2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章推理與證明2.1.1合情推理練習(xí)含解析新人教A版選修1-2

PAGE1-2.1.1合情推理[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．視察數(shù)列1，5，14，30，x，…，則x的值為()A．22 B．33C．44 D．55解析：選D.視察歸納得出，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于它的前一項(xiàng)與它本身項(xiàng)數(shù)的平方的和，即an＝an－1＋n2，所以x＝30＋52＝55.2．如圖，視察圖形規(guī)律，在其右下角的空格處畫(huà)上合適的圖形，應(yīng)為()解析：選A.視察題圖中每一行、每一列的規(guī)律，從形態(tài)和顏色入手，每一行、每一列中三種圖形都有，故填長(zhǎng)方形；又每一行、每一列中的圖形的顏色應(yīng)有二黑一白，故選A.3．把下列在平面內(nèi)成立的結(jié)論類比到空間，結(jié)論不成立的是()A．假如一條直線與兩條平行線中的一條相交，則必與另一條相交B．假如一條直線與兩條平行線中的一條垂直，則必與另一條垂直C．假如兩條直線與第三條直線都不相交，則這兩條直線不相交D．假如兩條直線同時(shí)與第三條直線垂直，則這兩條直線平行解析：選D.類比A的結(jié)論為：假如一個(gè)平面與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)相交，則必與另一個(gè)相交，成立．類比B的結(jié)論為：假如一個(gè)平面與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)垂直，則必與另一個(gè)垂直，成立．類比C的結(jié)論為：假如兩個(gè)平面與第三個(gè)平面都不相交，則這兩個(gè)平面不相交，成立．類比D的結(jié)論為：假如兩個(gè)平面同時(shí)與第三個(gè)平面垂直，則這兩個(gè)平面平行，不成立．4．《聊齋志異》中有這樣一首詩(shī)：“挑水砍柴不堪苦，請(qǐng)歸但求穿墻術(shù)．得訣自詡無(wú)所阻，額上墳起終不悟．”在這里，我們稱以下形式的等式具有“穿墻術(shù)”：2eq\r(\f(2,3))＝eq\r(2\f(2,3))，3eq\r(\f(3,8))＝eq\r(3\f(3,8))，4eq\r(\f(4,15))＝eq\r(4\f(4,15))，5eq\r(\f(5,24))＝eq\r(5\f(5,24))，….依據(jù)以上規(guī)律，若8eq\r(\f(8,n))＝eq\r(8\f(8,n))具有“穿墻術(shù)”，則n＝()A．7 B．35C．48 D．63解析：選D.2eq\r(\f(2,3))＝2eq\r(\f(2,22－1))＝eq\r(2\f(2,3))，3eq\r(\f(3,8))＝3eq\r(\f(3,32－1))＝eq\r(3\f(3,8))，4eq\r(\f(4,15))＝4eq\r(\f(4,42－1))＝eq\r(4\f(4,15))，5eq\r(\f(5,24))＝5eq\r(\f(5,52－1))＝eq\r(5\f(5,24))，…，依據(jù)以上規(guī)律可得n＝82－1＝63.5.如圖，橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為其左焦點(diǎn)，當(dāng)eq\o(FB,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))時(shí)，橢圓的離心率為eq\f(\r(5)－1,2)，此類橢圓被稱為“黃金橢圓”．類比“黃金橢圓”可得“黃金雙曲線”的離心率為()A.eq\f(\r(5)＋1,2) B.eq\f(\r(5)－1,2)C.eq\r(5)－1 D.eq\r(5)＋1解析：選A.設(shè)雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，F(xiàn)(－c，0)，B(0，b)，A(a，0)，則eq\o(FB,\s\up6(→))＝(c，b)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－a，b)．因?yàn)閑q\o(FB,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，所以eq\o(FB,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝－ac＋b2＝0.又b2＝c2－a2，所以c2－ac－a2＝0，即e2－e－1＝0，解得e＝eq\f(1±\r(5),2).又e>1，所以e＝eq\f(1＋\r(5),2).故選A.6．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二元一次方程Ax＋By＝0(A，B不同時(shí)為0)表示過(guò)原點(diǎn)的直線．類似地，在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，三元一次方程Ax＋By＋Cz＝0(A，B，C不同時(shí)為0)表示________．解析：由方程的特點(diǎn)可知：平面幾何中的直線類比到立體幾何中應(yīng)為平面，“過(guò)原點(diǎn)”類比仍為“過(guò)原點(diǎn)”，因此應(yīng)得到：在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，三元一次方程Ax＋By＋Cz＝0(A，B，C不同時(shí)為0)表示過(guò)原點(diǎn)的平面．答案：過(guò)原點(diǎn)的平面7．視察下列等式：1＋1＝2×1，(2＋1)(2＋2)＝22×1×3，(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5，…照此規(guī)律，第n個(gè)等式可為_(kāi)_______________________．解析：視察規(guī)律可知，左邊為n項(xiàng)的積，最小項(xiàng)和最大項(xiàng)依次為(n＋1)，(n＋n)，右邊為連續(xù)奇數(shù)之積乘以2n，則第n個(gè)等式為：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)．答案：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)8．