聲學(xué)基礎(chǔ)課后題答案

聲學(xué)基礎(chǔ)課后題答案

習(xí)題1

1-1有一動(dòng)圈傳聲器的振膜可當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)系統(tǒng)來(lái)對(duì)待，其固有頻率為了，質(zhì)

量為加，求它的彈性系數(shù)。

解：由公式力=3序得：

2叫Mm

七=（2m2加

1-2設(shè)有一質(zhì)量M,“用長(zhǎng)為/的細(xì)繩鉛直懸掛著，繩子一端固定構(gòu)成一單擺,

如圖所示，假設(shè)繩子的質(zhì)量和彈性均可忽略。試問：

（1）當(dāng)這一質(zhì)點(diǎn)被拉離平衡位置J時(shí)，它所受到的恢復(fù)平衡的力由何產(chǎn)

生？并應(yīng)怎樣表示？

（2）當(dāng)外力去掉后，質(zhì)點(diǎn)在此力作用下在平衡位置附近產(chǎn)生振動(dòng)，它

的振動(dòng)頻率應(yīng)如何表示？

（答：g為重力加速度）

24V/

圖習(xí)題1—2

解：（1）如右圖所示，對(duì)作受力分析：它受重力方向豎直向下；受沿

繩方向的拉力T,這兩力的合力E就是小球擺動(dòng)時(shí)的恢復(fù)力，方向沿小球擺

動(dòng)軌跡的切線方向。

設(shè)繩子擺動(dòng)后與豎直方向夾角為6,則sin6=M

受力分析可得：F=Mmgsm6=Mmgy

(2)外力去掉后(上述拉力去掉后)，小球在尸作用下在平衡位置附近產(chǎn)生擺

動(dòng)，加速度的方向與位移的方向相反。由牛頓定律可知：F=—M,“鬻

則=彳即翳+%=(),

說(shuō)=區(qū)即這就是小球產(chǎn)生的振動(dòng)頻率。

I2KV/

1-3有一長(zhǎng)為/的細(xì)繩，以張力T固定在兩端，設(shè)在位置x0處，掛著一質(zhì)量

Mm,如圖所示，試問：c.

(1)當(dāng)質(zhì)量被垂直拉離平衡位置J時(shí)，它f與/

\K

所受到的恢復(fù)平衡的力由何產(chǎn)生？并應(yīng)怎樣囪寸即「

囹刁越1-3

表示？

(2)當(dāng)外力去掉后，質(zhì)量M,“在此恢復(fù)力作用下產(chǎn)生振動(dòng)，它的振動(dòng)頻率應(yīng)

如何表示？

(3)當(dāng)質(zhì)量置于哪一位置時(shí)，振動(dòng)頻率最低？

解：首先對(duì)M,“進(jìn)行受力分析，見右圖，

工=丁丁匕%-----%=0

~X0)~+￡~Jx：+「

222

X1+￡~?Xo，(/-Xo)+f?(/-Xo)。)

LFSf￡

F=T/----+T

vJ(/-Xo)2+陵&+.2

”上+7￡

I-*0xo

Tl

=--------￡

/(/一%)

可見質(zhì)量受力可等效為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)系統(tǒng)，質(zhì)量彈性系數(shù)

77

k=

/（/一尤0）

77

（1）恢復(fù)平衡的力由兩根繩子拉力的合力產(chǎn)生，大小為F=—:一￡

Xo（l-xo）

方向?yàn)樨Q直向下。

TI

（2）振動(dòng)頻率為力

x0(Z—XQ)MM

⑶對(duì)。分析可得，當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)的振動(dòng)頻率最低。

1-4設(shè)有一長(zhǎng)為/的細(xì)繩，它以張力T固定在兩端，如圖所示。設(shè)在繩的X。位

置處懸有一質(zhì)量為M的重物。求該系統(tǒng)的固有頻率。提示：當(dāng)懸有M時(shí)，繩子

向下產(chǎn)生靜位移備以保持力的平衡，并假定M離平衡位置4的振動(dòng)J位移很小,

滿足自《鼻條件。

2Tcos0=Mg

解：如右圖所示，受力分析可得cos”豆n"&=Mg

-I

2J

又&<<4,T/T,可得振動(dòng)方程為一27%且=加一

1dt

2

4T

即M

.工理」叵」fZ

2TT\MIn:\2乃

i-5有一質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)系統(tǒng)，已知其初位移為g。，初速度為零，試求其振動(dòng)位移、

速度和能量。

解：設(shè)振動(dòng)位移S=￡ucos(d)0r-(p),

速度表達(dá)式為V=-CD0￡asin(690r-(P)。

由于￡jo=￡o，Mi=。，

代入上面兩式計(jì)算可得：

￡=￡()COSCO()t；

v=-g%singf。

振動(dòng)能量E=＞爐=“就￡.

1-6有一質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)系統(tǒng)，已知其初位移為瓦，初速度為%,試求其振動(dòng)位移、

速度、和能量。

解：如右圖所示為一質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)系統(tǒng)，彈簧的彈性系數(shù)為K,“，質(zhì)量為M,,,,取

正方向沿x軸，位移為久

則質(zhì)點(diǎn)自由振動(dòng)方程為武1+。然=0,(其中而=區(qū),)

drMm

解得g=A,cos（如，0）,

"祥噫sin（%-%+"）=①&cosW-%+f）

A）=&COS°o自“=9磁；+說(shuō)

%

當(dāng)4=O=4o，Mr=O=%時(shí)，'=><

Vo=?o^COS（%-1）

夕o=arctan—%—

質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)位移為4=」-+v；cos?(/-arctan工）

8。①40

質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)速度為V=Jo"；+片cos(例/-arctan-^―+—)

供2

質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的能量為七=g(說(shuō)4+片)

