?北侖區(qū)期末）定義：對角線相等的四邊形稱為對美四邊形．（1）我們學(xué)過的對美四邊形有、．（寫出兩個）（2）如圖1，D為等腰△ABC底邊AB上的一點，連結(jié)CD，過C作CF∥AB，以B為頂點作∠CBE＝∠ACD交CF于點E，求證：四邊形CDBE為對美四邊形．（3）如圖2，對美四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，AC＝BD，DC∥AB．①若∠AOB＝120°，AB+CD＝6，求四邊形ABCD的面積．②若AB?CD＝6，設(shè)AD＝x，BD＝y(tǒng)，試求出y與x的關(guān)系式．17．（2022春?江北區(qū)期末）定義：對于一個四邊形，我們把依次連結(jié)它的各邊中點得到的新四邊形叫做原四邊形的“中點四邊形”．如果原四邊形的中點四邊形是個正方形，我們把這個原四邊形叫做“中方四邊形”．概念理解：下列四邊形中一定是“中方四邊形”的是．A．平行四邊形B．矩形C．菱形D．正方形性質(zhì)探究：如圖1，四邊形ABCD是“中方四邊形”，觀察圖形，寫出關(guān)于四邊形ABCD的兩條結(jié)論：；．問題解決：如圖2，以銳角△ABC的兩邊AB，AC為邊長，分別向外側(cè)作正方形ABDE和正方形ACFG，連結(jié)BE，EG，GC．求證：四邊形BCGE是“中方四邊形”；拓展應(yīng)用：如圖3，已知四邊形ABCD是“中方四邊形”，M，N分別是AB，CD的中點，（1）試探索AC與MN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（2）若AC＝2，求AB+CD的最小值．18．（2022春?銅山區(qū)期末）新定義：若四邊形的一組對角均為直角，則稱該四邊形為對直四邊形．（1）下列四邊形為對直四邊形的是（寫出所有正確的序號）；①平行四邊形；②矩形；③菱形，④正方形．（2）如圖，在對直四邊形ABCD中，已知∠ABC＝90°，O為AC的中點．①求證：BD的垂直平分線經(jīng)過點O；②若