2023-2024學年山西省運城市高一上學期期末調研測試數(shù)學試卷（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1山西省運城市2023-2024學年高一上學期期末調研測試數(shù)學試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】.故選：A.2.設集合，則（）A. B.RC. D.【答案】D【解析】依題意，所以.故選：D.3.函數(shù)的零點所在的區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意在定義域內單調遞增，，所以函數(shù)的零點所在的區(qū)間是.故選：B.4.函數(shù)的部分圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題意函數(shù)定義域為全體實數(shù)，且，所以函數(shù)是偶函數(shù)，排除CD；當時，，排除A，經檢驗，B選項符合題意.故選：B.5.《九章算術》是一部中國古代的數(shù)學專著．第一章《方田》主要講各種形狀的田地面積的計算方法，其中將圓環(huán)或不足一匝的圓環(huán)形田地稱為“環(huán)田”（注：匝，意為周，環(huán)繞一周叫一匝）書中提到如圖所示的一塊“環(huán)田”：中周九十五步，外周一百二十五步，所在扇形的圓心角大小為5（單位：弧度），則“該環(huán)田”的面積為（）A.600平方步 B.640平方步C.660平方步 D.700平方步【答案】C【解析】設中周的半徑是，外周的半徑是，圓心角為，，解得：，則“該環(huán)田”的面積為平方步.故選：C.6.已知，且，則a，b，c的大小關系為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因函數(shù)的定義域為R，且，所以函數(shù)為偶函數(shù)；當時，因單調遞增，而在定義域內也為增，故由同增異減原則，也為增，也為增，又因在上為增函數(shù)，故在上為增函數(shù).又因，，由，因，故，由在上為增函數(shù)可得:，即.故選：D.7.若，且，則當取最大值時，的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】若，且，則，則，注意到，其中，所以，等號成立當且僅當，所以，等號成立當且僅當，即，所以當取最大值時，的值為.故選：B.8.已知滿足，且函數(shù)為偶函數(shù)，若，則（）A.0 B.1012 C.2024 D.3036【答案】D【解析】由題意函數(shù)為偶函數(shù)，所以，的圖象關于直線對稱，所以，函數(shù)的周期為4，在中，分別令，得，解得，所以.故選：D.二、多項選擇題：本題共4個小題，每小題5分，共20分.全部選對得5分，部分選對得3分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】BCD【解析】對于A，不妨取，滿足，但，A錯誤；對于B，若，則，且，即，B正確；對于C，若，，所以，則，C正確；對于D，若，則，故，則，D正確.故選：BCD.10.已知（其中）的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）A.B.的最小正周期為C.不等式的解集為D.將的圖象向右平移個單位長度變?yōu)榕己瘮?shù)，則的最小值是【答案】ACD【解析】對于A，由圖可知函數(shù)周期，解得，當時，函數(shù)取最大值，所以，解得，又，所以，，故A正確；對于B，由題意，所以，故B錯誤；對于C，由題意，即，所以，解得，故C正確；對于D，將的圖象向右平移個單位長度后，對應函數(shù)圖象的解析式為，若為偶函數(shù)，所以，解得，又，所以當時，，故D正確.故選：ACD.11.已知函數(shù)，若方程有四個不同的實根，且滿足，則下列說法正確的是（）A.實數(shù)a的取值范圍是B.C.的取值范圍是D.的取值范圍是【答案】ABD【解析】由題意在同一平面直角坐標系中，分別畫出函數(shù)的圖象和直線如圖所示：對于A，若方程有四個不同的實根，則由圖可知實數(shù)a的取值范圍是，故A正確；對于B，由題意，且，所以，令，解得，所以，令，解得，這表明了當時，函數(shù)關于點中心對稱，所以，所以，故B正確；對于C，，因為函數(shù)單調遞減，所以的取值范圍是，故C錯誤；對于D，，因為函數(shù)單調遞增，所以的取值范圍是.故選：ABD.12.已知函數(shù)，且函數(shù)在上有且僅有5個零點，則下列結論正確的是（）A.的取值范圍是B.函數(shù)的圖象在上最多4有條對稱軸C.函數(shù)的圖象在上有2個最大值點D.函數(shù)在上單調遞減【答案】AC【解析】不妨設，當時，，即，作出函數(shù)在上的圖象如圖.對于A項，由題意知：，解得：，故A正確；對于B項，因當時，，由圖知，當時，函數(shù)的圖象在上可以有5條對稱軸，故B項錯誤；對于C項，由上分析即函數(shù)圖象觀察，不難得到，函數(shù)的圖象在上有且僅有2個最大值點，故C項正確；對于D項，當時，，因，則有，取，而函數(shù)在區(qū)間上先減后增，故D項錯誤.故選：AC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知冪函數(shù)在上單調遞增，則實數(shù)m的值為_________．【答案】0【解析】因為函數(shù)為冪函數(shù)，故，解得或，當時，在上單調遞增，符合題意；當時，在上單調遞減，不符合題意；故實數(shù)m的值為0.14.