2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第八章立體幾何初步8.3.1棱柱棱錐棱臺(tái)的表面積和體積課時(shí)作業(yè)新人教A版必修第二冊(cè)

PAGE1-8.3.1棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積一、選擇題1．已知正六棱柱的高為6，底面邊長為4，則它的表面積為()A．48(3＋eq\r(3))B．48(3＋2eq\r(3))C．24(eq\r(6)＋eq\r(2))D．144解析：由題意，知側(cè)面積為6×6×4＝144，兩底面積之和為2×eq\f(\r(3),4)×42×6＝48eq\r(3)，所以表面積S＝48(3＋eq\r(3))．答案：A2．正方體ABCD－A1B1C1D1中，以頂點(diǎn)A、C、B1、D1為頂點(diǎn)的正三棱錐的全面積為4eq\r(3)，則該正方體的棱長為()A.eq\r(2)B．2C．4D．2eq\r(2)解析：設(shè)正方體棱長為a，側(cè)面的對(duì)角線長為eq\r(2)a，所以正三棱錐A－CB1D1的棱長為eq\r(2)a，其表面積為4×eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2)a)2＝4eq\r(3)，可得a2＝2，即a＝eq\r(2).答案：A3．棱長為a的正方體中，連接相鄰面的中心，以這些線段為棱的八面體的體積為()A.eq\f(a3,3)B.eq\f(a3,4)C.eq\f(a3,6)D.eq\f(a3,12)解析：棱長為a的正方體中，連接相鄰面的中心，以這些線段為棱的八面體事實(shí)上是兩個(gè)底面相等的正四棱錐，四棱錐的底面是正方形面積的一半，高為正方體高的一半，故八面體的體積為2×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×a×a×eq\f(1,2)×a＝eq\f(a3,6)，故選C.答案：C4．某幾何體的直觀圖及其相應(yīng)的度量信息如圖所示，則該幾何體的表面積為()A．20＋4eq\r(2)B．24C．24＋4eq\r(2)D．28解析：由直觀圖可知，該幾何體的上部為一正四棱錐，下部為一正方體，正方體的棱長為2，正四棱錐的底面為正方形，其邊長為2，正四棱錐的高為1，所以此幾何體的表面積為5×2×2＋4×eq\f(1,2)×2×eq\r(2)＝20＋4eq\r(2).答案：A二、填空題5．若正四棱錐的底面邊長為2eq\r(2)cm，體積為8cm3，則它的側(cè)面面積為________．解析：∵該正四棱錐底面邊長為2eq\r(2)cm，體積為8cm3，∴該四棱錐的高為3cm，∴側(cè)面等腰三角形的高為eq\r(32＋\r(2)2)＝eq\r(11)(cm)，S側(cè)＝4×eq\f(1,2)×2eq\r(2)×eq\r(11)＝4eq\r(22)(cm2)．答案：4eq\r(22)cm26.如圖所示的三棱錐，則該三棱錐的體積是______．解析：由題圖知，底面三角形是腰長為2，底邊長為2eq\r(3)的等腰三角形，三棱錐的高為1，故該三棱錐的體積V＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2\r(3)×\r(22－\r(3)2)))×1＝eq\f(\r(3),3).答案：eq\f(\r(3),3)7.如圖，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D為棱AA1的中點(diǎn)，若截面△BC1D是面積為6的直角三角形，則此三棱柱的體積為________．解析：設(shè)AC＝a，CC1＝b，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2＋\f(1,4)b2))×2＝a2＋b2，解得b2＝2a2，又截面△BC1D是面積為6的直角三角形，則eq\f(1,2)×eq\f(3,2)a2＝6，∴a2＝8，故此三棱柱的體積為eq\f(1,2)a2×eq\f(\r(3),2)×b＝eq\f(\r(3),4)×8×4＝8eq\r(3).答案：8eq\r(3)三、解答題8．已知棱長為a，各面均為等邊三角形的四面體S－ABC如圖所示，求它的表面積．解析：因?yàn)樗拿骟wS－ABC的四個(gè)面是全等的等邊三角形，所以四面體的表面積等于其中任何一個(gè)面面積的4倍．不妨求△SBC的面積，過點(diǎn)S作SD⊥BC，交BC于點(diǎn)D，如圖所示．因?yàn)锽C＝SB＝a，SD＝eq\r(SB2－BD2)＝eq\r(a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2)＝eq\f(\r(3),2)a，所以S△SBC＝eq\f(1,2)BC·SD＝eq\f(1,2)a×eq\f(\r(3),2)a＝eq\f(\r(3),4)a2.故四面體S－ABC的表面積S＝4×eq\f(\r(3),4)a2＝eq\r(3)a2.9．正四棱臺(tái)兩底面邊長分別為20cm和10cm，側(cè)面面積為780cm2，求其體積．解析：正四棱臺(tái)的大致圖形如圖所示，其中A1B1＝10cm，AB＝20cm，取A1B1的中點(diǎn)E1，AB的中點(diǎn)E，則E1E為斜高．設(shè)O1，O分別是上、下底面的中心，則四邊形EOO1E1為直角梯形．∵S側(cè)＝4×eq\f(1,2)×(10＋20)×EE1＝780(cm2)，∴EE1＝13cm.在直角梯形EOO1E1中，O1E1＝eq\f(1,2)A1B1＝5cm，OE＝eq\f(1,2)AB＝10cm，∴O1O＝eq\r(132－10－52)＝12(cm)．∴該正四棱臺(tái)的體積為V＝eq\f(1,3)×12×(102＋202＋10×20)＝2800(cm3)．[尖子生題庫]10.如圖，組合體下面是一個(gè)直三棱柱．△A1B1C1為等腰直角三角形，BC＝CE＝2.上面是一個(gè)三棱錐，且AA1⊥底面A1B1C1，且AE＝A1E＝3，求組合體的表面積和體積．解析：下面是一個(gè)直三棱柱，由題意可知S底＝eq\f(1,2)·2·2＝2S側(cè)面＝S長方形BB1C1C＋S梯形CC1A1A＋S梯形BB1A1A＋S△ABC＝2×3＋eq\f(1,2)(3＋6)·2＋eq\f(1,2)(3