數(shù)學-四川省遂寧市2024-2025學年高二上學期期末考試試題和答案

秘密★啟用前遂寧市2024一2025學年度高中二年級第一學期期末質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學試題本試卷分選擇題和非選擇題兩部分。滿分150分,考試時間120分鐘?！⑦x擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分·在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合i-lA·2B./3C.2D.3的方法抽取300頭牛,其中甲品種牛30頭,乙品種牛90頭,丙品種牛180頭,現(xiàn)采用分層抽樣A.6,18,36B.6,20,34C.10,18,32D.10,20,303.經(jīng)過點P(2,3)且與直線2zy=0垂直的直線l的方程為A.2z十y-7=0B.2zy-1=0C.x十2y一8=0D.x+2y+4=04.將一枚質(zhì)地均勻的正四面體教具連續(xù)拋擲n(n≥8,nEN)次,第5次和第8次某一面朝下的概率分別記為p,q,則p,q的大小關(guān)系為A.p,q的大小由n確定B.p<qC.p>qD.p=q5.已知圓C:(az+1)2+(y十4)2=25,圓C2:x2y2z一4y-1=0,則圓C與圓C2的位置關(guān)系是A.外離B.外切C.相交D.內(nèi)含高二數(shù)學試題高二數(shù)學試題第1頁(共4頁)6.已知空間向量a=(1,1,1),b=(0,m,2),c=(1,0,0),若a,b,C共面,則實數(shù)172的值為A.2B.—2C.—1D.17.某地區(qū)今年舉行了校園足球聯(lián)賽·賽季結(jié)束后的數(shù)據(jù)顯示:甲學校足球代表隊(下稱甲隊)每場賽平均失球數(shù)是1.9,每場失球個數(shù)的標準差是0.5.下列說法中正確的是8.已知點集Ωi={(x,y)z十y十IZY=2},Ω2={(x,y)I(UN+y)2+(axry)2=4,aER}分別表示曲線T1,T2,若T1,T2有四個公共點,則a的取值范圍A.(-廠2,、)B.(-廠2,-1)U(1,)C.(cO,—1)U(1,十。)D.(一2,-1)U(1,2)二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共計18分·在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分部分選對的得部分分,有選錯的得。分.9.某人連續(xù)投籃三次,每次投一球,記事件A為"三次都投中",事件B為"三次都沒投中",事件C為"恰有二次投中",事件D為"至少有二次投中",則A.A三DB.BnD C.AUC=DD.BD=BA·直線2z+1=0的一個方向向量為(0,1)B.A(3,1),B(5,2),C(-3,-2)三點共線C.直線2(m+1)x+(3-m)y—9-5m=0(其中mER)必過定點(3,1)D.經(jīng)過點P(0,1),傾斜角為的直線方程為y=ztan0+111.在平面直角坐標系中已知兩定點A(0,—1),B(0,1),動點P滿足直線PA與直線PB的斜率之積為m(m*0),記P的軌跡為c,則下列描述正確的是A.當m=-1時,曲線c是以原點為圓心,半徑為1的圓B.當m>0時,點P所在曲線的焦點在y軸上C.當m<0時,過點(1,0)的直線與曲線c至少有一個公共點D.當m>0時,直線y=kx十2與曲線c有兩個不同公共點,則mk21高二數(shù)學試題高二數(shù)學試題第2頁(共4頁)3小題,每小題5分,共15分.,1,0),b=(-1,0,1),若ka+b與b互相垂直則實數(shù)k的值為·13.已知直線(m-2)x十(m-1)y-4=0與直線3z+4y十m+6=0平行(其中m為實數(shù)),則它們之間的距離為·14.已知三棱柱ABCABiC,點P在△ABC內(nèi),D,E,F分別為△AiB,C三邊的一個三等分點,n為面ABC的一個法向量,且nl=1.若P到面AiBici的距離為2,則n·(PD+PE+PF)= 四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明證明過程或演算步驟·15.(13分)已知橢圓C:+-la>b>長E為s.·(1)求橢圓C的方程;(2)以C的焦點為頂點短軸為虛軸的雙曲線記為C2,求C的方程及其漸近線方程·16.(15分)已知直線l:y=k(x+1),圓M:z2十y2一4.z—4y+4=0(點M為圓心).(1)若直線l與圓M相切,求實數(shù)k的值;(2)當k=1時,判斷直線l與圓M是否相交于不同的兩點?如果相交于不同兩點為A,B,并求△MAB的面積,如果不相交,請說明理由·17.(15分)2個紅球1個白球乙的盒子里面有2個紅球3個白球,這些球只有顏色不同·每一輪比賽的高二數(shù)學試題第3頁(共4頁)18.