依據(jù)圖(1)的面積關(guān)系：eq\f(S△PA′B′,S△PAB)＝eq\f(PA′,PA)·eq\f(PB′,PB)，可猜想圖(2)有體積關(guān)系：eq\f(VP-A′B′C′,VP-ABC)＝________．解析：題干兩圖中，與△PAB，△PA′B′相對(duì)應(yīng)的是三棱錐P-ABC，P-A′B′C′；與△PA′B′兩邊PA′，PB′相對(duì)應(yīng)的是三棱錐P-A′B′C′的三條側(cè)棱PA′，PB′，PC′.與△PAB的兩條邊PA，PB相對(duì)應(yīng)的是三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱PA，PB，PC.由此，類比題圖(1)的面積關(guān)系，得到題圖(2)的體積關(guān)系為eq\f(VP-A′B′C′,VP-ABC)＝eq\f(PA′,PA)·eq\f(PB′,PB)·eq\f(PC′,PC).答案：eq\f(PA′,PA)·eq\f(PB′,PB)·eq\f(PC′,PC)9．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2·an(n≥2)，而a1＝1，通過(guò)計(jì)算a2，a3，a4，猜想an.解：因?yàn)镾n＝n2·an(n≥2)，a1＝1，所以S2＝4·a2＝a1＋a2，a2＝eq\f(1,3)＝eq\f(2,3×2).S3＝9a3＝a1＋a2＋a3，a3＝eq\f(a1＋a2,8)＝eq\f(1,6)＝eq\f(2,4×3).S4＝16a4＝a1＋a2＋a3＋a4，a4＝eq\f(a1＋a2＋a3,15)＝eq\f(1,10)＝eq\f(2,5×4).所以猜想an＝eq\f(2,n（n＋1）).10．在公比為4的等比數(shù)列{bn}中，若Tn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)積，則有eq\f(T20,T10)，eq\f(T30,T20)，eq\f(T40,T30)也是等比數(shù)列，且公比為4100；類比上述結(jié)論，相應(yīng)地在公差為3的等差數(shù)列{an}中，若Sn是{an}的前n項(xiàng)和，寫(xiě)出相應(yīng)的結(jié)論，推斷該結(jié)論是否正確，并加以證明．解：結(jié)論：S20－S10，S30－S20，S40－S30也是等差數(shù)列且公差為300.此結(jié)論是正確的，證明如下：因?yàn)閿?shù)列{an}的公差d＝3.所以(S30－S20)－(S20－S10)＝(a21＋a22＋…＋a30)－(a11＋a12＋…＋a20)＝＝100d＝300.同理：(S40－S30)－(S30－S20)＝300，所以S20－S10，S30－S20，S40－S30是等差數(shù)列且公差為300.[B實(shí)力提升]11．將正奇數(shù)按如圖所示的規(guī)律排列，則第21行從左向右的第5個(gè)數(shù)為()135791113151719212325272931…A．809 B．853C．785 D．893解析：選A.前20行共有正奇數(shù)1＋3＋5＋…＋39＝202＝400(個(gè))，則第21行從左向右的第5個(gè)數(shù)是第405個(gè)正奇數(shù)，所以這個(gè)數(shù)是2×405－1＝809.12．如圖，在等腰直角三角形ABC中，斜邊BC＝2eq\r(2)，過(guò)點(diǎn)A作BC的垂線，垂足為A1，過(guò)點(diǎn)A1作AC的垂線，垂足為A2；過(guò)點(diǎn)A2作A1C的垂線，垂足為A3；…，以此類推，設(shè)BA＝a1，AA1＝a2，A1A2＝a3，…，A5A6＝a7，則a7＝________．解析：依據(jù)題意易得a1＝2，a2＝eq\r(2)，a3＝1，所以{an}構(gòu)成以a1＝2，q＝eq\f(\r(2),2)的等比數(shù)列，所以a7＝a1q6＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq\s\up12(6)＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)13．如圖所示為m行m＋1列的士兵方陣(m∈N*，m≥2)．(1)寫(xiě)出一個(gè)數(shù)列，用它表示當(dāng)m分別是2，3，4，5，…時(shí)，方陣中士兵的人數(shù)；(2)若把(1)中的數(shù)列記為{an}，①歸納猜想該數(shù)列的通項(xiàng)公式；②求a10，并說(shuō)明a10表示的實(shí)際意義；③若am＝9900，求am是數(shù)列{an}的第幾項(xiàng)，此時(shí)的方陣為幾行幾列．解：(1)當(dāng)m＝2時(shí)，表示一個(gè)2行3列的士兵方陣，共有6人，同理可以得到當(dāng)m＝3，4，5，…時(shí)的士兵人數(shù)分別為12，20，30，…，故所求數(shù)列為6，12，20，30，….(2)①因?yàn)閍1＝2×3，a2＝3×4，a3＝4×5，…，所以猜想an＝(n＋1)(n＋2)，n∈N*.②a10＝11×12＝132.a10表示11行12列的士兵方陣的人數(shù)為132.③令(m＋1)(m＋2)＝9900，所以m＝98，即am是數(shù)列{an}的第98項(xiàng)，此時(shí)的方陣為99行100列．14．(選做題)某同學(xué)在一次探討性學(xué)習(xí)中發(fā)覺(jué)，以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù)：①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.(1)試從上述五個(gè)式子中選擇一個(gè)，求出這個(gè)常數(shù)；(2)依據(jù)(1)的計(jì)算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)覺(jué)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論．解：(1)選擇②式，計(jì)算如下：sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－eq\f(1,2)sin30°＝1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4).(2)三角恒等式為sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝eq\f(3,4).證明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°si