將函數(shù)圖象向右平移個單位長度后，再將得到的圖象上各點的橫坐標縮短為原來的，縱坐標不變，得到函數(shù)的圖象，則_________．【答案】【解析】把函數(shù)的圖象上的點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，得到函數(shù)，再向左平移個單位，得到函數(shù)，即的圖象.15.已知點是角終邊上一點，將角的終邊逆時針旋轉得到角，且，則_________．【答案】3【解析】依題意，，則，于是，由可得：，因，則，故得：，解得：，即.16.已知正實數(shù)a，b滿足，且不等式恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是_________．【答案】【解析】因為正實數(shù)a，b滿足，，所以，因為，當且僅當，即時取等號，所以，所以不等式恒成立，只需即可.四、解答題：本題共6小題，第17題10分，其余每題各12分，共70分.解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或者演算步驟.17.求值：（1）；（2）已知，求．解：（1）原式．（2）因為，因為，所以，可得：．所以．18.已知全集，集合．（1）若，求；（2）若“”是“”的充分條件，求實數(shù)a的取值范圍．解：（1）依題意得，當時，，即集合B為函數(shù)的值域，因為函數(shù)對稱軸為，可知時，時，，所以，可得．（2）由（1）知，，集合B為函數(shù)的值域，對稱軸為，可知時，時，，所以，因為“”是“”的充分條件，所以，所以，解得：，即實數(shù)a的取值范圍為．19.已知．（1）求函數(shù)的最小正周期及對稱軸方程；（2）已知，求函數(shù)在上的值域．解：（1）因為．所以函數(shù)的最小正周期，由可得：，則函數(shù)的對稱軸方程為：.（2）由可得：，所以，令，由可得，則，所以函數(shù)的值域為．20.已知二次函數(shù)滿足：，且函數(shù)的圖象經過點．（1）求函數(shù)的解析式；（2）若時，函數(shù)圖象永遠在函數(shù)的圖象的下方，求實數(shù)a的取值范圍．解：（1）因為函數(shù)經過點，可設，由可得：所以函數(shù)．（2）由題意得：在上恒成立，原不等式可等價變形為：，因為，所以，原不等式等價于：，由在上恒成立，可得；令，則，所以．因為函數(shù)在時單調遞增，當時，所以．21.已知定義在上的函數(shù)滿足，都有且當時，（1）求；（2）證明：為周期函數(shù)；（3）判斷并證明在區(qū)間上的單調性．解：（1）令，得，由于當時，因此，令，得，即，因此．（2）證明：令，得，因此，所以，由周期性的定義可知，函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)．（3）函數(shù)在上單調遞減，證明如下：任取，有由于，故,由（1）知，因此，又，因此，故，因此上單調遞減.22.在數(shù)學中，雙曲函數(shù)是與三角函數(shù)類似的函數(shù)，最基本的雙曲函數(shù)是雙曲正弦函數(shù)與雙曲余弦函數(shù)，其中雙曲正弦函數(shù)：，雙曲余弦函數(shù)：．（e是自然對數(shù)的底數(shù)，）（1）類比正弦函數(shù)余弦函數(shù)與正切函數(shù)的關系，寫出正切雙曲函數(shù)的解析式，并判斷其單調性（判斷過程進行簡單說明）；（2）若對任意實數(shù)b，存在實數(shù)c，使方程成立，求實數(shù)a的取值范圍．解：（1），在R上單調遞增，證明過程如下：任取實數(shù)，因，由，則，于是，故在R上單調遞增.（2）對任意實數(shù)b，存實數(shù)c，使方程成立，即函數(shù)的值域是函數(shù)的值域子集.，令，則，故，即的值域為；令，又，當且僅當，即時等號成立，所以，即有最大值．故值域為，要使原方程成立，須使：，即解得．故實數(shù)a的取值范圍為山西省運城市2023-2024學年高一上學期期末調研測試數(shù)學試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】.故選：A.2.設集合，則（）A. B.RC. D.【答案】D【解析】依題意，所以.故選：D.3.函數(shù)的零點所在的區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意在定義域內單調遞增，，所以函數(shù)的零點所在的區(qū)間是.故選：B.4.函數(shù)的部分圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題意函數(shù)定義域為全體實數(shù)，且，所以函數(shù)是偶函數(shù)，排除CD；當時，，排除A，經檢驗，B選項符合題意.故選：B.5.《九章算術》是一部中國古代的數(shù)學專著．第一章《方田》主要講各種形狀的田地面積的計算方法，其中將圓環(huán)或不足一匝的圓環(huán)形田地稱為“環(huán)田”（注：匝，意為周，環(huán)繞一周叫一匝）書中提到如圖所示的一塊“環(huán)田”：中周九十五步，外周一百二十五步，所在扇形的圓心角大小為5（單位：弧度），則“該環(huán)田”的面積為（）A.600平方步 B.640平方步C.660平方步 D.700平方步【答案】C【解析】設中周的半徑是，外周的半徑是，圓心角為，，解得：，則“該環(huán)田”的面積為平方步.故選：C.6.