平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角課件人教A必修

平面向量數(shù)量積本節(jié)課我們將學習平面向量數(shù)量積的坐標表示、模和夾角，并運用這些知識解決相關(guān)問題。什么是向量及其數(shù)量積向量既有大小又有方向的量。數(shù)量積兩個向量運算的結(jié)果是一個標量，它的大小等于兩個向量模的乘積與它們夾角的余弦值的積。向量的坐標表示在平面直角坐標系中，可以用一對有序?qū)崝?shù)來表示一個向量，稱為向量的坐標表示。例如，向量a的起點為O，終點為A，則a的坐標表示為(x,y)，其中x是向量a在x軸上的投影，y是向量a在y軸上的投影。向量的模及其計算定義向量a的模是指向量a的長度，記作|a|。計算設(shè)向量a=(x,y)，則|a|=√(x2+y2)向量的夾角及其計算1角度2公式3例子兩個非零向量之間的夾角是指這兩個向量始點重合時所成的角，且這個角的度數(shù)在0度到180度之間。向量夾角的計算公式為：cosθ=(a·b)/(|a||b|)，其中a和b分別代表兩個向量，θ代表它們的夾角。角度的三角函數(shù)定義1正弦在直角三角形中，一個銳角的對邊與斜邊的比叫做這個銳角的正弦，記作sin2余弦在直角三角形中，一個銳角的鄰邊與斜邊的比叫做這個銳角的余弦，記作cos3正切在直角三角形中，一個銳角的對邊與鄰邊的比叫做這個銳角的正切，記作tan向量夾角的三角函數(shù)表示1定義當兩個非零向量$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow$的夾角為$\theta$時，有：$\cos\theta=\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow}{||\overrightarrow{a}||||\overrightarrow||}$2應(yīng)用根據(jù)向量數(shù)量積的坐標表示，可以將向量夾角的余弦值用向量的坐標表示出來。這在計算向量夾角時非常方便。3舉例例如，已知$\overrightarrow{a}=(1,2)$，$\overrightarrow=(3,4)$，求$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow$的夾角$\theta$。$\cos\theta=\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow}{||\overrightarrow{a}||||\overrightarrow||}=\frac{(1,2)\cdot(3,4)}{\sqrt{1^2+2^2}\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{11}{5\sqrt{5}}$向量數(shù)量積的應(yīng)用力學計算功、機械能電磁學計算電場力、磁場力幾何求角、判斷垂直關(guān)系判斷兩個向量的關(guān)系垂直當兩個向量的數(shù)量積為0時，這兩個向量垂直。平行當兩個向量的數(shù)量積等于它們的模的乘積時，這兩個向量平行。反向當兩個向量的數(shù)量積等于它們的模的乘積的負數(shù)時，這兩個向量反向。向量數(shù)量積性質(zhì)及計算實例1交換律對于任意兩個向量a和b，有a·b=b·a.分配律對于任意三個向量a，b和c，有a·(b+c)=a·b+a·c.結(jié)合律對于任意一個實數(shù)k和兩個向量a和b，有(ka)·b=k(a·b)=a·(kb).向量數(shù)量積性質(zhì)及計算實例21性質(zhì)若兩個向量a、b反向，則a·b<02實例設(shè)a=(1,2)，b=(-2,-4)，則a·b=-2-8=-10向量數(shù)量積性質(zhì)及計算實例31性質(zhì)3a·a=|a|22證明利用定義進行推導(dǎo)3應(yīng)用求向量模長的平方向量數(shù)量積在平面幾何中的應(yīng)用1計算線段長度利用向量數(shù)量積可以計算兩個點之間的距離，即線段長度。判斷垂直關(guān)系兩個向量垂直的充要條件是它們的向量數(shù)量積為0。求解角的大小利用向量數(shù)量積可以求解兩個向量的夾角。向量數(shù)量積在平面幾何中的應(yīng)用2計算三角形面積利用向量數(shù)量積可以計算三角形面積，公式為：S=1/2*|a*b|，其中a和b為三角形兩邊向量。判斷兩直線平行如果兩條直線的向量方向向量a和b滿足a*b=0，則兩直線平行。判斷兩直線垂直如果兩條直線的向量方向向量a和b滿足a*b=0，則兩直線垂直。