1-7假定一質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)系統(tǒng)的位移是由下列兩個(gè)不同頻率、不同振幅振動(dòng)的疊

力口4=sin碗+工sin2cot,試問：

(1)在什么時(shí)候位移最大？

(2)在什么時(shí)候速度最大？

解：?「《=sinm+'sin2G/,

2

?de：c

??一=GCOSW+GCOS2a

dt

d￡

=—ar2sincot-c26r2si.nc2cot。

f]CTT

令一-二0,得：cot=2kjr土一或由=Zki±7i,

dt3

經(jīng)檢驗(yàn)后得：”2?士劃3時(shí),位移最大。

CD

d?￡/■]

令——=0,得：cut=k/r^cot=2k7r±arccos(-一),

dt24

經(jīng)檢驗(yàn)后得：r=也k7T時(shí)，速度最大。

CD

1-8假設(shè)一質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)系統(tǒng)的位移由下式表示

J=J]COS(69/+0])+42COS(O)t+02)

試證明g=&COS(M+(p)

其中4=痣2+勇+2家2cos@2一例)，(P="Ctan$sin伙j'?sin仍

。COS/+42cos/

證明：4=0COS(Gf+°])+J2COS(W+02)

=。coscotcosq)\-0sincotsin(pi+$coscotcos(p2-sincotsin(p2

=cos碗(。cos(p、+5cos%)一sin①sin(p[+sin(p2)

設(shè)A=cos(px+^2cos(p2,B=-(^sin(px+sin(p2)

貝!JJ=Acos0+8sin"=VA2+B2cos(a+(p)(其中9=arctan(——))

A

2222cos

又A+B=J；cos(p、4-藍(lán)cos(p2+2累2.cos(p2

22

+g；sin(p\+藍(lán)sin(p2+2砧2sin.sin(p2

+￡+2g&(cos0]cos%+sin/sin%)

=盤+J；+2融cos(%-6)

又(p=arctan(--)=arctan(:‘由』+△sin0)

AJ】cos(p、+&cos(p?

令.=J*+§2=+黃+2自g2COS(仍一名)

則^=^COS(69Z+^)

1-9假設(shè)一質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)系統(tǒng)的位移由下式表示

￡=&COS叼+邑COSW2t(叫〉叱)

試證明

￡-￡aCOS(WjZ+(p),

廿4/~22-7sin(Awt)

其中=74+4+2￡建2cos(/w，)，夕+arctan--------------,Aw=w-w

6,1+6*2cos(Jvvr)12

解：因?yàn)槲灰剖鞘噶浚士梢杂檬噶繄D來(lái)表示。

由余弦定理知,

2

%=^8]+￡^cos(w2r-VV/)

=不￡；+￡；+2￡聲2COS0VV/)

其中，Aw=w2-W]。

由三角形面積知,

^￡ssinAwt1

t2萬(wàn)衿,sin。

zjsin/wf

得Bsin/=--------

%

sinAwt

得

sinAwt

+￡2coszlwr）2

￡2sinAwt

￡}+邑COSZIVV/

ssinAwt

故2

1+邑cosJwZ

即可證。

1-10有一質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)系統(tǒng)，其固有頻率W為已知，而質(zhì)量Mm與彈性系數(shù)Km

待求，現(xiàn)設(shè)法在此質(zhì)量Mn上附加一已知質(zhì)量%并測(cè)得由此而引起的彈簧伸長(zhǎng)

金，于是系統(tǒng)的質(zhì)量和彈性系數(shù)都可求得，試證明之.

證由胡克定理得mg=Kmq\=>Km=mg/^\

由質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)系統(tǒng)固有頻率的表達(dá)式/=人匹得，

M=K,*=mg

縱上所述，系統(tǒng)的質(zhì)量Mm和彈性系數(shù)Km都可求解.

1-11有一質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)系統(tǒng),其固有頻率為已知，而質(zhì)量Mm與彈性系數(shù)待求,

現(xiàn)設(shè)法在此質(zhì)量Mn上附加一質(zhì)量加，并測(cè)得由此而引起的系統(tǒng)固有頻率變?yōu)榉?

于是系統(tǒng)的質(zhì)量和彈性系數(shù)都可求得，試證明之。

K,“=（2磯）2〃,“

3=（2硫）2（q+九）

K一4/面02K

W-/o2-/；2

1-12設(shè)有如圖1-2-3和圖1-2-4所示的彈簧串接和并接兩種系統(tǒng)，試分別寫

出它們的動(dòng)力學(xué)方程，并求出它們的等效彈性系數(shù)。

L

w勺

r

s勺

t

n必

3

為

性系數(shù)

等效彈

0,

l=

u"-

為K

方程

力學(xué)

時(shí)，動(dòng)

串接

解：

2

降“,+K

42

nt

為

性系數(shù)

等效彈

=0,

,,,)￡

,”+(

+(&

“級(jí)

程為

學(xué)方

動(dòng)力

時(shí)，

并接

。

K2m

KIm+

K—

在

此秤已

品。

石樣

一巖

球上

稱月

簧秤

一彈

面用

球表

在月

員欲

宇航

有一

1-13

，利

巖石

一塊

取得

航員

。宇

"g

稱。?

〃可

100情

縮。?

彈簧壓

驗(yàn)，

過校

上經(jīng)

地球

1s,

周期為

其振動(dòng)

，測(cè)得

一下

振動(dòng)

使它

后，

g,然

0.4k

得為

上讀

刻度

秤從

用此

少？

量是多

實(shí)際質(zhì)

巖石的

而該

多少？

速度是

力加

的重

表面

月球

試問

,月

根//

=9.8

度為g

加速

重力

面的

球表

為地

質(zhì)量

實(shí)際

石的

該巖

解：設(shè)