高二數(shù)學講義（人教A版2019）23直線的交點坐標與距離公式（九大題型）

2．3直線的交點坐標與距離公式目錄TOC\o"13"\h\z\u【題型歸納目錄】 2【思維導圖】 2【知識點梳理】 2【典型例題】 4題型一：判斷兩直線的位置關系 4題型二：過兩條直線交點的直線系方程 6題型三：交點問題 8題型四：對稱問題 11考點1：點點對稱 11考點2：點關于直線對稱 12考點3：直線關于點對稱 14考點4：直線關于直線對稱 16題型五：兩點間的距離 19題型六：點到直線的距離 21題型七：兩平行直線間的距離 23題型八：距離問題的綜合靈活運用 25題型九：線段和與差的最值問題 28

【題型歸納目錄】【思維導圖】【知識點梳理】知識點一：直線的交點求兩直線與的交點坐標，只需求兩直線方程聯(lián)立所得方程組的解即可．若有，則方程組有無窮多個解，此時兩直線重合；若有，則方程組無解，此時兩直線平行；若有，則方程組有唯一解，此時兩直線相交，此解即兩直線交點的坐標．知識點詮釋：求兩直線的交點坐標實際上就是解方程組，看方程組解的個數(shù)．知識點二：過兩條直線交點的直線系方程一般地，具有某種共同屬性的一類直線的集合稱為直線系，它的方程叫做直線系方程，直線系方程中除含有以外，還有根據(jù)具體條件取不同值的變量，稱為參變量，簡稱參數(shù)．由于參數(shù)取法不同，從而得到不同的直線系．過兩直線的交點的直線系方程：經(jīng)過兩直線，交點的直線方程為，其中是待定系數(shù)．在這個方程中，無論取什么實數(shù)，都得不到，因此它不能表示直線．知識點三：兩點間的距離公式兩點間的距離公式為．知識點詮釋：此公式可以用來求解平面上任意兩點之間的距離，它是所有求距離問題的基礎，點到直線的距離和兩平行直線之間的距離均可轉(zhuǎn)化為兩點之間的距離來解決．另外在下一章圓的標準方程的推導、直線與圓、圓與圓的位置關系的判斷等內(nèi)容中都有廣泛應用，需熟練掌握．知識點四：點到直線的距離公式點到直線的距離為．知識點詮釋：（1）點到直線的距離為直線上所有的點到已知點的距離中最小距離；（2）使用點到直線的距離公式的前提條件是：把直線方程先化為一般式方程；（3）此公式常用于求三角形的高、兩平行線間的距離及下一章中直線與圓的位置關系的判斷等．知識點五：兩平行線間的距離本類問題常見的有兩種解法：①轉(zhuǎn)化為點到直線的距離問題，在任一條直線上任取一點，此點到另一條直線的距離即為兩直線之間的距離；②距離公式：直線與直線的距離為．知識點詮釋：（1）兩條平行線間的距離，可以看作在其中一條直線上任取一點，這個點到另一條直線的距離，此點一般可以取直線上的特殊點，也可以看作是兩條直線上各取一點，這兩點間的最短距離；（2）利用兩條平行直線間的距離公式時，一定先將兩直線方程化為一般形式，且兩條直線中，的系數(shù)分別是相同的以后，才能使用此公式．【典型例題】題型一：判斷兩直線的位置關系【典例11】（2024·高二·全國·單元測試）已知直線，是直線l外一點，那么直線（

）A．過點P且與直線l斜交B．過點P且與直線l重合C．過點P且與直線l平行D．過點P且與直線l垂直【答案】C【解析】在直線外，所以，方程與兩變量的系數(shù)完全相同，而，即常數(shù)項不同，它們的方程組成的方程組無解，所以兩直線的位置關系是平行，又，所以直線必過點，所以直線過點且與直線平行.故選：C【典例12】（2024·高二·全國·專題練習）曲線與的交點的情況是（

