2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第2章概率1離散型隨機(jī)變量及其分布列第1課時(shí)隨機(jī)變量學(xué)案北師大版選修2-3

PAGE1-第1課時(shí)隨機(jī)變量學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.理解隨機(jī)變量的含義．(重點(diǎn))2．了解隨機(jī)變量與函數(shù)的區(qū)分與聯(lián)系．(易混點(diǎn))3．會(huì)用隨機(jī)變量描述隨機(jī)現(xiàn)象．(難點(diǎn))通過對(duì)隨機(jī)變量的學(xué)習(xí)，培育“數(shù)學(xué)抽象”、“邏輯推理”的數(shù)學(xué)素養(yǎng).1．隨機(jī)變量的定義將隨機(jī)現(xiàn)象中試驗(yàn)(或觀測(cè))的每一個(gè)可能的結(jié)果都對(duì)應(yīng)于一個(gè)數(shù)，這種對(duì)應(yīng)稱為一個(gè)隨機(jī)變量．2．隨機(jī)變量通常用大寫的英文字母如X，Y來表示．思索：隨機(jī)變量與函數(shù)有什么區(qū)分與聯(lián)系？[提示]區(qū)分：隨機(jī)變量是把試驗(yàn)結(jié)果映射為實(shí)數(shù)，函數(shù)是兩個(gè)非空數(shù)集之間的映射．聯(lián)系：隨機(jī)變量與函數(shù)都是特別的映射．1．推斷下列命題是否正確．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)隨機(jī)變量的取值可以是有限個(gè)，也可以是無限個(gè)． ()(2)在拋擲一枚質(zhì)地勻稱的硬幣試驗(yàn)中，“出現(xiàn)正面的次數(shù)”為隨機(jī)變量． ()(3)隨機(jī)變量是用來表示不同試驗(yàn)結(jié)果的量． ()[解析](1)√因?yàn)殡S機(jī)變量的每一個(gè)取值，均代表一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果，試驗(yàn)結(jié)果有有限個(gè)，隨機(jī)變量的取值就有有限個(gè)，試驗(yàn)結(jié)果有無限個(gè)，隨機(jī)變量的取值就有無限個(gè)．(2)√因?yàn)閿S一枚硬幣，可能出現(xiàn)的結(jié)果是正面對(duì)上或反面對(duì)上，以一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)如正面對(duì)上的次數(shù)來描述這一隨機(jī)試驗(yàn)，那么正面對(duì)上的次數(shù)就是隨機(jī)變量ξ，ξ的取值是0,1.(3)√因?yàn)橛呻S機(jī)變量的定義可知，該說法正確．[答案](1)√(2)√(3)√2．袋中有大小相同的紅球6個(gè)，白球5個(gè)，不放回地從袋中每次隨意取出1個(gè)球，直到取出的球是白球?yàn)橹梗氁娜∏虼螖?shù)為隨機(jī)變量X，則X的可能取值為()A．1,2,3，…，6 B．1,2,3，…，7C．0,1,2，…，5 D．1,2，…，5B[由于取到白球嬉戲結(jié)束，那么取球次數(shù)可以是1,2,3，…，7，故選B.]隨機(jī)變量的概念【例1】推斷下列各個(gè)量，哪些是隨機(jī)變量，哪些不是隨機(jī)變量，并說明理由．(1)北京國際機(jī)場(chǎng)候機(jī)廳中2020年5月1日的旅客數(shù)量；(2)2020年1月1日到6月1日期間所查酒駕的人數(shù)；(3)2020年6月1日濟(jì)南到北京的某次動(dòng)車到北京站的時(shí)間；(4)體積為1000cm3的球的半徑長(zhǎng)．[解](1)旅客人數(shù)可能是0,1,2，…，出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果是隨機(jī)的，因此是隨機(jī)變量．(2)所查酒駕的人數(shù)可能是0,1,2，…，出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果是隨機(jī)的，因此是隨機(jī)變量．(3)動(dòng)車到達(dá)的時(shí)間可在某一區(qū)間內(nèi)任取一值，是隨機(jī)的，因此是隨機(jī)變量．(4)球的體積為1000cm3時(shí)，球的半徑為定值，不是隨機(jī)變量．