初中數(shù)學(xué)經(jīng)典幾何模型04-角平分線模型在三角形中的應(yīng)用(含答案)

初中數(shù)學(xué)經(jīng)典幾何模型專題04角平分線模型在三角形中的應(yīng)用在初中幾何證明中，常會遇到與角平分線有關(guān)的問題。不少同學(xué)遇到這類問題時，不清楚應(yīng)該怎樣去作輔助線。實際上這類問題是有章可循的，其策略是:明確輔助線作用，記清相應(yīng)模型輔助線作法，理解作輔助線以后的目的。能做到這三點，就能在解題時得心應(yīng)手?！局R總結(jié)】【模型】一、角平分線垂兩邊角平分線+外垂直當(dāng)已知條件中出現(xiàn)為的角平分線、于點時，輔助線的作法大都為過點作即可.即有、≌等，利用相關(guān)結(jié)論解決問題.【模型】二、角平分線垂中間角平分線+內(nèi)垂直當(dāng)已知條件中出現(xiàn)為的角平分線,于點時，輔助線的作法大都為延長交于點即可.即有是等腰三角形、是三線等，利用相關(guān)結(jié)論解決問題.【模型】三、角平分線構(gòu)造軸對稱角平分線+截線段等當(dāng)已知條件中出現(xiàn)為的角平分線、不具備特殊位置時，輔助線的作法大都為在上截取，連結(jié)即可.即有≌，利用相關(guān)結(jié)論解決問題.

【模型】四、角平分線加平行線等腰現(xiàn)角平分線+平行線當(dāng)已知條件中出現(xiàn)為的角平分線，點角平分線上任一點時，輔助線的作法大都為過點作//或//即可.即有是等腰三角形，利用相關(guān)結(jié)論解決問題.1、如圖,,為上的一點，并且于點,,求證：.

2、如圖，在中，是的平分線，于點,//交于點，求證:.3、已知:如圖7,，求證:.

4、如圖,//,、分別平分和.探究:在線段上是否存在點，使得.

【基礎(chǔ)訓(xùn)練】1、如圖所示，在四邊形ABCD中，DC//AB，∠DAB=90°，ACBC，AC=BC，∠ABC的平分線交AD，AC于點E、F，則的值是___________.2、如圖，D是△ABC的BC邊的中點，AE平分∠BAC，AECE于點E，且AB=10，AC=16，則DE的長度為______3、如圖所示，在△ABC中，BC=6，E、F分別是AB、AC的中點，動點P在射線EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分線交CE于Q，當(dāng)CQ=CE時，EP+BP=________.

【鞏固提升】1、如圖，F(xiàn)，G是OA上兩點，M，N是OB上兩點，且FG=MN，S△PFG=S△PMN，試問點P是否在∠AOB的平分線上？2、已知：在△ABC中，∠B的平分線和外角∠ACE的平分線相交于D，DG//BC，交AC于F，交AB于G，求證：GF=BGCF.

3、在四邊形ABCD中，∠ABC是鈍角，∠ABC+∠ADC=180°，對角線AC平分∠BAD.（1）求證：BC=CD；（2）若AB+AD=AC，求∠BCD的度數(shù)；

4、如圖，在△ABC中，D、E、F分別為三邊的中點，G點在邊AB上，△BDG與四邊形ACDG的周長相等，設(shè)BC=a、AC=b、AB=c.（1）求線段BG的長（2）求證：DG平分∠EDF.

5、如圖，BAMN，垂足為A，BA=4，點P是射線AN上的一個動點（點P與點A不重合），∠BPC=∠BPA，BCBP，過點C作CDMN，垂足為D，設(shè)AP=x.CD的長度是否隨著x的變化而變化？若變化，請用含x的代數(shù)式表示CD的長度；若不變化，請求出線段CD的長度.

6、已知：平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC的頂點分別為0（0，0）、A（5，0）、B（m，2）、C（m-5，2）.（1）問：是否存在這樣的m，使得在邊BC上總存在點P，使∠OPA=90°？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由.（2）當(dāng)∠AOC與∠OAB的平分線的交點Q在邊BC上時，求m的值.