）A．最多有兩個交點 B．兩個交點C．一個交點 D．無交點【答案】A【解析】聯(lián)立兩條直線方程得：得到，兩邊平方得：，當即時，，得到方程有兩個不相等的實數(shù)解，所以曲線與直線有兩個交點．當時，得到，與曲線只有一個交點．所以曲線與的最多有兩個交點．故選：A【方法技巧與總結(jié)】分類討論時容易疏忽某種情況，特別是三條直線相交于同一點這種情況更要注意．【變式11】（2024·高一·河北石家莊·期末）若關于x，y的方程組無解，則（

）A． B． C．2 D．【答案】A【解析】由題,直線與平行,故.故選：A【變式12】（2024·高二·浙江臺州·期中）是直線(為常數(shù))上兩個不同的點，則關于和的方程組的解的情況是（

）A．無論如何，總是無解B．無論如何，總有唯一解C．存在，使是方程組的一組解D．存在，使之有無窮多解【答案】B【解析】由題意，則，∵直線的斜率存在，∴，，∴方程組總有唯一解．A，D錯誤，B正確；若是方程組的一組解，則，則點在直線，即上，但已知這兩個在直線上，這兩條直線不是同一條直線，∴不可能是方程組的一組解，C錯誤．故選：B．【變式13】（2024·高二·上?！ふn后作業(yè)）若關于的二元一次方程組有無窮多組解，則．【答案】【解析】依題意二元一次方程組有無窮多組解，即兩個方程對應的直線重合，由，解得或.當時，二元一次方程組為，兩直線不重合，不符合題意.當時，二元一次方程組為，兩直線重合，符合題意.綜上所述，的值為.故答案為：【變式14】（2024·高二·上海徐匯·期中）關于x?y的二元一次方程組有無窮多組解，則a與b的積是.【答案】35【解析】由x?y的二元一次方程組有無窮多組解，則直線與直線重合求解.因為x?y的二元一次方程組有無窮多組解，所以直線與直線重合，所以，解得，所以，故答案為：35題型二：過兩條直線交點的直線系方程【典例21】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）過兩直線和的交點和原點的直線方程為（）A．3x19y=0 B．19x3y=0C．19x+3y=0 D．3x+19y=0【答案】D【解析】設過兩直線交點的直線系方程為，代入原點坐標，得，解得，故所求直線方程為，即.故選：D.【典例22】（2024·高二·重慶·階段練習）經(jīng)過直線和的交點，且在兩坐標軸上的截距相等的直線方程為（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【解析】設直線方程為，即令，得，令，得.由，得或.所以直線方程為或.故選：C.【方法技巧與總結(jié)】直線系是直線和方程的理論發(fā)展，是數(shù)學符號語言中一種有用的工具，是一種很有用的解題技巧，應注意掌握和應用．【變式21】（2024·高二·安徽馬鞍山·期中）平面直角坐標系中，過直線與的交點，且在軸上截距為1的直線的方程為．（寫成一般式）【答案】【解析】由題設，令直線的方程為，且直線過，所以，故直線的方程為.故答案為：【變式22】（2024·高二·湖北武漢·階段練習）過兩直線和的交點且過原點的直線方程為．【答案】【解析】令所求直線為，又直線過原點，則，所以所求直線為.故答案為：【變式23】（2024·高二·安徽六安·期中）已知兩直線和的交點為，則過兩點的直線方程為.【答案】【解析】依題意兩直線和的交點為，所以在直線上，所以過兩點所在直線方程為.故答案為：【變式24】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）設直線經(jīng)過和的交點，且與兩坐標軸圍成等腰直角三角形，則直線的方程為.【答案】或【解析】方法一：由，得，所以兩條直線的交點坐標為（14，10）,由題意可得直線的斜率為1或1，所以直線的方程為或，即或.方法二：設直線的方程為，整理得，由題意，得，解得或，所以直線的方程為或.故答案為：或.題型三：交點問題【典例31】（2024·高一·甘肅武威·階段練習）若一次函數(shù)與的圖象的交點縱坐標為4，則的值是（

