考研數(shù)學-函數(shù)與極限

PAGEPAGE1題型1函數(shù)的性質(zhì)一、基礎知識1.單調(diào)性判斷單調(diào)性的方法:(1)根據(jù)定義,考察的符號;(2)根據(jù)導數(shù)的符號.2.奇偶性奇偶性的性質(zhì):(1)奇函數(shù)的圖形關于原點對稱,且；偶函數(shù)的圖形關于軸對稱.(2)奇+奇=奇；偶+偶=偶；奇奇=偶；偶偶=偶；奇偶=奇.判斷奇偶性的方法：(1)奇偶性的定義(2)奇偶性的性質(zhì)(3)奇函數(shù)單調(diào)性多結(jié)合導數(shù)考查奇偶性結(jié)合變上限函數(shù)考查.(放后面講)3.有界性判斷有界性的方法:(1)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)定為有界函數(shù).(2)開區(qū)間內(nèi)的連續(xù)函數(shù)考察與,若二者的極限都存在,在內(nèi)有界.(3)適當放大或縮小有關表達式導出有界.(4)利用基本初等函數(shù)的圖形.4.周期性定義域為.正數(shù),使得對于任一,有,且恒成立,則稱為周期函數(shù).稱為的周期.二、例題例1.判別函數(shù)的奇偶性.【答案】,奇函數(shù).例2.在內(nèi)函數(shù)為【D】(A)奇函數(shù).(B)偶函數(shù).(C)無界函數(shù).(D)有界函數(shù).例3.(04－34)函數(shù)在下列哪個區(qū)間內(nèi)有界【A】(A).(B).(C).(D).練習1.設，則是【C】(A)偶函數(shù).(B)周期函數(shù).(C)無界函數(shù).(D)單調(diào)函數(shù).題型2數(shù)列的極限一、基礎知識符號定義:當時,恒有成立數(shù)列極限存在準則:夾逼準則單調(diào)有解準則二、例題考查定義例1.下列命題中正確的是【D】(A)當越大時,越小,則必以為極限(B)當越大時,越接近于零,則必以為極限(C)當時,有無窮項滿足,則必以為極限(D)當時,僅有有限多項不滿足,則必以為極限(2)利用“單調(diào)有界準則”證明極限存在,求遞歸數(shù)列的極限例2.(022)設,,證明數(shù)列的極限存在,并求此極限.【答案】例3(06-12-12分)設數(shù)列滿足.(Ⅰ)證明存在,并求該極限.(Ⅱ)計算.【答案】0,練習1.設證明數(shù)列的極限存在,并求此極限.【答案】12.證明數(shù)列的極限存在,并求此極限.【答案】23.(96-1)設,試證數(shù)列的極限存在,并求此極限.【答案】3（3）利用“夾逼準則”與“定積分的定義”求項和的極限例4.(04-2)等于【】（A）.（B）.（C）.（D）.例5.（98-1）求.【答案】.練習(02-2).(99-4)設函數(shù)則.題型3函數(shù)的極限(**)一、基礎知識(1)符號定義:當時,恒有成立(2)符號定義:當時,恒有成立（3）兩個重要極限a.b.(4)無窮小量的性質(zhì)有限個無窮小量的“代數(shù)和”“乘積”無窮小量;常數(shù)或有界函數(shù)與無窮小量的乘積無窮小量;無窮小量（0除外）的倒數(shù)是無窮大量;無窮大量的倒數(shù)是無窮小量．（5）常用的等價無窮小代換：當時,．等價無窮小代換常常使用在極限運算中,起到簡化運算的作用,但必須注意,只能在乘除中使用,不能在加減運算中使用．（6）洛必達法則如果函數(shù)和滿足（1）當,（2）,（3）極限存在（或為無窮大）,那么（7）無窮小量階的比較定義:設是在同一極限過程中的無窮小,又也是這個變化過程中的極限．（1）――――比“高階”的無窮小,記作;（2）――――比“低階”的無窮小;（3）（常數(shù)）――――與是“同階”無窮小;（4）如果,則與是“等價”無窮小,記作．洛必達法則的使用原則:先用代數(shù)恒等變形把非0非因子用極限法則分離出去.再盡量用等價無窮小化簡.最后使用洛必達法則.極限問題:定義理解是基礎，運算性質(zhì)是關鍵.除上述方法必要時可采用具有皮亞諾余項形式的泰勒公式.二、例題考查定義、性質(zhì)、定理例1.設都不存在,則【D】(A)一定不存在.(B)一定不存在.(C)當與有一個存在，則另一個一定存在.(D)與都有可能存在.例2．設時，不是無窮大，則下述結(jié)論正確的是【D】(A)若是無窮小，則必是無窮小.(B)若不是無窮小，則必不是無窮小.(C)若在的鄰域內(nèi)無界，則必是無窮大.(D)若在的鄰域內(nèi)有界，則必不是無窮大.（二）型未定式極限例3.(07-2)=.例4.(07-34)=0.例5.(06-2)=2.例6.(06-34-7分)設求（1）; （2）.【答案】(1);(2).例7.(05-34)=2.例8.=.練習1..2.(99-2).3.(92-1)1.4.(93-2)－50.5.(99-1).6.(91-2).（三）冪指函數(shù)求極限（）例9.（06-34）1.例10.（04-2-10分）求極限.【答案】例11.(90-1)設是非零常數(shù),則.練習1.(03-1).2.1.3..(四)無窮小階的比較例12.(07-1234)當時，與等價的無窮小量是【B】(A).(B).(C).(D).例13.(04-12)把時的無窮小,,排列起來,使排在后面的是前一個的高階無窮小,則正確的排列次序是【B】(A).(B).(C).(D).練習1.(97-3)設,則當時,的【C】(A)同階非等價.(B)等價無窮小.(C)高階無窮小.(D)低階無窮小.2.(97-4)設在點的某鄰域內(nèi)連續(xù),且當時,的高階無窮小,則當時,是的【C】(A)同階非等價.(B)等價無窮小.(C)高階無窮小.(D)低階無窮小.（五）由無窮小量階的比較確定未知量的值例14.（05-2）已知當時,與是等價無窮小,則常數(shù)=．例15.(02-1)設函數(shù)在