已知，且，則a，b，c的大小關系為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因函數(shù)的定義域為R，且，所以函數(shù)為偶函數(shù)；當時，因單調遞增，而在定義域內也為增，故由同增異減原則，也為增，也為增，又因在上為增函數(shù)，故在上為增函數(shù).又因，，由，因，故，由在上為增函數(shù)可得:，即.故選：D.7.若，且，則當取最大值時，的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】若，且，則，則，注意到，其中，所以，等號成立當且僅當，所以，等號成立當且僅當，即，所以當取最大值時，的值為.故選：B.8.已知滿足，且函數(shù)為偶函數(shù)，若，則（）A.0 B.1012 C.2024 D.3036【答案】D【解析】由題意函數(shù)為偶函數(shù)，所以，的圖象關于直線對稱，所以，函數(shù)的周期為4，在中，分別令，得，解得，所以.故選：D.二、多項選擇題：本題共4個小題，每小題5分，共20分.全部選對得5分，部分選對得3分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】BCD【解析】對于A，不妨取，滿足，但，A錯誤；對于B，若，則，且，即，B正確；對于C，若，，所以，則，C正確；對于D，若，則，故，則，D正確.故選：BCD.10.已知（其中）的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）A.B.的最小正周期為C.不等式的解集為D.將的圖象向右平移個單位長度變?yōu)榕己瘮?shù)，則的最小值是【答案】ACD【解析】對于A，由圖可知函數(shù)周期，解得，當時，函數(shù)取最大值，所以，解得，又，所以，，故A正確；對于B，由題意，所以，故B錯誤；對于C，由題意，即，所以，解得，故C正確；對于D，將的圖象向右平移個單位長度后，對應函數(shù)圖象的解析式為，若為偶函數(shù)，所以，解得，又，所以當時，，故D正確.故選：ACD.11.已知函數(shù)，若方程有四個不同的實根，且滿足，則下列說法正確的是（）A.實數(shù)a的取值范圍是B.C.的取值范圍是D.的取值范圍是【答案】ABD【解析】由題意在同一平面直角坐標系中，分別畫出函數(shù)的圖象和直線如圖所示：對于A，若方程有四個不同的實根，則由圖可知實數(shù)a的取值范圍是，故A正確；對于B，由題意，且，所以，令，解得，所以，令，解得，這表明了當時，函數(shù)關于點中心對稱，所以，所以，故B正確；對于C，，因為函數(shù)單調遞減，所以的取值范圍是，故C錯誤；對于D，，因為函數(shù)單調遞增，所以的取值范圍是.故選：ABD.12.已知函數(shù)，且函數(shù)在上有且僅有5個零點，則下列結論正確的是（）A.的取值范圍是B.函數(shù)的圖象在上最多4有條對稱軸C.函數(shù)的圖象在上有2個最大值點D.函數(shù)在上單調遞減【答案】AC【解析】不妨設，當時，，即，作出函數(shù)在上的圖象如圖.對于A項，由題意知：，解得：，故A正確；對于B項，因當時，，由圖知，當時，函數(shù)的圖象在上可以有5條對稱軸，故B項錯誤；對于C項，由上分析即函數(shù)圖象觀察，不難得到，函數(shù)的圖象在上有且僅有2個最大值點，故C項正確；對于D項，當時，，因，則有，取，而函數(shù)在區(qū)間上先減后增，故D項錯誤.故選：AC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知冪函數(shù)在上單調遞增，則實數(shù)m的值為_________．【答案】0【解析】因為函數(shù)為冪函數(shù)，故，解得或，當時，在上單調遞增，符合題意；當時，在上單調遞減，不符合題意；故實數(shù)m的值為0.14.將函數(shù)圖象向右平移個單位長度后，再將得到的圖象上各點的橫坐標縮短為原來的，縱坐標不變，得到函數(shù)的圖象，則_________．【答案】【解析】把函數(shù)的圖象上的點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，得到函數(shù)，再向左平移個單位，得到函數(shù)，即的圖象.15.已知點是角終邊上一點，將角的終邊逆時針旋轉得到角，且，則_________．【答案】3【解析】依題意，，則，于是，由可得：，因，則，故得：，解得：，即.16.已知正實數(shù)a，b滿足，且不等式恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是_________．【答案】【解析】因為正實數(shù)a，b滿足，，所以，因為，當且僅當，即時取等號，所以，所以不等式恒成立，只需即可.四、解答題：本題共6小題，第17題10分，其余每題各12分，共70分.解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或者演算步驟.17.求值：（1）；（2）已知，求．解：（1）原式．（2）因為，因為，所以，可得：．所以．18.已知全集，集合．（1）若，求；（2）若“”是“”的充分條件，求實數(shù)a的取值范圍．解：（1）依題意得，當時，，即集合B為函數(shù)的值域，因為函數(shù)對稱軸為，可知時，時，，所以，可得．（2）由（1）知，，集合B為函數(shù)的值域，對稱軸為，可知時，時，，所以，因為“”是“”的充分條件，所以，所以，解得：，即實數(shù)a的取值范圍為．19.已知．（1）求函數(shù)的最小正周期及對稱軸方程；（2）已知，求函數(shù)在上的值域．解：（1）因為．所以函數(shù)的最小正周期，由可得：，則函數(shù)的對稱軸方程為：.（2）由可得