《計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)基礎(chǔ)》課件-第4章

第4章計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型4.1計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立4.2計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型4.3計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的時(shí)域模型4.4

計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的頻域模型4.5MATLAB實(shí)例仿真小結(jié)

4.1計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立

數(shù)學(xué)建模通常有兩種不同的方法:分析法和實(shí)驗(yàn)法。分析法是系統(tǒng)地應(yīng)用現(xiàn)有的科學(xué)理論與定律,對(duì)系統(tǒng)各部分的運(yùn)動(dòng)機(jī)理進(jìn)行分析,并進(jìn)一步按照系統(tǒng)中各組成部分之間的相互關(guān)系來獲得數(shù)學(xué)模型的方法。各種物理規(guī)律、化學(xué)規(guī)律以及其他科學(xué)理論的合理應(yīng)用是分析法建模的基礎(chǔ)。實(shí)驗(yàn)法則是在一組假想或假設(shè)的模型中,需要人為地施加某種測(cè)試信號(hào),并記錄基本輸出響應(yīng),才能求得與系統(tǒng)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)吻合最好的模型的建模方法,因此也稱系統(tǒng)辨識(shí)。

1.分析法

分析法建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的一般步驟如下:

(1)建立物理模型。

(2)列寫原始方程,利用適當(dāng)?shù)奈锢矶?例如牛頓定律、基爾霍夫電流和電壓定律、能量守恒定律等。

(3)選定系統(tǒng)的輸入量、輸出量及狀態(tài)變量(僅在建立狀態(tài)模型時(shí)要求),消去中間變量,建立適當(dāng)?shù)妮斎?輸出模型或狀態(tài)空間模型。

2.實(shí)驗(yàn)法

實(shí)驗(yàn)法即基于系統(tǒng)辨識(shí)的建模方法,其步驟如下:

(1)已知知識(shí)和辨識(shí)目的。

(2)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì):選擇實(shí)驗(yàn)條件。

(3)模型階次選擇:選擇適合于應(yīng)用的適當(dāng)?shù)碾A次。

(4)參數(shù)估計(jì):常采用最小二乘法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。

(5)模型驗(yàn)證:將實(shí)際輸出與模型的計(jì)算輸出進(jìn)行比較,系統(tǒng)模型需保證兩個(gè)輸出之間在選定意義上接近。

4.2計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型

1.狀態(tài)變量足以完全表征系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的最小個(gè)數(shù)的一組變量為狀態(tài)變量。一個(gè)n階微分方程描述的系統(tǒng)就有n個(gè)獨(dú)立變量。當(dāng)這n個(gè)獨(dú)立變量的時(shí)間響應(yīng)都求得時(shí),系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)也就揭示無遺了。因此,可以說該系統(tǒng)的狀態(tài)變量就是n階系統(tǒng)的n個(gè)獨(dú)立變量。

同一個(gè)系統(tǒng),究竟選取哪些變量作為獨(dú)立變量,這是不唯一的,重要的是這些變量應(yīng)該是相互獨(dú)立的,且其個(gè)數(shù)應(yīng)等于微分方程的階數(shù);又由于微分方程的階數(shù)唯一地取決于系統(tǒng)中獨(dú)立儲(chǔ)能元件的個(gè)數(shù),因此狀態(tài)變量的個(gè)數(shù)應(yīng)等于系統(tǒng)獨(dú)立儲(chǔ)能元件的個(gè)數(shù)。

眾所周知,n階微分方程式要有唯一確定的解,必須要知道n個(gè)獨(dú)立的初始條件。很明顯,這n個(gè)獨(dú)立變量的初始條件就是一組狀態(tài)變量在初始時(shí)刻t0的值。

綜上所述,狀態(tài)變量是既足以完全確定系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)而且個(gè)數(shù)又是最小的一組變量,當(dāng)其在t=t0時(shí)刻的值已知時(shí),則在給定t≥t0時(shí)刻的輸入作用下,便能完全確定系統(tǒng)在任何時(shí)刻的行為。

2.狀態(tài)矢量

如果n個(gè)狀態(tài)變量用x1(t),x2(t),x3(t),…,xn(t)表示,并把這些狀態(tài)變量看作是矢量x(t)的分量,則x(t)就被稱為狀態(tài)矢量,記作:

3.狀態(tài)空間

以狀態(tài)變量x1(t),x2(t),…,xn(t)為坐標(biāo)軸構(gòu)成的n維空間稱為狀態(tài)空間。在特定時(shí)刻t,狀態(tài)矢量x(t)是狀態(tài)空間中的一點(diǎn)。已知初始時(shí)刻t0的狀態(tài)為x(t0),就可得到狀態(tài)空間中的一個(gè)初始點(diǎn)。隨著時(shí)間的推移,x(t)將在狀態(tài)空間中描繪出一條軌跡,稱為狀態(tài)軌線。狀態(tài)矢量的狀態(tài)空間表示,將矢量的代數(shù)表示和幾何概念聯(lián)系起來了。

4.狀態(tài)方程

由系統(tǒng)的狀態(tài)變量構(gòu)成的一階微分方程組被稱為系統(tǒng)的狀態(tài)方程。

以圖4-1所示的RLC電路網(wǎng)絡(luò)為例,說明如何用狀態(tài)變量描述這一系統(tǒng)。

圖4-1RLC電路網(wǎng)絡(luò)

根據(jù)電學(xué)原理,可寫出兩個(gè)含有狀態(tài)變量的一階微分方程:

即

式(4-1)就是圖4-1系統(tǒng)的狀態(tài)方程,式中若將狀態(tài)變量用一般符號(hào)xi表示,即令x1=uC,x2=i,并寫成矢量矩陣形式,則狀態(tài)方程為

或

式中

5.輸出方程

在指定系統(tǒng)輸出的情況下,該輸出與狀態(tài)變量間的函數(shù)關(guān)系式被稱為系統(tǒng)的輸出方程。例如在圖4-1系統(tǒng)中,指定x1=uC作為輸出,輸出一般用y表示,則有

或

式(4-3)就是圖4-1系統(tǒng)的輸出方程,它的矩陣表達(dá)式為

或

式中

6.狀態(tài)空間表達(dá)式

狀態(tài)方程和輸出方程綜和起來構(gòu)成對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)行為的完整描述,被稱為系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式,式(4-2)和式(4-4)就是圖4-1系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。

在經(jīng)典控制理論中,通常用指定某個(gè)輸出量的高階微分方程來描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程。如圖4-1所示的系統(tǒng),在以u(píng)C

作輸出時(shí),從式(4-1)消去中間變量i,得到的二階微分方程為

其相應(yīng)的傳遞函數(shù)為

因而多輸入多輸出系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的矢量矩陣形式為

式中,x和A為同單輸入系統(tǒng),分別為n維狀態(tài)矢量和n×n系統(tǒng)矩陣;

4.3計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的時(shí)域模型

計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的時(shí)域模型主要以微(差)分方程的形式表達(dá),建立在傳遞函數(shù)基礎(chǔ)之上,也稱輸入/輸出描述法。其中,微分方程是連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的最基本表達(dá)形式,N階線性常系數(shù)微分方程的基本形式為

相應(yīng)地,差分方程是離散時(shí)間系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的最基本表達(dá)形式,N階線性常系數(shù)差分方程的基本形式為

4.3.1線性常系數(shù)微分方程

在計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)中往往存在儲(chǔ)能元件(電容、電感)、慣性元件(質(zhì)量、電感)、容性元件(電容、熱容)等,考慮到物理系統(tǒng)輸入/輸出間的因果關(guān)系,其數(shù)學(xué)模型的階次等于系統(tǒng)

中獨(dú)立儲(chǔ)能元件的個(gè)數(shù)。組成系統(tǒng)的元件或多或少地存在著非線性特性,實(shí)際意義上純粹的線性系統(tǒng)是不存在的,對(duì)非本質(zhì)的非線性特性需要進(jìn)行線性化處理,即線性近似。比較簡(jiǎn)單常用的線性近似法就是小偏差線性化:若系統(tǒng)在工作點(diǎn)A附近很小的范圍內(nèi)工作,就以A點(diǎn)處的切線來代替該范圍內(nèi)很小一段曲線。

工作點(diǎn)不同,則線性化方程的系數(shù)不同,因此線性化必須在某一個(gè)工作點(diǎn)處進(jìn)行;工作點(diǎn)不同則線性化的結(jié)果也不一樣。線性化的條件是在工作點(diǎn)附近的小范圍內(nèi)滿足小偏差的條件。線性化只能針對(duì)非本質(zhì)非線性特性進(jìn)行,線性化的結(jié)果是得到工作點(diǎn)附近(鄰域)變量增量Δx、Δy的線性方程式,習(xí)慣上仍寫成x、y。

在圖4-1中,根據(jù)電學(xué)原理,可以寫出兩個(gè)含有狀態(tài)變量的一階微分方程:

4.3.2線性常系數(shù)差分方程

如果系統(tǒng)的輸入、輸出特性是線性的,則該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。其基本特性滿足疊加原理:L(c1u1+c2u2)=c1L(u1)+c2L(u2),也就是說,滿足疊加原理的系統(tǒng)即為線性系統(tǒng),有下面的關(guān)系表達(dá)式:

4.4計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的頻域模型

系統(tǒng)的微分方程或差分方程是在時(shí)間域里描述系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的數(shù)學(xué)模型。在給定輸入及初始條件下,對(duì)方程求解即可得到系統(tǒng)的輸出。這種方法比較直觀,但卻難以得到方程中的系數(shù)(對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)中元件的參數(shù))對(duì)系統(tǒng)輸出(系統(tǒng)被控量)的影響,因此不便于系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)。

4.4.1Z變換法解差分方程

計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)是線性離散系統(tǒng)或近似當(dāng)做線性離散系統(tǒng)。研究一個(gè)物理系統(tǒng),必須建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型,解決數(shù)學(xué)描述和分析工具的問題。Z變換及其反變換就是分析和設(shè)計(jì)計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的重要工具之一。在離散系統(tǒng)中用Z變換求解差分方程,也使得求解運(yùn)算變成了代數(shù)運(yùn)算,大大簡(jiǎn)化和方便了離散系統(tǒng)的分析和綜合。用Z變換求解差分方程,主要用到了Z變換的實(shí)數(shù)位移定理。

求解差分方程的一般方法可以歸結(jié)如下:

(1)差分方程兩端同時(shí)取Z變換。

(2)用初始條件化簡(jiǎn)Z變換式。

(3)Z變換式改寫成以下形式:

(4)解X(z)的Z反變換,即可得到差分方程的解。

4.4.2連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

微分方程反映了連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)輸入信號(hào)和輸出信號(hào)之間的聯(lián)系,是系統(tǒng)的最基本表達(dá)形式。尤其是線性常系數(shù)微分方程,常用來表達(dá)線性定常系統(tǒng)。拉普拉斯變換是通過變換的方式對(duì)線性常系數(shù)微分方程進(jìn)行分析求解的一種重要方法。

傅里葉變換對(duì):

拉普拉斯變換對(duì):

如圖4-2所示,經(jīng)過拉普拉斯變換可以將連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)從時(shí)域轉(zhuǎn)移到頻域進(jìn)行分析。連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的3種數(shù)學(xué)模型之間的關(guān)系如圖4-3所示,比如同一個(gè)系統(tǒng)可以在時(shí)域和頻域分別用式(4-19)、式(4-20)、式(4-21)來分析。圖4-2時(shí)域到頻域的變換圖4-33種數(shù)學(xué)模型的關(guān)系

4.4.3離散時(shí)間系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

1.離散時(shí)間系統(tǒng)傳遞函數(shù)的基本概念

對(duì)于離散系統(tǒng),一般用差分方程來描述,其形式為

定義該離散系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為:初始條件為零時(shí),系統(tǒng)輸出、輸入序列的Z變換的比值:

2.離散時(shí)間系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)

在圖4-4(a)所示的開環(huán)系統(tǒng)中,兩個(gè)串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開關(guān)存在,這時(shí)

在圖4-4(b)所示的系統(tǒng)中,兩個(gè)串聯(lián)環(huán)節(jié)之間沒有采樣開關(guān)隔離,這時(shí)系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為

式(4-22)和式(4-23)中的G1G2(z)≠G1(z)G2(z)

圖4-4-兩種開環(huán)串聯(lián)結(jié)構(gòu)

3.離散時(shí)間系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)

由圖4-5所示的閉環(huán)系統(tǒng)可得

圖4-5閉環(huán)采樣控制系統(tǒng)

閉環(huán)離散系統(tǒng)對(duì)輸入量的脈沖傳遞函數(shù)為

與線性連續(xù)系統(tǒng)類似,閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的分母1+GH(z)=0即為閉環(huán)采樣控制系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式。

計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)中往往有數(shù)字控制器環(huán)節(jié),如圖4-6所示,具有數(shù)字控制器的采樣系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

圖4-6具有數(shù)字控制器的采樣系統(tǒng)

例4-3判斷圖4-7所示系統(tǒng)在采樣周期T=1s和T=4s時(shí)的穩(wěn)定性。圖4-7采樣系統(tǒng)

解開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為

4.5MATLAB實(shí)例仿真

基于MATLAB的Z變換使用ztrans、iztrans函數(shù)分別求出離散時(shí)間信號(hào)的Z變換和逆Z變換(也稱Z反變換)的結(jié)果,并用pretty函數(shù)對(duì)結(jié)果進(jìn)行變換。

2.求x(n)=n4-的Z變換

3.求x(n)=sin(an+b)的Z變換

小結(jié)計(jì)算機(jī)控制系