(17分)如圖,等腰梯形ABED的高為2,ABDE,AB=3DE=6,C是AB上靠近A的三等分點,如圖①所示,將ACD沿DC折起到ACD的位置,使得AC上CB,如圖②所示,點M在棱AiB上·(1)求證:直線AC上平面BCDE;(2)若M是AiB的中點,求直線DM與平面A1BE19.(17分)已知拋物線C:y2=2pz(p>0)的焦點為F,第一象限內(nèi)的一點P(4,y,)在拋物線且IPFI=5·(1)求拋物線C的方程;(2)直線PF與拋物線c的另一個交點為Q,求△OPQ的面積(其中。為坐標原點);C上,,B,若高二數(shù)學試題第4頁(共4頁)數(shù)學試題參考答案及評分標準一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一個選項符合題目要求.【解析】由題可知,a=2,c=\故離心率【命題意圖】考查雙曲線方程標準方程及幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識,考查數(shù)學運算素養(yǎng)。【解析】抽取的甲品種牛的頭數(shù)為乙品種牛的頭數(shù)為=18,丙品種牛的頭數(shù)為=36,故抽取甲、乙、丙三個品種牛的頭數(shù)分別為6,18,36.【命題意圖】考查分層抽樣方法的應(yīng)用,通過計算各層抽樣數(shù)量,考查學生的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)?！窘馕觥恐本€2父—y=0的斜率為2,則直線l的斜率為—,其方程為y—3=—即父十2y—8=0.【命題意圖】本小題主要考查兩直線的位置關(guān)系,直線方程等基礎(chǔ)知識,考查運算求解等數(shù)學能力。【解析】第5次和第8次某一面朝下的概率p=q,故D正確.【命題意圖】測試伯努利試驗下概率的均等性,理解頻率與概率的關(guān)系,考查學生的數(shù)學抽象、數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)?！窘馕觥繄AC1的圓心C1(—1,—4),半徑r1=5,圓C2的標準方程為(父—2)2十(y—2)2=9,其圓心C2(2,2),半徑r2=3.圓C1與圓C2的圓心距|C1C2|=\r1十r2=8,r1—r2=2,可得r1—r2<|C1C2|<r1十r2,所以圓C1與圓C2相交.【命題意圖】本小題主要考查圓的方程、兩圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查運算求解等高能力。【解析】因為a=(1,1,1),b=(0,m,2),c=(1,0,0),且a,b,c共面,所以a=父b十yc,又父b十高二數(shù)學答案第1頁(共7頁),得到,解得m=2,故選A.【命題意圖】考查空間向量共面的條件,通過計算參數(shù),提升學生的數(shù)學運算和邏輯推理素養(yǎng)?！窘馕觥科骄鶃碚f,甲隊失球平均數(shù)少,防守效果較好,選項A錯誤;甲隊失球數(shù)的標準差比乙隊大,乙隊的技術(shù)水平更穩(wěn)定,選項B錯誤;甲隊平均失球少,標準差大,故甲隊表現(xiàn)好時失球少,表現(xiàn)差時失球多,選項C正確;綜合失球平均數(shù)和方差考慮,甲隊個別場次可以沒有失球,選項D錯誤.【命題意圖】本小題主要考查統(tǒng)計量的意義等基礎(chǔ)知識,考查了數(shù)學抽象、數(shù)據(jù)處理等數(shù)學核心素養(yǎng)?！窘馕觥繉τ讦?={(父,y)|父十y十|父—y|=2},當父≥y時,父=1;當父<y時,y=1.可知曲線Ω1為右圖“7”字曲線.對于Ω2={(父,y)|(a父十y)2十(a父y)2=4},當a=0時,方程(a父十y)2十(a父y)2=4化簡為y2=2, 即y=±\2,此時Γ1,Γ2僅有一個公共點,不合題意,A選項不正確;當a≠0時,曲線Ω2的方程為a2父2十y2=2,曲線Ω2為圖中的環(huán)形曲線,要使Γ1,Γ2有四個公共點,結(jié)合圖形可知,a∈(—\2,—1)U(1,\2).【命題意圖】判斷兩曲線(直線與圓,直線與橢圓)交點個數(shù),通過方程求解參數(shù)范圍,考查學生的數(shù)學運算和邏輯推理素養(yǎng)。二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共計18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.【解析】事件D指的是“恰好二次投中”和“恰好三次都投中”,故A,C正確,D正確;而B∩D=⑦,故選ACD.【命題意圖】通過事件的運算和關(guān)系判斷,發(fā)展學生的邏輯推理和數(shù)學抽象素養(yǎng)?！