（新教材）2021年高一下學(xué)期第一次月考卷 數(shù)學(xué)（A卷）-解析版

（新教材）2021年高一下學(xué)期第一次月考卷數(shù)學(xué)（A）注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，寫(xiě)在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交。第Ⅰ卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．如圖，在△ABC中，D為邊BC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由已知及圖形得到，故A錯(cuò)誤；，故B錯(cuò)誤；，故C正確；，故D錯(cuò)誤，故選C．2．設(shè)，是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)分別與軸、軸正方向相同的兩個(gè)單位向量，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，，則的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，，所以，故選D．3．已知向量，滿足，，則向量在向量方向上的投影為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，作，，，延長(zhǎng)OB至點(diǎn)C，使，以O(shè)A，OC為鄰邊作矩形OCDA，則，，即為與的夾角，，則向量在的方向上的投影為，故選A．4．設(shè)向量與的夾角為θ，，，則等于（）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，則，，解得，即，，所以，故選A．5．下列命題中，不正確的是（）A．若a、b、c是三角形三邊，且，則C是銳角B．在中，若，則C．在中，若，則一定是直角三角形D．任何三角形的三邊之比不可能是1：2：3【答案】B【解析】對(duì)于A：由余弦定理可得，又，所以，所以角C是銳角，故A正確；對(duì)于B：由余弦定理可得，又，所以，所以角A是銳角，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)?，，所以，所以，則，所以一定是直角三角形，故C正確；對(duì)于D：若三角形三邊之比是1：2：3，不妨設(shè)三邊為a，2a，3a，則兩短邊之和為3a，不滿足三角形兩邊之和大于第三邊，故任何三角形的三邊之比不可能是1：2：3，故D正確，故選B．6．向量，，，若A，B，C三點(diǎn)共線，則k的值為（）A． B． C．或 D．或【答案】C【解析】由題得，，由題知，故，解得或，故選C．7．已知單位向量，滿足，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得，兩邊平方，得，即，整理得，所以或，因?yàn)?，所以，所以，所以，故選B．8．在中，設(shè)，那么動(dòng)點(diǎn)M的軌跡必通過(guò)的（）A．垂心 B．內(nèi)心 C．外心 D．重心【答案】C【解析】設(shè)BC的中點(diǎn)是O，，即，所以，所以動(dòng)點(diǎn)M在線段BC的中垂線上，所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡必通過(guò)的外心，故選C．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．若點(diǎn)O是線段BC外一點(diǎn)，點(diǎn)P是平面上任意一點(diǎn)，且，則下列說(shuō)法正確的有（）A．若λ+μ=1且λ>0，則點(diǎn)P在線段BC的延長(zhǎng)線上B．若λ+μ=1且λ<0，則點(diǎn)P在線段BC的延長(zhǎng)線上C．若λ+μ>1，則點(diǎn)P在△OBC外D．若λ+μ<1，則點(diǎn)P在△OBC內(nèi)【答案】BC【解析】因?yàn)?，若?μ=1且λ>0，則，故，即，又λ>0，則點(diǎn)P在線段BC或其反向延長(zhǎng)線上，A錯(cuò)誤；若λ+μ=1且λ<0，同上可得，而λ<0，則點(diǎn)P在線段BC的延長(zhǎng)線上，B正確；若λ+μ>1，，同上可得，當(dāng)時(shí)，，根據(jù)向量加法的平行四邊形法則可以看出，點(diǎn)P在△OBC外，C正確；若，不妨令，，則，很顯然此時(shí)點(diǎn)P在線段CO的延長(zhǎng)線上，不在△OBC內(nèi)，D錯(cuò)誤，故選BC．10．在中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，已知，，且，則（）A． B． C． D．【答案】AD【解析】，整理可得，可得，為三角形內(nèi)角，，，故A正確，B錯(cuò)誤；，，，，，解得，由余弦定理得，解得，故C錯(cuò)誤，D正確，故選AD．11．有下列說(shuō)法其中正確的說(shuō)法為（）A．若，，則B．若，，分別表示，的面積，則C．兩個(gè)非零向量，，若，則與共線且反向D．若，則存在唯一實(shí)數(shù)使得【答案】BC【解析】A選項(xiàng)錯(cuò)誤，例如，推不出；B選項(xiàng)，設(shè)AC的中點(diǎn)為M，BC的中點(diǎn)為D，因?yàn)椋?