）A． B． C．2 D．4【答案】A【解析】因為一次函數(shù)與的圖像的交點縱坐標為4，所以，當時，代入一次函數(shù)中，得.所以，交點坐標.將交點坐標代入中，得.故選：A.【典例32】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）若曲線及能圍成三角形，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】曲線由兩條射線構(gòu)成，它們分別是射線及射線.因為方程的解，故射線與直線有一個交點；若曲線及能圍成三角形，則方程必有一個解，故，因此，選C.【方法技巧與總結(jié)】直接聯(lián)立兩直線方程，解方程即可．【變式31】（2024·高二·全國·課堂例題）直線與直線相交，則實數(shù)的值為（）A．或 B．或C．且 D．且【答案】D【解析】由直線與直線相交，得，即，解得且，所以實數(shù)k的值為且.故選：D【變式32】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）若與的圖形有兩個交點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．或【答案】A【解析】表示關于軸對稱的兩條射線，表示斜率為1，在軸上的截距為的直線，根據(jù)題意，畫出大致圖形，如下圖，若與的圖形有兩個交點，且，則根據(jù)圖形可知．故選：A．【變式33】（2024·高二·吉林延邊·期中）過兩條直線，的交點，且與直線垂直的直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由，得，設與直線垂直的直線的方程為，則，得，所以所求直線方程為.故選：A【變式34】（2024·高二·上?！て谥校┲本€，若三條直線無法構(gòu)成三角形，則實數(shù)可取值的個數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【解析】①時，則，解得，經(jīng)檢驗符合題意；②時，則，解得，經(jīng)檢驗符合題意；③時，則，解得，經(jīng)檢驗符合題意；④三條直線交于一點，解得或，則實數(shù)可取值的集合為，即符合題意的實數(shù)共6個.故選：D【變式35】（2024·高一·全國·單元測試）若直線與直線的交點在第一象限，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，即交點為，因為交點在第一象限，所以.故選：A題型四：對稱問題考點1：點點對稱【典例41】（2024·高二·全國·單元測試）已知不同的兩點關于點對稱，則ab＝.【答案】【解析】由題意知，即，解得，故.故答案為：【典例42】（2024·高二·全國·專題練習）點A（5，8），B（4，1），則A點關于B點的對稱點C的坐標為．【答案】【解析】設C（x，y），由A（5，8），B（4，1）且B點是A，C的中點，所以，解得．所以C的坐標為．故答案為：【變式41】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知點關于點的對稱點為，則點到原點的距離是()A．2