7、我們把由不平行于底邊的直線截等腰三角形的兩腰所得的四邊形稱為“準(zhǔn)等腰梯形”。如圖1，四邊形ABCD即為“準(zhǔn)等腰梯形”。其中∠B=∠C。（1）在圖1所示的“準(zhǔn)等腰梯形”ABCD中，選擇合適的一個頂點引一條直線將四邊形ABCD分割成一個等腰梯形和一個三角形或分割成一個等腰三角形和一個梯形（畫出一種示意圖即可）；（2）如圖2，在“準(zhǔn)等腰梯形”ABCD中∠B=∠C，E為邊BC上一點，若AB//DE，AE/DC，求證：；（3）在由不平行于BC的直線AD截△PBC所得的四邊形ABCD中，∠BAD與∠ADC的平分線交于點E。若EB=EC，請問當(dāng)點E在四邊形ABCD內(nèi)部時（即圖3所示情形），四邊形ABCD是不是“準(zhǔn)等腰梯形”，為什么？若點E不在四邊形ABCD內(nèi)部時，情況又將如何？寫出你的結(jié)論。（不必說明理由）

專題04角平分線模型在三角形中的應(yīng)用在初中幾何證明中，常會遇到與角平分線有關(guān)的問題。不少同學(xué)遇到這類問題時，不清楚應(yīng)該怎樣去作輔助線。實際上這類問題是有章可循的，其策略是:明確輔助線作用，記清相應(yīng)模型輔助線作法，理解作輔助線以后的目的。能做到這三點，就能在解題時得心應(yīng)手?！局R總結(jié)】【模型】一、角平分線垂兩邊角平分線+外垂直當(dāng)已知條件中出現(xiàn)為的角平分線、于點時，輔助線的作法大都為過點作即可.即有、≌等，利用相關(guān)結(jié)論解決問題.【模型】二、角平分線垂中間角平分線+內(nèi)垂直當(dāng)已知條件中出現(xiàn)為的角平分線,于點時，輔助線的作法大都為延長交于點即可.即有是等腰三角形、是三線等，利用相關(guān)結(jié)論解決問題.【模型】三、角平分線構(gòu)造軸對稱角平分線+截線段等當(dāng)已知條件中出現(xiàn)為的角平分線、不具備特殊位置時，輔助線的作法大都為在上截取，連結(jié)即可.即有≌，利用相關(guān)結(jié)論解決問題.

【模型】四、角平分線加平行線等腰現(xiàn)角平分線+平行線當(dāng)已知條件中出現(xiàn)為的角平分線，點角平分線上任一點時，輔助線的作法大都為過點作//或//即可.即有是等腰三角形，利用相關(guān)結(jié)論解決問題.1、如圖,,為上的一點，并且于點,,求證：.分析：條件中出現(xiàn)為的角平分線,于點，屬于角平分線基本模型一.輔助線的作法可嘗試過點作，即有,≌等，利用相關(guān)結(jié)論解決問題.證明：過點作于點.且,.在和中，，≌,..在和中,，≌,.,.2、如圖，在中，是的平分線，于點,//交于點，求證:.分析：已知條件中出現(xiàn)為的平分線，于點，屬于角平分線基本模型二.輔助線的作法可嘗試延長交于點，即有是等腰三角形、是三線，利用相關(guān)結(jié)論解決問題.證明：延交于點.平分,.又，≌，.又∥,.3、已知:如圖7,，求證:.分析：已知條件中出現(xiàn)為的角平分線，不具備特殊位置，屬于角平分線基本模型三.輔助線的作法可嘗試在上截取，連結(jié).即有≌，利用相關(guān)結(jié)論解決問題.證明：上截取，連結(jié)，且,.又.又≌,,即有

4、如圖,//,、分別平分和.探究:在線段上是否存在點，使得.分析：已知條件中出現(xiàn)、分別平分和，點為角平分線上任一點時，猜側(cè)屬于角平分線基本模型四.輔助線的作法可嘗試過點作//，或//.即有()是等腰三角形，利用相關(guān)結(jié)論解決問題.解析：點作//.∥,.又平分,即,.又∥,∥,同理可得.又.線段上存在點，使得.以上四個例題并不復(fù)雜，但對研究含有角平分線的幾何證明題具有指導(dǎo)意義.在教學(xué)過程中，要利用基本模型將復(fù)雜的幾何證明簡單化，要真正看透問題的本質(zhì)，并將課本知識內(nèi)化為自己的知識，從而提高自己探究問題的能力和數(shù)學(xué)繪合素養(yǎng).