對(duì)隨機(jī)變量的理解應(yīng)留意把握如下幾點(diǎn)隨機(jī)變量其實(shí)是一種映射，是隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果到實(shí)數(shù)之間的映射，因此我們可以這樣理解，隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果相當(dāng)于函數(shù)的定義域，隨機(jī)變量的取值范圍相當(dāng)于函數(shù)的值域．1．推斷下列各個(gè)量，哪些是隨機(jī)變量，哪些不是隨機(jī)變量，并說明理由．(1)擲兩次骰子，兩次結(jié)果的和；(2)2024年高考中，某考生解答Ⅰ卷所用的時(shí)間；(3)濟(jì)南長(zhǎng)途客運(yùn)總站候車廳中一天的旅客數(shù)量；(4)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水沸騰的溫度．[解](1)擲兩次骰子，兩次結(jié)果的和可能是2,3,4，…12，出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果都是隨機(jī)的，是隨機(jī)變量．(2)解答Ⅰ卷所用時(shí)間在(0,120](單位：min)的范圍之內(nèi)，是隨機(jī)變量．(3)候車廳中旅客數(shù)量可能是0,1,2，…出現(xiàn)哪個(gè)結(jié)果是隨機(jī)的．因此是隨機(jī)變量．(4)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水沸騰的溫度是定值，不是隨機(jī)變量．隨機(jī)變量的可能取值及試驗(yàn)結(jié)果[探究問題]1．拋擲一枚質(zhì)地勻稱的硬幣，可能出現(xiàn)正面對(duì)上、反面對(duì)上兩種結(jié)果．這種試驗(yàn)結(jié)果能用數(shù)字表示嗎？[提示]可以．用數(shù)字1和0分別表示正面對(duì)上和反面對(duì)上．2．在一塊地里種10棵樹苗，設(shè)成活的樹苗數(shù)為X，則X可取哪些數(shù)字？[提示]X＝0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.3．拋擲一枚質(zhì)地勻稱的骰子，出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)為ξ，則“ξ≥4”表示的隨機(jī)事務(wù)是什么？[提示]“ξ≥4”表示出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為4點(diǎn)，5點(diǎn)，6點(diǎn)．【例2】寫出下列隨機(jī)變量可能取的值，并說明隨機(jī)變量所取的值和所表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果．(1)袋中有大小相同的紅球10個(gè)，白球5個(gè)，從袋中每次任取1個(gè)球，直到取出的球是白球?yàn)橹?，所須要的取球次?shù)；(2)從標(biāo)有1,2,3,4,5,6的6張卡片中任取2張，所取卡片上的數(shù)字之和．思路探究：eq\x(\a\al(分析,題意))→eq\x(\a\al(寫出X可,能取的值))→eq\x(\a\al(分別寫出取值,所表示的結(jié)果))[解](1)設(shè)所需的取球次數(shù)為X，則X＝1,2,3,4，…，10,11，X＝i表示前i－1次取到紅球，第i次取到白球，這里i＝1,2，…，11.(2)設(shè)所取卡片上的數(shù)字和為X，則X＝3,4,5，…，11.X＝3，表示“取出標(biāo)有1,2的兩張卡片”；X＝4，表示“取出標(biāo)有1,3的兩張卡片”；X＝5，表示“取出標(biāo)有2,3或1,4的兩張卡片”；X＝6，表示“取出標(biāo)有2,4或1,5的兩張卡片”；X＝7，表示“取出標(biāo)有3,4或2,5或1,6的兩張卡片”；X＝8，表示“取出標(biāo)有2,6或3,5的兩張卡片”；X＝9，表示“取出標(biāo)有3,6或4,5的兩張卡片”；X＝10，表示“取出標(biāo)有4,6的兩張卡片”；X＝11，表示“取出標(biāo)有5,6的兩張卡片”．