B．4

C．5

D．【答案】D【解析】由題可知：所以點到原點的距離是故選：D【變式42】（2024·高二·江蘇宿遷·開學考試）已知點與關于坐標原點對稱，則等于（

）A．5 B．1 C． D．【答案】B【解析】由與關于坐標原點對稱，則，所以.故選：B考點2：點關于直線對稱【典例51】（2024·高二·福建寧德·階段練習）一條光線從射出，經(jīng)直線后反射，反射光線經(jīng)過點，則反射光線所在直線方程為.【答案】【解析】設關于的對稱點，則有，解得，即，反射光線所在直線為：，整理得：.故答案為：【典例52】（2024·高二·山東泰安·期末）點關于直線的對稱點的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，在直線中，斜率為，垂直于直線且過點的直線方程為，即，設兩直線交點為，由，解得：，∴,∴點關于直線的對稱點的坐標為，即，故選：C.【變式51】點關于直線的對稱點的坐標是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設點關于直線的對稱點的坐標為，則由題意可得故答案為：B．【變式52】（2024·高二·江蘇南京·階段練習）已知點與點關于直線：對稱，則點的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設，則的中點是，則由題意可得，解得，即，故選：D.【變式53】（2024·高二·江蘇泰州·階段練習）在等腰直角三角形中，，點是邊上異于，的一點，光線從點出發(fā)，經(jīng)，反射后又回到點，如圖所示，若光線經(jīng)過的重心，則的長度為.【答案】【解析】以為原點，分別為軸建立平面直角坐標系，則直線方程為，設關于和直線的對稱點分別為，則，記，則，解得，因為為的重心，，所以，由光的反射原理可知，三點共線，所以，即，解得（舍去）或.故答案為：考點3：直線關于點對稱【典例61】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）直線關于點對稱的直線方程是．【答案】【解析】設對稱直線為，則有，解這個方程得（舍）或.所以對稱直線的方程中故答案為：【典例62】（2024·高一·寧夏銀川·期末）直線關于定點對稱的直線方程是．【答案】【解析】在直線上取點，點關于的對稱點為過與原直線平行的直線方程為，即為對稱后的直線．故答案為：【變式61】（2024·高一·江西撫州·期末）與直線關于原點對稱的直線的方程為.【答案】【解析】若在直線關于原點對稱的直線方程上，則在上，∴，得.故答案為：【變式62】（2024·高二·四川瀘州·階段練習）直線與關于點成中心對稱，若的方程是，則的方程是【答案】【解析】在直線上任取一點，則關于點對稱點一定在直線上，故有，即．故直線的方程為．故答案為：．【變式63】（2024·高二·黑龍江哈爾濱·階段練習）直線關于點對稱的直線方程為.【答案】【解析】在對稱的直線方程上任取一點，根據(jù)點對稱性可得在直線上，代入即可求解.設直線關于點對稱的直線方程為，在上任取一點，則點關于點對稱的點的坐標為，由題意可知點在直線上，故，整理可得.故答案為：【變式64】（2024·高三·全國·專題練習）在平面直角坐標系xOy中，將直線l沿x軸正方向平移3個單位長度，沿y軸正方向平移5個單位長度，得到直線l1.再將直線l1沿x軸正方向平移1個單位長度，沿y軸負方向平移2個單位長度，又與直線l重合.若直線l與直線l1關于點（2，3）對稱，則直線l的方程是.【答案】6x－8y＋1＝0【解析】根據(jù)平移得到l1：y＝k（x－3）＋5＋b和直線：y＝kx＋3－4k＋b，解得k＝，再根據(jù)對稱解得b＝，計算得到答案.由題意知直線l的斜率存在，設直線l的方程為y＝kx＋b，則直線l1：y＝k（x－3）＋5＋b，平移后的直線方程為y＝k（x－3－1）＋b＋5－2即y＝kx＋3－4k＋b，∴b＝3－4k＋b，解得k＝，∴直線l的方程為y＝x＋b，直線l1為y＝x＋＋b取直線l上的一點，則點P關于點（2，3）的對稱點為，，解得b＝.∴直線l的方程是，即6x－8y＋1＝0.故答案為：6x－8y＋1＝0考點4：直線關于直線對稱【典例71】（2024·高三·全國·專題練習）已知直線，直線，若直線關于直線l的對稱直線為，則直線的方程為．【答案】.【解析】由題意知，設直線，在直線上取點，設點關于直線的對稱點為，則，解得，即，將代入的方程得，所以直線的方程為.故答案為：【典例72】（2024·高二·廣東佛山·期中）直線關于直線的對稱直線的方程為.【答案】【解析】設為所求直線上一點，它關于的對稱點為，則可得，由題可得在直線上，所以，整理可得所求的對稱直線方程為.故答案為：.【變式71】（2024·高二·河南·階段練習）若直線與直線關于軸對稱，則.【答案】【解析】直線的斜率，與軸交于點.直線與直線關于軸對稱直線與直線的傾斜角互補，且與軸相較于同一點，解得，則.故答案為：.【變式72】（2024·高三·全國·專題練習）直線關于直線對稱的直線方程是.【答案】【解析】設所求直線上任意一點，點P關于的對稱點為,如圖所示：則有，得∵點P′(x0，y0)在直線2x－y＋3＝0上，∴2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，即x－2y＋3＝0.故答案為：【變式73】（2024·高三·全國·專題練習）直線關于直線對稱的直線方程是．【答案】【解析】聯(lián)立，解得，即兩直線的交點為．在直線上取一點，設點P關于直線的對稱點為，則，解得，即．所以直線MQ的方程為，即.故答案為:．【方法技巧與總結(jié)】（1）點關于點對稱點關于點對稱的本質(zhì)是中點坐標公式：設點關于點的對稱點為，則根據(jù)中點坐標公式，有可得對稱點的坐標為（2）點關于直線對稱點關于直線對稱的點為，連接，交于點，則垂直平分，所以，且為中點，又因為在直線上，故可得，解出即可．（3）直線關于點對稱法一：在已知直線上取兩點，利用中點坐標公式求出它們關于已知點對稱的兩點坐標，再由兩點式求出直線方程；法二：求出一個對稱點，再利用兩對稱直線平行，由點斜式得到所求直線方程．（4）直線關于直線對稱求直線，關于直線（兩直線不平行）的對稱直線第一步：聯(lián)立算出交點第二步：在上任找一點（非交點），利用點關于直線對稱的秒殺公式算出對稱點第三步：利用兩點式寫出方程題型五：兩點間的距離【典例81】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）三角形的三個頂點為，則的長為（）A．3 B．5 C．9 D．25【答案】B【解析】根據(jù)題意，利用兩點間的距離公式，可得的長為，故選：B【典例82】（2024·高一·貴州遵義·期末）已知，，，則三角形的面積為（