【基礎(chǔ)訓(xùn)練】1、如圖所示，在四邊形ABCD中，DC//AB，∠DAB=90°，ACBC，AC=BC，∠ABC的平分線交AD，AC于點E、F，則的值是___________.分析：要求的值，一般來說不會直接把BF和EF都求出來，所以需要轉(zhuǎn)化，當(dāng)過點F作FGAB時，即可將轉(zhuǎn)化為，又會出現(xiàn)模型1，所以這個輔助線與思路值得一試.解析：FGAB于點G∠DAB-90°，F(xiàn)G/AD，=ACBC，∠ACB=90°又BF平分∠ABC，F(xiàn)G=FC在Rt△BGF和Rt△BCF中，，△BGF≌△BCF（HL），BC=BGAC=BC，∠CBA=45°，AB=BC

2、如圖，D是△ABC的BC邊的中點，AE平分∠BAC，AECE于點E，且AB=10，AC=16，則DE的長度為______分析：有AE平分∠BAC，且AEEC，套用模型2，即可解決該題.解析：如圖，延長CE，AB交于點FAE平分∠BAC，AEEC∠FAE=∠CAE，∠AEF=∠AEC=90°在△AFE和△ACE中，，△AFE≌ACE（ASA）。AF=AC=16，EF=EC，BF=6又D是BC的中點，BD=CDDE是△CBF的中位線DE=BF=3故答案為：3.

3、如圖所示，在△ABC中，BC=6，E、F分別是AB、AC的中點，動點P在射線EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分線交CE于Q，當(dāng)CQ=CE時，EP+BP=________.分析：這里出現(xiàn)角平分線，又有平行，應(yīng)該想到模型3，即可構(gòu)造出等腰三角形，結(jié)合相似模型，即可解出答案.解析：如圖，延長BQ交射線EF于點M.E、F分別是AB、AC的中點，EF//BC∠CBM=∠EMBBM平分∠ABC，∠ABM=∠CBM∠EMB=∠EBM，EB=EMEP+BP=EP+PM=EMCQ=CE，EQ=2CQ由EF//BC得，△EMQ∽△CBQ

【鞏固提升】1、如圖，F(xiàn)，G是OA上兩點，M，N是OB上兩點，且FG=MN，S△PFG=S△PMN，試問點P是否在∠AOB的平分線上？解析：過點P分別向OA、OB作垂線，S△PFG=PGPE，S△PMN=MNPH，F(xiàn)G=MNPH=PE點P在∠AOB的平分線上.2、已知：在△ABC中，∠B的平分線和外角∠ACE的平分線相交于D，DG//BC，交AC于F，交AB于G，求證：GF=BGCF.證明：BD平分∠ABC，∠1=∠2，DF//BC，∠2=∠3，∠1=∠3，BF=DF.同理：DE=CE.EF=DFDF,EF=BFCE.

3、在四邊形ABCD中，∠ABC是鈍角，∠ABC+∠ADC=180°，對角線AC平分∠BAD.（1）求證：BC=CD；（2）若AB+AD=AC，求∠BCD的度數(shù)；解析:(1)如圖，過點C作CM⊥AB，交AB的延長線于點M;作CN⊥AD，垂足為N，AC平分∠DAB，CM＝CN又∠ABC+∠ADC＝180°，∠MBC+∠ADC＝180°

∠NDC＝∠MBC，在△NDC與△MBC中，，BC=DC

(2)如圖，延長AB到B，使BB＝ADAB+AD＝AC，∴AB＝AC

由(1)知∠ADC＝∠BBC;在△ADC與△BBC中

∴△ADC≌△EBC，故AD＝EC

又AE＝AC，∴AE＝AC＝EC故△ABC為等邊三角形，∴∠CAB＝60°;