，即，所以O(shè)是MD的三等分點(diǎn)，可知O到AC的距離等于D到AC距離的，而B(niǎo)到AC的距離等于D到AC距離的2倍，故可知O到AC的距離等于B到AC距離的，根據(jù)三角形面積公式可知正確；C選項(xiàng)，兩邊平方可得，所以，即夾角為，結(jié)論正確；D選項(xiàng)錯(cuò)誤，例如，故選BC．12．如圖，的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，．若，且，是外一點(diǎn)，，，則下列說(shuō)法正確的是（）A．是等邊三角形B．若，則，，，四點(diǎn)共圓C．四邊形面積最大值為D．四邊形面積最小值為【答案】AC【解析】由正弦定理，，，得，，，，B是等腰的底角，，，是等邊三角形，A正確；B不正確：若四點(diǎn)共圓，則四邊形對(duì)角互補(bǔ)，由A正確，知，，但由于，，時(shí)，，∴B不正確；C正確，D不正確，設(shè)，則，，，，，，，∴C正確，D不正確，故選AC．第Ⅱ卷三、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．已知向量，不共線，實(shí)數(shù)x，y滿足，則_____．【答案】3【解析】∵，不共線，且，∴，解得，∴，故答案為3．14．一條河寬為800m，一船從A處出發(fā)垂直到達(dá)河正對(duì)岸的B處，船速為20km/h，水速為12km/h，則船到達(dá)B處所需時(shí)間為_(kāi)_______min．【答案】3【解析】∵，，，∴．∴所需時(shí)間，∴該船到達(dá)B處所需的時(shí)間為3min，故答案為3．15．在中，角的對(duì)邊分別為，，，若有最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【解析】由于，所以，由正弦定理得，所以，，所以．當(dāng)，即時(shí)，，沒(méi)有最大值，所以，則，其中，要使有最大值，則要能取，由于，所以，所以，即，解得．所以的取值范圍是，故答案為．16．已知平面向量滿足，，，則的取值范圍是_________；已知向量是單位向量，若，且，則的取值范圍是__________．【答案】，【解析】（1）由，，解得，又由，代入已知值可得，化簡(jiǎn)可得，解得．（2）因?yàn)槭菃挝幌蛄浚?，設(shè)，，設(shè)，則，，因?yàn)?，即，化?jiǎn)得，所以表示線段上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離，所以；，故答案為，．四、解答題：本大題共6個(gè)大題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．（10分）設(shè)，是不共線的非零向量，且，．（1）證明：，可以作為一組基底；（2）以，為基底，求向量的分解式；（3）若，求λ，μ的值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）．【解析】（1）證明：若，共線，則存在λ∈R，使，則，由，不共線得，所以λ不存在，故平面向量，不共線，可以作為一組基底．（2）解：設(shè)(m，n∈R)，得：，因?yàn)?，，是不共線的非零向量，所以，所以．（3）解：由得：，又，是不共線的非零向量，所以，故所求λ，μ的值分別為3和1．18．（12分）銳角的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，．（1）若，，求；（2）若，求b的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）依題意得，，得，又，所以，由余弦定理得，得，而，解得，故為等邊三角形，所以．（2）依題意，由正弦定理得，則，由于是銳角三角形，則，，，得，則b的取值范圍為．19．（12分）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，，．（1）求外接圓的面積；（2）若，，求的周長(zhǎng)．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）∵，∴，由正弦定理得，因?yàn)?，所以，得，又，故，∴外接圓的半徑，∴外接圓的面積為．（2）由及，得，，∵，則為銳角，∴，故．如圖所示，在中，由余弦定理得，，解得，則的周長(zhǎng)為．20．（12分）已知O是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，D為BC邊中點(diǎn)．（1）若點(diǎn)O滿足，求證：；（2）已知E為AC邊中點(diǎn)，O在線段DE上，且滿足，的面積為2，求的面積．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）面積為12．【解析】（1）∵D為BC邊中點(diǎn)，∴，∴由，得，∴．（2）如圖，根據(jù)條件：，∴，∴，又，∴，所以，即的面積為12．21．（12分）如圖，在四邊形中，，，．（1）求；（2）若，求周長(zhǎng)的最大值．【答案】（1）；（2）12．【解析】（1）在中，，，利用正弦定理得，，又為鈍角，為銳角，．（2）在中，由余弦定理得，解得或