2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)課時分層作業(yè)9橢圓的幾何性質(zhì)二含解析新人教B版選修1-1

PAGE1-課時分層作業(yè)(九)橢圓的幾何性質(zhì)(二)(建議用時：40分鐘)[基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練]1．直線y＝kx－k＋1與橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的位置關(guān)系為()A．相交 B．相切C．相離 D．不確定A[直線y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1過定點(1,1)，該點在橢圓內(nèi)部，因此直線與橢圓相交．]2．若直線mx＋ny＝4和圓O：x2＋y2＝4沒有交點，則過點P(m，n)的直線與橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的交點個數(shù)為()A．2B．1C．0D．0或1A[由題意，得eq\f(4,\r(m2＋n2))＞2，所以m2＋n2＜4，則－2＜m＜2，－2<n<2，所以點P(m，n)在橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1內(nèi)，則過點P(m，n)的直線與橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1有2個交點．故選A.]3．橢圓C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的左、右頂點分別為A1，A2，點P在C上且直線PA2的斜率的取值范圍是[－2，－1]，那么直線PA1斜率的取值范圍是()A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,4))) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,8)，\f(3,4)))C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1))B[設(shè)P(x，y)，直線PA1，PA2的斜率分別為k1，k2，則k1k2＝eq\f(y,x＋2)·eq\f(y,x－2)＝eq\f(y2,x2－4)＝eq\f(3－\f(3,4)x2,x2－4)＝－eq\f(3,4)，因為k2∈[－2，－1]，所以k1∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,8)，\f(3,4))).]4．若橢圓mx2＋ny2＝1與直線x＋y－1＝0交于A，B兩點，過原點與線段AB的中點的直線的斜率為eq\f(\r(2),2)，則eq\f(n,m)的值為()A．eq\f(\r(2),2) B．eq\r(2)C．eq\f(\r(3),2) D．eq\f(\r(2),9)B[由直線x＋y－1＝0，可得y＝－x＋1，代入mx2＋ny2＝1得(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0.設(shè)A，B的坐標(biāo)為(x1，y1)，(x2，y2)，則x1＋x2＝eq\f(2n,m＋n)，y1＋y2＝1－x1＋1－x2＝2－(x1＋x2)＝eq\f(2m,m＋n).設(shè)AB的中點為M，則M的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,m＋n)，\f(m,m＋n)))，∴OM的斜率k＝eq\f(m,n)＝eq\f(\r(2),2)，∴eq\f(n,m)＝eq\r(2).]5．橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(\r(3),3)，若直線y＝kx與其一個交點的橫坐標(biāo)為b，則k的值為()A．±1 B．±eq\r(2)C．±eq\f(\r(3),3) D．±eq\r(3)C[因為橢圓的離心率為eq\f(\r(3),3)，所以有eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),3)，即c＝eq\f(\r(3),3)a，c2＝eq\f(1,3)a2＝a2－b2，所以b2＝eq\f(2,3)a2.當(dāng)x＝b時，交點的縱坐標(biāo)為y＝kb，即交點為(b，kb)，代入橢圓方程eq\f(b2,a2)＋eq\f(k2b2,b2)＝1，即eq\f(2,3)＋k2＝1，k2＝eq\f(1,3)，所以k＝±eq\f(\r(3),3)，選C.]6．直線y＝x－1被橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1截得的弦長為________．eq\f(8\r(2),5)[聯(lián)立直線與橢圓方程得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x－1，,\f(x2,4)＋y2＝1))?5x2－8x＝0，解得x1＝0，x2＝eq\f(8,5)，∴弦長d＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(2)×eq\f(8,5)＝eq\f(8\r(2),5).]7．