）A．3 B．5 C．7 D．8【答案】A【解析】，,，，所以三角形為直角三角形，，故選：A.【方法技巧與總結(jié)】兩點間的距離公式為．【變式81】（2024·高二·福建廈門·期中）以點，，為頂點的三角形是（

）A．等邊 B．等腰直角 C．等腰 D．直角【答案】D【解析】計算出三邊邊長，結(jié)合勾股定理可判斷出該三角形的形狀.由已知可得，，，所以，.因此，為直角三角形.故選：D.【變式82】（2024·高一·湖南·開學考試）直線經(jīng)過點，且被兩坐標軸截得的線段長為，則的所有可能取值之和為（

）A．14 B．16 C．18 D．20【答案】C【解析】由題意，因為直線經(jīng)過點,所以，則直線.令，則，令，則.則，化簡得，即，即,解得或或，故的所有可能取值之和為.故選：C.題型六：點到直線的距離【典例91】（2024·高二·全國·隨堂練習）點到直線的距離是（

）A．1 B．2 C． D．3【答案】A【解析】由題意可得：點到直線的距離.故選：A.【典例92】（2024·高二·江蘇南京·開學考試）已知直線：，則點到直線距離的最大值為（

）A． B． C．5 D．10【答案】B【解析】直線：，即，由，得到，所以直線過定點，當直線垂直于直線時，距離最大，此時最大值為，故選：B.【方法技巧與總結(jié)】點到直線的距離為．【變式91】（2024·高二·全國·隨堂練習）已知，兩點到直線的距離相等，求a的值（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【解析】因為點到直線的距離相等，所以，即，化簡得，解得或.故選：C.【變式92】（2024·重慶·三模）當點到直線l：的距離最大時，實數(shù)的值為（）A． B．1 C． D．2【答案】B【解析】直線l：，整理得，由，可得，故直線恒過點，點到的距離，故；直線l：的斜率，故，解得故選：B.【變式93】（2024·高二·四川綿陽·期末）已知，兩點到直線：的距離相等，則（

）A． B．6 C．或4 D．4或6【答案】D【解析】點到直線的距離為，點到直線的距離為，因為點到直線的距離和點到直線的距離相等，所以，所以或.故選：D.【變式94】（2024·高一·廣東韶關·期末）已知點和點到直線的距離相等，且過點，則直線的方程為（