窘馕觥恐本€2父十1=0表示一條垂直于父軸的直線,它的一個方向向量為(0,1),故選項A正確;對于選項B,KAB=,KAC=,所以KAB=KAC,故選項B正確;對于選項C,由2(m十1)父十(3—m)y—9—5m=0可得:m(2父—y—5)十2父十3y—9=0,則解得所以直線2(m十1)父十(3—m)y—9—5m=0必過定點(3,1),故高二數(shù)學答案第2頁(共7頁)選項C正確;對于選項D,當θ=90。時,直線的斜率不存在,選項D錯誤.故選ABC.【命題意圖】綜合考查直線方向向量、三點共線、直線過定點及直線方程等多個知識點,培養(yǎng)學生的直觀想象、邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng)。設(shè)點P,顯然y≠±1,父≠0,→y2—=1.當m=—1時,得y2=1且y≠±1,所以C是以原點為圓心,半徑為1的圓,且除去(0,—1),(0,1)兩點,故選項A錯誤;當m>0時,由方程易知選項B正確;對于C,當m=—時,曲線C:y2十2父2=1,過點(1,0)的直線父=1與曲線C沒有公共點,故選項C錯誤;當m>0時,由方程知,它表示除去上下頂點的雙曲線,因此直線y=k父十2與C有兩個公共點,必須滿足直線y=k父十2與C的漸近線不能平行,故選項D正確,故選BD.【命題意圖】通過判斷動點軌跡形狀和直線與雙曲線的關(guān)系,考查學生直觀想象、邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng)。三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.【解析】由題知ka十b=(k—1,k,1),所以1—k十1=0,即k=2.【命題意圖】利用向量垂直的條件求解參數(shù),培養(yǎng)學生的邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng)?！窘馕觥恳驗橹本€(m—2)父十(m—1)y—4=0與直線3父十4y十m十6=0平行,所以4(m—2)—3(m—1)=0,解得m=5.此時兩直線可化為3父十4y—4=0和3父十4y十11=0,其距離為d=【命題意圖】考查直線的平行關(guān)系和平行線間的距離公式,通過計算提升學生數(shù)學運算素養(yǎng)。【解析】n.(PD十PE十PF)=n.PD十n.PE十n.【解析】n.(PD十PE十PF)=n.PD十n.PE十n.PF,而n.PD=|n||PD|cOS〈n,PD〉,→→→→又因為|PD||cOS〈n,PD〉|表示PD在n上投影向量的長度,故n.PD=±2,同理可求得n.EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up4(—→),PE)=±2,n.EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up4(—→),PF)=±2,據(jù)圖可知這三個數(shù)量積的符號同為正或同為負,故答案為±6.【命題意圖】利用空間向量求解幾何量,考查學生對投影向量的理解,培養(yǎng)學生空間想象和數(shù)學運算素養(yǎng)。四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.(13分)【解析】(1)依題意,可知2a=8,得a=4,……………………2分高二數(shù)學答案第3頁(共7頁)由,……………………4分所以b=\/a2—c2=2\3,……………………6分故橢圓C1的方程為EQ\*jc3\*hps10\o\al(\s\up8(父2),16)十=1.……………7分 (2)橢圓C1的焦點為F1(—2,0),F2(2,0),且短軸長為4\3.……………8分以F1(—2,0),F2(2,0)為左、右頂點的雙曲線C2的方程設(shè)為EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up5(父),m)EQ\*jc3\*hps10\o\al(\s\up9(2),2)—=1(m>0,n>0).…………………9分 依題意,得m=2,n=2\3,…………………10分所以,雙曲線C2的方程為EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up5(父),4)2—=1.……………………11分 其漸近線方程為y=±\3父.………………13分【命題意圖】通過橢圓和雙曲線的標準方程及它們的性質(zhì),考查學生的數(shù)學運算、邏輯推理、幾何直觀素養(yǎng)。16.(15分)…【解析】(1)圓M的標準方程為:(父—2)2十(y—2)2=4,圓M的圓心為(2,2),半徑為2.…2分直線l:k父—y十k=0,圓心M到l的距離d=|2k—2十k|=|3k—2|,……………4分\/k2十12\/k2十1因為直線l與圓M相切,所以12解得k=5或k=0.…………7分(2)直線l與圓M相交于不同的兩點.