用隨機(jī)變量表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果問題的關(guān)鍵點(diǎn)和留意點(diǎn)(1)關(guān)鍵點(diǎn)：解決此類問題的關(guān)鍵是明確隨機(jī)變量的全部可能取值，以及取每一個(gè)值時(shí)對(duì)應(yīng)的意義，即一個(gè)隨機(jī)變量的取值可能對(duì)應(yīng)一個(gè)或多個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果．(2)留意點(diǎn)：解答過程中不要漏掉某些試驗(yàn)結(jié)果．2．寫出下列隨機(jī)變量可能取的值，并說明隨機(jī)變量所取的值表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果．(1)一袋中裝有5個(gè)同樣大小的球，編號(hào)為1,2,3,4,5，現(xiàn)從該袋內(nèi)隨機(jī)取出3個(gè)球，被取出的球的最大號(hào)碼數(shù)ξ；(2)電臺(tái)在每個(gè)整點(diǎn)都報(bào)時(shí)，報(bào)時(shí)所需時(shí)間為0.5分鐘，某人隨機(jī)打開收音機(jī)對(duì)時(shí)間，他所等待的時(shí)間ξ分鐘．[解](1)ξ可取3,4,5.ξ＝3，表示取出的3個(gè)球的編號(hào)為1,2,3；ξ＝4，表示取出的3個(gè)球的編號(hào)為1,2,4或1,3,4或2,3,4；ξ＝5，表示取出的3個(gè)球的編號(hào)為1,2,5或1,3,5或1,4,5或2,3,5或2,4,5或3,4,5.(2)ξ的可能取值為區(qū)間[0,59.5]內(nèi)任何一個(gè)值，每一個(gè)可能取值表示他所等待的時(shí)間．1．所謂的隨機(jī)變量就是試驗(yàn)結(jié)果和實(shí)數(shù)之間的一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系，隨機(jī)變量是將試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化，變量的取值對(duì)應(yīng)于隨機(jī)試驗(yàn)的某一個(gè)隨機(jī)事務(wù)．2．寫隨機(jī)變量表示的結(jié)果，要看三個(gè)特征：(1)可用數(shù)來表示；(2)試驗(yàn)之前可以推斷其可能出現(xiàn)的全部值；(3)在試驗(yàn)之前不能確定取值.1．將一顆質(zhì)地勻稱的骰子擲兩次，隨機(jī)變量為()A．第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù) B．其次次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)C．兩次出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和 D．兩次出現(xiàn)相同點(diǎn)的種數(shù)C[A、B中出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)雖然是隨機(jī)的，但它們?nèi)≈邓从车慕Y(jié)果，都不是本題涉及試驗(yàn)的結(jié)果．D中出現(xiàn)相同點(diǎn)數(shù)的種數(shù)就是6種，不是變量．C整體反映兩次投擲的結(jié)果，可以預(yù)見兩次出現(xiàn)數(shù)字的和是2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，這11種結(jié)果，但每擲一次前，無法預(yù)見是11種中的哪一個(gè)，故是隨機(jī)變量，選C.]2．已知Y＝2X為離散型隨機(jī)變量，Y的取值為1,2,3，…，10，則X的取值為________.eq\f(1,2)，1，eq\f(3,2)，2，eq\f(5,2)，3，eq\f(7,2)，4，eq\f(9,2)，5[由Y＝2X知，X為Y的一半，所以X的取值為eq\f(1,2)，1，eq\f(3,2)，2，eq\f(5,2)，3，eq\f(7,2)，4，eq\f(9,2)，5.]3．甲進(jìn)行3次射擊，甲擊中目標(biāo)的概率為eq\f(1,2)，記甲擊中目標(biāo)的次數(shù)為ξ，則ξ的可能取值為________．0,1,2,3[甲可能在3次射擊中，一次也未中，也可能中1次，2次，3次．]4．從標(biāo)有1～10的10支竹簽中任取2支，設(shè)所得2支