）A．或 B．或C． D．【答案】A【解析】∵點和點，∴，∵點和點到直線的距離相等，且l過點，∴直線與直線平行，且直線過點，或直線的方程為（過線段中點），∴直線的方程為：，或，整理得：或.故選：A.題型七：兩平行直線間的距離【典例101】（2024·高二·寧夏銀川·階段練習）兩直線與平行，則它們之間的距離為.【答案】【解析】依題意可得，，解得，所以直線方程為，又，即，則兩平行直線的距離為.故答案為：.【典例102】（2024·高二·新疆·期末）已知不過原點的直線與直線平行，且直線與的距離為，則直線的一般式方程為．【答案】【解析】直線不過原點且與平行，可設直線，與之間的距離，解得：或（舍），直線的一般式方程為：.故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】直線與直線的距離為．【變式101】（2024·高二·上?！るS堂練習）若與平行，則兩直線之間的距離為.【答案】【解析】∵直線與平行，∴，解得，∴直線，直線，∴直線與之間的距離，故答案為：.【變式102】（2024·高二·上?！るS堂練習）已知直線：與直線：且，則實數(shù)，，之間的距離為．【答案】6【解析】因為，∴，解得：，∴：，即，∴與之間的距離．故答案為：6，.【變式103】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）與直線平行且到l的距離為2的直線的方程為．【答案】或.【解析】設與l平行的直線方程為5x－12y＋b＝0，根據(jù)兩平行直線間的距離公式得，解得b＝32或b＝－20.∴所求直線方程為或.故答案為：或.【變式104】（2024·高一·甘肅武威·階段練習）直線與直線的距離為，則實數(shù)a的值為．【答案】3，4【解析】直線方程化為和，∴，解得或．故答案為：3或．【變式105】（2024·高二·福建福州·期中）已知直線和直線，直線與的距離分別為，若，則直線方程的方程為.【答案】或【解析】設直線的方程為，由平行線間的距離公式可得，或，直線的方程為或.故答案為：或題型八：距離問題的綜合靈活運用【典例111】（2024·高二·黑龍江·期中）著名數(shù)學家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休．”事實上，有很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，如：可以轉(zhuǎn)化為平面上點與點的距離．結(jié)合上述觀點，可得的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，則y可看作x軸上一點到點與點的距離之和，即，則可知當A，P，B三點共線時，取得最小值，即．故選：A.【典例112】（2024·湖北武漢·模擬預測）已知，，若有且只有一組數(shù)對滿足不等式，則實數(shù)的取值集合為.【答案】【解析】平面直角坐標系中,，，,，，，，∵有且只有一組數(shù)對滿足不等式，∴，的取值集合為故答案為:.【方法技巧與總結(jié)】利用距離的幾何意義進行等價轉(zhuǎn)換．【變式111】（2024·高二·遼寧·期中）已知，則的最小值是.【答案】【解析】設，因為，則點在矩形內(nèi)部，如圖所示，可得，當且僅當為的交點時，等號成立，故答案為：.【變式112】（2024·高二·內(nèi)蒙古·階段練習）已知為直線上的一點，則的最小值為．【答案】【解析】如圖，為點到原點和到點的距離之和，即．設關于直線對稱的點為，則解之得即．易得，當三點共線時，取到最小值，且最小值為．故答案為：.【變式113】（2024·高二·河南·階段練習）函數(shù)的最小值為．【答案】【解析】因為，所以，函數(shù)的幾何意義為軸上的點到點、的距離之和，即，如下圖所示：由圖可知，當點、、三點共線時，取最小值，且.故答案為：.【變式114】（2024·高二·全國·專題練習）已知點分別在直線：與直線：上，且，點，則的最小值為．【答案】【解析】由平行線距離公式得：，設，則，所以，設點，如下圖：則有：即當三點共線時等號成立)，綜上，．故答案為：題型九：