………8分理由如下:當k=1時,直線l:父—y十1=0,由(1)可知,圓心M到直線l的距離d=1<2,……………9分\2所以直線l與圓M相交于不同的兩點.……………………10分【注:也可以根據(jù)(1)中直線l與圓M相切時的斜率進一步得到,直線l與圓M相交時,其斜12率滿足0<k<5,故當k=1時,直線l與圓M相交于不同的兩點】12所以|AB|=2\,………13分高二數(shù)學答案第4頁(共7頁)所以△MAB的面積S△MAB=|AB|d=.……………15分【命題意圖】通過判斷直線與圓的位置關(guān)系和求解弦長等問題,考查學生的直觀想象、邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng)。17.(15分)【解析】(1)經(jīng)過多輪比賽后,估計甲走的步數(shù)比乙多.……2分原因是每輪比賽中甲向前走一步的可能性更大,具體如下:………………4分一輪比賽中,記“甲向前走一步”為事件A,“乙向前走一步”為事件B,根據(jù)古典概型概率的計算可得,……5分則P(A)>P(B),即每輪比賽中甲向前走一步的可能性更大.……………6分所以多輪比賽后,估計甲走的步數(shù)比乙多.…………………7分(2)在2輪比賽后,事件“乙走的步數(shù)比甲多”包含“乙恰好向前走一步,甲沒有前進”和“乙恰好向前走兩步,甲最多向前走一步”兩個事件,分別記為C,D,且事件C,D為互斥事件.則,………………10分……………13分所以2輪比賽后,乙走的步數(shù)比甲多概率為十P.………15分【命題意圖】通過概率計算考查學生對古典概型、相互獨立事件和互斥事件等基礎(chǔ)知識的理解和相關(guān)數(shù)據(jù)分析能力,通過分類討論培養(yǎng)學生的邏輯推理素養(yǎng)。18.(17分)【解析】(1)證明:在圖①中,作AB的靠近B的三等分點H,連接DH,所以AB=3HB,結(jié)合AB=3DE和DEⅡHB.所以四邊形EDHB為平行四邊形,所以DH=EB.所以△ADH為等腰三角形,因為C是AB上靠近A的三等分點,所以C為等腰三角形ADH底邊上的中點,所以DC丄AC.所以在圖②中,A1C丄CD.又因為A1C丄CB,且CD∩CB=C,所以直線A1C丄平面BCDE.………5分(2)由(1)知CD,CB,CA1兩兩垂直,分別以CD,CB,CA1所在直線為父軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標系,如圖所示.高二數(shù)學答案第5頁(共7頁)則C(0,0,0),D(2,0,0),E(2,2,0),B(0,4,0),A1(0,0,2),M(0,2,1),所以DM=(—2,2,1),A1B=(0,4,—2),BE=(2,—2,0).…………………7分設(shè)平面A1BE的法向量為n=(父,y,z),(n.A1B=4y—2z=0,則〈→令y=1,得n=(1,1,2).………9分(n.BE=2父—2y=0,設(shè)直線DM與平面A1BE所成角的大小為θ,|n||DM|3×\69EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up8(—→),DM)|n||DM|3×\69 所以直線DM與平面A1BE所成角的正弦值為\EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up4(6),9).……11分(3)CD=(2,0(3)CD=(2,0,0),CB=(0,4,0),CA1=(0,0,2),A1E=(2,2,—2).設(shè)A1M=λA1B,0≤λ≤1,則CM=CA1十A1M=CA1十λA1B=(0,4λ,2(1—λ)).……12分設(shè)平面DCM的法向量為m=(a,b,c),(m.CEQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up5(→),D)=2a=0,(m.CM=4λb十2(1—λ)c(m.CM=4λb十2(1—λ)c=0,令c=2λ,得b=λ—1,可得平面DCM的一個法向量為m=(0,λ—1,2λ),……………14分EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up8(n),n)EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up8(m),m)EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up8(λ),λ)2十4λ2=\,……………15分解得,且點M在棱A1B上, 所以的值為16.……………………17分【命題意圖】通過空間幾何的證明和直線與平面所成角以及二面角的求解,培養(yǎng)學生的空間想象、邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng)。19.(17分