∴∠BAD＝120°，∠BCD＝360°-180°-120°＝60°

即∠BCD＝60°

4、如圖，在△ABC中，D、E、F分別為三邊的中點，G點在邊AB上，△BDG與四邊形ACDG的周長相等，設(shè)BC=a、AC=b、AB=c.（1）求線段BG的長（2）求證：DG平分∠EDF.解析：（1）△BDG與四邊形ACDG的周長相等，∴BD+BG+DG＝AC+CD+DG+AG

D是BC的中點

∴BD＝CD

∴BG=AC+AG

BG+(AC+AG)=AB+AC,

∴BG=（AB+AC)=（b+c)

(2)證明:點D.F分別是BC、AB的中點

∴DF＝AC=b，BF=AB=c

又FG＝BGBF=（b+c)-c=b∴DF=FG

∴∠FDG＝∠FGD

點D.E分別是BC、AC的中點，∴DB∥AB，∴∠EDG＝∠FGD,∴∠FDG＝∠BDG,即DG平分∠EDF5、如圖，BAMN，垂足為A，BA=4，點P是射線AN上的一個動點（點P與點A不重合），∠BPC=∠BPA，BCBP，過點C作CDMN，垂足為D，設(shè)AP=x.CD的長度是否隨著x的變化而變化？若變化，請用含x的代數(shù)式表示CD的長度；若不變化，請求出線段CD的長度.解：CD的長度不變

理由如下:

如圖，延長CB和PA，記交點為點Q∠BPC＝∠BPA，BC⊥BP

∴QB＝BC(等腰三角形“三合一＂的性質(zhì))BA⊥MN，CD⊥MM∴AB∥CD，

∴△QAB∽△△QDCAB/CD=QB/QC=1/2

∴CD＝2AB＝2×4＝8即CD＝8

6、已知：平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC的頂點分別為0（0，0）、A（5，0）、B（m，2）、C（m-5，2）.（1）問：是否存在這樣的m，使得在邊BC上總存在點P，使∠OPA=90°？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由.（2）當(dāng)∠AOC與∠OAB的平分線的交點Q在邊BC上時，求m的值.解析：(1)存在.O(0，0)、A(5，0)、B(m，2)、C(m-5，2)，OA＝BC＝5，BC∥OA，

以O(shè)A為直徑作D，與直線BC分別交于點E.F，則∠OEA＝∠OFA＝90°，如圖1

作DG⊥EF于G，連DB，則DB＝OD＝2.5，DG＝2，EG=GF

∴DE==1.5，∴E(1,2),F(4,2),

∴當(dāng)，即1≤m≤9時，邊BC上總存在這樣的點P，使∠OPA＝90(2)如圖2，BC＝OA＝5，BC∥OA，∴四邊形OABC是平行四邊形∴OC∥AB，∴∠AOC+∠OAB＝180°，

OQ平分∠AOC，AQ平分∠OAB，∴∠AOQ＝0.5∠AOC，∠OAQ＝0.5∠OAB，

∴∠AOQ+∠OAQ＝90°∴∠AQO＝90°，

以O(shè)A為直徑作D，與直線BC分別交于點E.F，則∠OEA＝∠OFA＝90°，∴點Q只能是點E或點F，

當(dāng)Q在F點時，OF、AF分別是∠AOC與OAB的平分線，BC∥OA∴∠CFO＝∠FOA＝∠FOC，∠BFA＝∠FAO＝∠FAB，∴CF＝OC，BF＝AB而OC＝AB，∴CF＝BF，即F是BC的中點。而F點為(4，2)，此時m的值為6.5，

當(dāng)在E點時，同理可求得此時m的值為3.5，綜上所述，m的值為3.5或6.5.7、我們把由不平行于底邊的直線截等腰三角形的兩腰所得的四邊形稱為“準(zhǔn)等腰梯形”。如圖1，四邊形ABCD即為“準(zhǔn)等腰梯形”。其中∠B=∠C。（1）在圖1所示的“準(zhǔn)等腰梯形”ABCD中，選擇合適的一個頂點引一條直線將四邊形ABCD分割成一個等腰梯形和一個三角形或分割成一個等腰三角形和一個梯形（畫出一種示意圖即可）；（2）如圖2，在“準(zhǔn)等腰梯形”ABCD中∠B=∠C，E為邊BC上一點