已知動點P(x，y)在橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1上，若A點坐標(biāo)為(3,0)，|eq\o(AM,\s\up8(→))|＝1，且eq\o(PM,\s\up8(→))·eq\o(AM,\s\up8(→))＝0，則|eq\o(PM,\s\up8(→))|的最小值是________．eq\r(3)[易知點A(3,0)是橢圓的右焦點．∵eq\o(PM,\s\up8(→))·eq\o(AM,\s\up8(→))＝0，∴eq\o(AM,\s\up8(→))⊥eq\o(PM,\s\up8(→)).∴|eq\o(PM,\s\up8(→))|2＝|eq\o(AP,\s\up8(→))|2－|eq\o(AM,\s\up8(→))|2＝|eq\o(AP,\s\up8(→))|2－1，∵橢圓右頂點到右焦點A的距離最小，故|eq\o(AP,\s\up8(→))|min＝2，∴|eq\o(PM,\s\up8(→))|min＝eq\r(3).]8．已知兩定點A(－1,0)和B(1,0)，動點P(x，y)在直線l：y＝x＋2上移動，橢圓C以A，B為焦點且經(jīng)過點P，則橢圓C的離心率的最大值為________．eq\f(\r(10),5)[A(－1,0)關(guān)于直線l：y＝x＋2的對稱點為A′(－2，1)，連接A′B交直線l于點P，則橢圓C的長軸長的最小值為|A′B|＝eq\r(1＋22＋1)＝eq\r(10)，所以橢圓C的離心率的最大值為eq\f(c,a)＝eq\f(1,\f(\r(10),2))＝eq\f(\r(10),5).]9．已知中心在原點，焦點在x軸上的橢圓的離心率為eq\f(\r(2),2)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為其焦點，始終線過點F1與橢圓相交于A，B兩點，且△F2AB的最大面積為eq\r(2)，求橢圓的方程．[解]由e＝eq\f(\r(2),2)得a∶b∶c＝eq\r(2)∶1∶1，所以橢圓方程設(shè)為x2＋2y2＝2c2.設(shè)直線AB：x＝my－c，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝my－c，,x2＋2y2＝2c2))得(m2＋2)y2－2mcy－c2＝0，Δ＝4m2c2＋4c2(m2＋2)＝4c2(2m2＋2)＝8c2(m2＋1)＞0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1，y2是方程的兩個根．由根與系數(shù)的關(guān)系得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y1＋y2＝\f(2mc,m2＋2)，,y1y2＝－\f(c2,m2＋2)，))所以|y1－y2|＝eq\r(y1＋y22－4y1y2)＝eq\f(2\r(2)c\r(m2＋1),m2＋2)，Seq\s\do5(△ABF2)＝eq\f(1,2)|F1F2||y1－y2|＝c·2eq\r(2)c·eq\f(\r(m2＋1),m2＋2)＝eq\f(2\r(2)c2,\r(m2＋1)＋\f(1,\r(m2＋1)))≤2eq\r(2)c2·eq\f(1,2)＝eq\r(2)c2，當(dāng)且僅當(dāng)m＝0時，即AB⊥x軸時取等號，∴eq\r(2)c2＝eq\r(2)，c＝1，所以，所求橢圓方程為eq\f(x2,2)＋y2＝1.10．橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)與直線x＋y－1＝0相交于P，Q兩點，且eq\o(OP,\s\up8(→))⊥eq\o(OQ,\s\up8(→))(O為坐標(biāo)原點)．(1)求證：eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)等于定值；(2)若橢圓的離心率e∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\f(\r(2),2)))，求橢圓長軸長的取值范圍．[解](1)證明：橢圓的方程可化為b2x2＋a2y2－a2b2＝0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b2x2＋a2y2－a2b2＝0，,x＋y－1＝0，))消去y得(a2＋b2)x2－2a2x＋a2(1－b2)＝0.由Δ＝4a4－4(a2＋b2)·a2·(1－b2)＞0得a2＋b2＞1.設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則x1＋x2＝eq\f(2a2,a2＋b2)，x1x2＝eq\f(a21－b2,a2＋b2).∵eq\o(OP,\s\up8(→))⊥eq\o(OQ,\s\up8(→))，∴x1x2＋y1y2＝0.∴x1x2＋(1－x1)·(1－x2)＝0.∴2x1x2－(x1＋x2)＋1＝0，即eq\f(2a21－b2,a2＋b2)－eq\f(2a2,a2＋b2)＋1＝0.∴a2＋b2＝2a2b2，即eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)＝2.∴eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)等于定值．