2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章圓錐曲線與方程2.4.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)練習(xí)含解析新人教A版選修2-1

PAGE1-2.4.2拋物線的簡潔幾何性質(zhì)[A基礎(chǔ)達標]1．以x軸為對稱軸，通徑長為8，頂點為坐標原點的拋物線方程是()A．y2＝8x B．y2＝－8xC．y2＝8x或y2＝－8x D．x2＝8y或x2＝－8y解析：選C．依題意設(shè)拋物線方程為y2＝±2px(p>0)，則2p＝8，所以拋物線方程為y2＝8x或y2＝－8x.2．若直線y＝2x＋eq\f(p,2)與拋物線x2＝2py(p>0)相交于A，B兩點，則|AB|等于()A．5p B．10pC．11p D．12p解析：選B．將直線方程代入拋物線方程，可得x2－4px－p2＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝4p，所以y1＋y2＝9p.因為直線過拋物線的焦點，所以|AB|＝y(tǒng)1＋y2＋p＝10p.3．設(shè)O為坐標原點，F(xiàn)為拋物線y2＝4x的焦點，A為拋物線上一點，若eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝－4，則點A的坐標為()A．(2，±2eq\r(2)) B．(1，±2)C．(1，2) D．(2，2eq\r(2))解析：選B．設(shè)A(x，y)，則y2＝4x，①又eq\o(OA,\s\up6(→))＝(x，y)，eq\o(AF,\s\up6(→))＝(1－x，－y)，所以eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝x－x2－y2＝－4.②由①②可解得x＝1，y＝±2.4．過點(1，0)作斜率為－2的直線，與拋物線y2＝8x交于A，B兩點，則弦AB的長為()A．2eq\r(13) B．2eq\r(15)C．2eq\r(17) D．2eq\r(19)解析：選B．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．由題意知AB的方程為y＝－2(x－1)，即y＝－2x＋2.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝8x，,y＝－2x＋2，))得x2－4x＋1＝0，所以x1＋x2＝4，x1·x2＝1.所以|AB|＝eq\r(（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2])＝eq\r(（1＋4）（16－4）)＝eq\r(5×12)＝2eq\r(15).5．設(shè)F為拋物線C：y2＝3x的焦點，過點F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點，O為坐標原點，則△OAB的面積為()A．eq\f(3\r(3),4) B．eq\f(9\r(3),8)C．eq\f(63,32) D．eq\f(9,4)解析：選D．易知拋物線中p＝eq\f(3,2)，焦點Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，0))，直線AB的斜率k＝eq\f(\r(3),3)，故直線AB的方程為y＝eq\f(\r(3),3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))，代入拋物線方程y2＝3x，整理得x2－eq\f(21,2)x＋eq\f(9,16)＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝eq\f(21,2).由拋物線的定義可得弦長|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(21,2)＋eq\f(3,2)＝12.結(jié)合圖象可得O到直線AB的距離d＝eq\f(p,2)·sin30°＝eq\f(3,8)，所以△OAB的面積S＝eq\f(1,2)|AB|·d＝eq\f(9,4).6．過拋物線y2＝4x的焦點作直線交拋物線于點A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|＝7，則線段AB的中點M到拋物線準線的距離為________．解析：拋物線的焦點為F(1，0)，準線方程為x＝－1.由拋物線的定義知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋eq\f(p,2)＋x2＋eq\f(p,2)＝x1＋x2＋p，即x1＋x2＋2＝7，得x1＋x2＝5，于是線段AB的中點M的橫坐標為eq\f(5,2)，因此點M到拋物線準線的距離為eq\f(5,2)＋1＝eq\f(7,2).答案：eq\f(7,2)7．有一個正三角形的兩個頂點在拋物線y2＝2px(p>0)上，另一個頂點在原點，則該三角形的邊長是________．解析：設(shè)A，B在y2＝2px上，另一個頂點為O，則A，B關(guān)于x軸對稱，則∠AOx＝30°，則直線OA的方程為y＝eq\f(\r(3),3)x.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(\r(3),3)x，,y2＝2px))得y＝2eq\r(3)p，所以△AOB的邊長為4eq\r(3)p.答案：4eq\r(3)p8．已知A(2，0)，B為拋物線y2＝x上的一點，則|AB|的最小值為________．解析：設(shè)點B(x，y)，則x＝y(tǒng)2≥0，所以|AB|＝eq\r(（x－2）2＋y2)＝eq\r(（x－2）2＋x)＝eq\r(x2－3x＋4)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))\s\up12(2)＋\f(7,4)).所以當x＝eq\f(3,2)時，|AB|取得最小值，且|AB|min＝eq\f(\r(7),2).答案：eq\f(\r(7),2)9．若拋物線的頂點在原點，開口向上，F(xiàn)為焦點，M為準線與y軸的交點，A為拋物線上一點，且|AM|＝eq\r(17)，|AF|＝3，求此拋物線的標準方程．