向量數(shù)量積在平面幾何中的應(yīng)用3三角形面積利用向量數(shù)量積可以推導(dǎo)出三角形面積公式，可以簡化計算。判斷線段垂直若向量數(shù)量積為0，則這兩個向量垂直，可用于判斷線段是否垂直。求兩線段夾角利用向量數(shù)量積可以求出兩線段的夾角，方便解決幾何問題。向量數(shù)量積在機械中的應(yīng)用11計算功在力學中，功等于力的大小與物體在力的方向上移動的距離的乘積。2分析力矩力矩是力使物體繞某點轉(zhuǎn)動的趨勢，它等于力的大小與力臂的乘積。3確定機械效率機械效率是機械輸出功與輸入功之比，利用向量數(shù)量積可以更準確地計算效率。向量數(shù)量積在機械中的應(yīng)用2轉(zhuǎn)動慣量計算剛體繞軸轉(zhuǎn)動的慣性大小力矩力使物體繞軸轉(zhuǎn)動的效應(yīng)機器人運動控制規(guī)劃機器人關(guān)節(jié)運動軌跡，實現(xiàn)精準操作向量數(shù)量積在電磁學中的應(yīng)用1磁力兩個電流元之間的磁力大小與電流元的大小、距離和它們之間的夾角的余弦成正比，可以用向量數(shù)量積計算。電場力點電荷在電場中受到的電場力大小與電荷量和電場強度的大小以及它們之間的夾角的余弦成正比，可以用向量數(shù)量積計算。向量數(shù)量積在電磁學中的應(yīng)用21磁力向量數(shù)量積可以計算磁場對帶電粒子施加的磁力的大小。2電勢向量數(shù)量積可以計算電場中兩點間的電勢差，反映了電場力的做功情況。3電磁感應(yīng)向量數(shù)量積可以描述變化的磁場產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢大小，揭示電磁感應(yīng)現(xiàn)象的本質(zhì)。向量數(shù)量積在物理學中的應(yīng)用1功力對物體做的功等于力的大小與物體在力的方向上位移的乘積，而力的大小與位移的乘積正好是力與位移的向量數(shù)量積。磁場力磁場對運動電荷的作用力的大小等于磁場強度、電荷的電量和速度的乘積，而磁場強度、電荷的電量和速度的乘積正好是磁場強度與速度的向量數(shù)量積。向量數(shù)量積在物理學中的應(yīng)用2功的計算磁場力能量守恒向量數(shù)量積在數(shù)學中的應(yīng)用1圓的方程向量數(shù)量積可以用于推導(dǎo)圓的標準方程。橢圓的方程向量數(shù)量積可以用于推導(dǎo)橢圓的標準方程。雙曲線的方程向量數(shù)量積可以用于推導(dǎo)雙曲線的標準方程。向量數(shù)量積在數(shù)學中的應(yīng)用2求解方程利用向量數(shù)量積的性質(zhì)可以求解一些特殊的方程組，例如可以利用向量數(shù)量積求解三角形面積。證明幾何問題向量數(shù)量積可以用來證明一些平面幾何問題，例如可以利用向量數(shù)量積來證明三角形中位線定理。求解三角形面積利用向量數(shù)量積可以求解三角形的面積，例如可以利用向量數(shù)量積求解兩個向量所構(gòu)成的平行四邊形的面積。向量數(shù)量積的綜合應(yīng)用題1理解題意首先，認真閱讀題目，理解題目的背景和要求，明確題目中所涉及的向量及其關(guān)系。建立模型根據(jù)題意，將題目中的幾何圖形用向量表示，并建立相應(yīng)的坐標系。運用公式利用向量數(shù)量積的公式，將題目中的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，并進行求解。檢驗結(jié)果最后，檢驗所得結(jié)果是否符合題目的要求，并對結(jié)果進行合理的解釋。向量數(shù)量積的綜合應(yīng)用題21題目已知向量a=(1,2),b=(-1,1),求向量a+b和a-b的模長及它們之間的夾角。2解題步驟首先求出a+b和a-b的坐標，然后利用向量模長的公式和向量夾角的公式計算。3答案計算結(jié)果顯示，向量a+b的模長為2√2，向量a-b的模長為√10，它們之間的夾角為arccos(1/√20)。向量數(shù)量積的綜合應(yīng)用題31理解題意仔細閱讀題目，明確已知條件和求解目標2建立模型運用向量知識，將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題3運用公式利用向量數(shù)量積的公式和性質(zhì)進行計算4檢驗結(jié)果驗證計算結(jié)果是否符合題意，并進行必要的解釋向量數(shù)量積的綜合應(yīng)用題41已知向量a,b,c滿足...求證a與b垂直2證明過程...利用向量數(shù)量積的性質(zhì)3結(jié)論...a與b垂直向量數(shù)量積的綜合應(yīng)用題51問題描述設(shè)向量a和向量b的夾角為60度，且|a|=2，|b|=3。求向