(2)∵e＝eq\f(c,a)，∴b2＝a2－c2＝a2－a2e2，又∵a2＋b2＝2a2b2，∴2－e2＝2a2(1－e2)，即a2＝eq\f(2－e2,21－e2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,21－e2).∵eq\f(\r(3),3)≤e≤eq\f(\r(2),2)，∴eq\f(5,4)≤a2≤eq\f(3,2)，即eq\f(\r(5),2)≤a≤eq\f(\r(6),2)，∴eq\r(5)≤2a≤eq\r(6)，即橢圓長軸長的取值范圍是[eq\r(5)，eq\r(6)]．[實力提升練]1．已知以F1(－2,0)，F(xiàn)2(2,0)為焦點的橢圓與直線x＋eq\r(3)y＋4＝0有且僅有一個交點，則橢圓的長軸長為()A．3eq\r(2)B．2eq\r(6)C．2eq\r(7)D．4eq\r(2)C[設(shè)橢圓的方程為mx2＋ny2＝1(m≠n>0)，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(mx2＋ny2＝1，,x＋\r(3)y＋4＝0，))消去x，得(3m＋n)y2＋8eq\r(3)my＋16m－1＝0，Δ＝192m2－4(16m－1)(3m＋n)＝0，整理得3m＋n＝16mn，即eq\f(3,n)＋eq\f(1,m)＝16①.又由焦點F1(－2,0)，F(xiàn)2(2,0)在x軸上，得eq\f(1,m)－eq\f(1,n)＝4②，聯(lián)立①②，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,7)，,n＝\f(1,3)，))故橢圓的方程為eq\f(x2,7)＋eq\f(y2,3)＝1，所以長軸長為2eq\r(7).故選C.]2．已知橢圓eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,16)＝1，則以點M(－1,2)為中點的弦所在直線方程為()A．3x－8y＋19＝0 B．3x＋8y－13＝0C．2x－3y＋8＝0 D．2x＋3y－4＝0C[設(shè)弦的兩端點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入橢圓得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),12)＋\f(y\o\al(2,1),16)＝1，,\f(x\o\al(2,2),12)＋\f(y\o\al(2,2),16)＝1，))兩式相減得eq\f(x1－x2x1＋x2,12)＋eq\f(y1－y2y1＋y2,16)＝0，整理得eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(2,3)，∴弦所在的直線的斜率為eq\f(2,3)，其方程為y－2＝eq\f(2,3)(x＋1)，整理得2x－3y＋8＝0.故選C.]3．過點M(1,1)作斜率為－eq\f(1,2)的直線與橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)相交于A，B，若M是線段AB的中點，則橢圓C的離心率為________．eq\f(\r(2),2)[設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\f(x\o\al(2,1),a2)＋eq\f(y\o\al(2,1),b2)＝1， ①eq\f(x\o\al(2,2),a2)＋eq\f(y\o\al(2,2),b2)＝1， ②①－②得eq\f(x1－x2x1＋x2,a2)＋eq\f(y1－y2y1＋y2,b2)＝0.又M(1,1)是線段AB的中點，所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，所以eq\f(2,a2)＋eq\f(－\f(1,2)×2,b2)＝0，所以a2＝2b2，所以e＝eq\f(\r(2),2).]4．橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P為橢圓一動點，若∠F1PF2為鈍角，則點P的橫坐標(biāo)的取值范圍是________．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(6),3)，\f(2\r(6),3)))[設(shè)橢圓上一點P的坐標(biāo)為(x，y)，則eq\o(F1P,\s\up8(→))＝(x＋eq\r(3)，y)，eq\o(F2P,\s\up8(→))＝(x－eq\r(3)，y)．∵∠F1PF2為鈍角，∴eq\o(F1P,\s\up8(→))·eq\o(F2P,\s\up8(→))<0，即x2－3＋y2<0，①∵y2＝1－eq\f(x2,4)，代入①得x2－3＋1－eq\f(x2,4)<0，eq\f(3,4)x2＜2，∴x2＜eq\f(8,3).解得－eq\f(2\r(6),3)＜x＜eq\f(2\r(6),3)，∴x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(6),3)，\f(2\r(6),3))).]5．設(shè)橢圓C：eq\f(x2,2)＋y2＝1的右焦點為F，過F的直線l與C交于A，B兩點，點M的坐標(biāo)為(2,0)．(1)當(dāng)l與x軸垂直時，求直線AM的方程；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點，證明：∠OMA＝∠OMB.解：