解：設(shè)所求拋物線的標準方程為x2＝2py(p>0)，設(shè)A(x0，y0)，由題知Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2))).因為|AF|＝3，所以y0＋eq\f(p,2)＝3，因為|AM|＝eq\r(17)，所以xeq\o\al(2,0)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y0＋\f(p,2)))eq\s\up12(2)＝17，所以xeq\o\al(2,0)＝8，代入方程xeq\o\al(2,0)＝2py0得，8＝2peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(p,2)))，解得p＝2或p＝4.所以所求拋物線的標準方程為x2＝4y或x2＝8y.10．已知拋物線C：y2＝2px(p>0)過點A(2，－4)．(1)求拋物線C的方程，并求其準線方程；(2)若點B(0，2)，求過點B且與拋物線C有且僅有一個公共點的直線l的方程．解：(1)由拋物線C：y2＝2px(p>0)過點A(2，－4)，可得16＝4p，解得p＝4.所以拋物線C的方程為y2＝8x，其準線方程為x＝－2.(2)①當直線l的斜率不存在時，x＝0符合題意．②當直線l的斜率為0時，y＝2符合題意．③當直線l的斜率存在且不為0時，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋2.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2，,y2＝8x))得ky2－8y＋16＝0.由Δ＝64－64k＝0，得k＝1，故直線l的方程為y＝x＋2，即x－y＋2＝0.綜上直線l的方程為x＝0或y＝2或x－y＋2＝0.[B實力提升]11．直線4kx－4y－k＝0與拋物線y2＝x交于A，B兩點，若|AB|＝4，則弦AB的中點到直線x＋eq\f(1,2)＝0的距離等于()A．eq\f(7,4) B．2C．eq\f(9,4) D．4解析：選C．直線4kx－4y－k＝0，即y＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,4)))，即直線4kx－4y－k＝0過拋物線y2＝x的焦點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0)).設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝x1＋x2＋eq\f(1,2)＝4，故x1＋x2＝eq\f(7,2)，則弦AB的中點的橫坐標是eq\f(7,4)，弦AB的中點到直線x＋eq\f(1,2)＝0的距離是eq\f(7,4)＋eq\f(1,2)＝eq\f(9,4).12．直線y＝x－3與拋物線y2＝4x交于A，B兩點，過A，B兩點向拋物線的準線作垂線，垂足分別為P，Q，則梯形APQB的面積為________．解析：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,y＝x－3，))消去y得x2－10x＋9＝0，得x＝1或9，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－2))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝9，,y＝6，))所以|AP|＝10，|BQ|＝2或|BQ|＝10，|AP|＝2，所以|PQ|＝8，所以梯形APQB的面積S＝eq\f(10＋2,2)×8＝48.答案：4813．已知拋物線y2＝－x與直線y＝k(x＋1)相交于A，B兩點．(1)求證：OA⊥OB；(2)當△AOB的面積等于eq\r(10)時，求k的值．解：(1)證明：如圖，由方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝－x，,y＝k（x＋1），))消去x并整理，得ky2＋y－k＝0.設(shè)點A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根與系數(shù)的關(guān)系知y1＋y2＝－eq\f(1,k)，y1·y2＝－1.因為kOA·kOB＝eq\f(y1,x1)·eq\f(y2,x2)＝eq\f(y1,－yeq\o\al(2,1))·eq\f(y2,－yeq\o\al(2,2))＝eq\f(1,y1y2)＝－1，所以O(shè)A⊥OB.(2)設(shè)直線與x軸交于點N，明顯k≠0.令y＝0，則x＝－1，即點N(－1，0)．所以S△OAB＝S△OAN＋S△OBN＝eq\f(1,2)|ON||y1|＋eq\f(1,2)|ON||y2|＝eq\f(1,2)|ON||y1－y2|＝eq\f(1,2)×1×eq\r(（y1＋y2）2－4y1y2)＝eq\f(1,2)eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,k)))\s\up12(2)＋4)＝eq\r(10)，所以k＝±eq\f(1,6).14．(選做題)已知過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點，斜率為2eq\r(2)的直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)兩點，且|AB|＝9.(1)求該拋物線的方程；(2)O為坐標原點，C為拋物線上一點，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\o(OB,\s\up6(→))，求λ的值．解：(1)直線AB的方程是y＝2eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，與y2＝2px聯(lián)立，有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝eq\f(5p,4).由拋物線的定義，得|AB|＝x1＋x2＋p＝9，所以p＝4，拋物線的方程是y2＝8x.(2)因為p＝4，所以4x2－5px＋p2＝0可簡化為x2－5x＋4＝0，