2024-2025學(xué)年浙江省浙江強(qiáng)基聯(lián)盟高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省浙江強(qiáng)基聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題考生注意：1.本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效.一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)橹本€的斜率為，設(shè)傾斜角為，所以，故.故選：D.2.已知雙曲線的漸近線方程為，則雙曲線的離心率是（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，所以，所以，故選：A.3.若橢圓上一點(diǎn)到橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為，則（）A. B. C. D.或【答案】B【解析】若，則由得（舍去）；若，則由得.故選：B.4.已知數(shù)列滿足，，，若數(shù)列是遞增數(shù)列，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由數(shù)列是遞增數(shù)列，得，化簡(jiǎn)可得，即對(duì)于恒成立，所以，故選：C.5.如圖是正方體在一個(gè)平面上的展開(kāi)圖，則在原正方體中，直線與所成角的大小為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】將表面展開(kāi)圖還原為正方體，直線與在正方體中的位置如圖所示，連接，為正方形，，平面，平面，，平面，平面，，平面，又平面，，故直線與所成角的大小為.故選：D.6.直線與圓的位置關(guān)系是（）A.相離 B.相切 C.相交 D.都有可能【答案】C【解析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，所以圓心坐標(biāo)為，圓的半徑為5，直線恒過(guò)定點(diǎn)，，點(diǎn)在圓內(nèi)，所以直線與圓相交，故選：C.7.拋物線的焦點(diǎn)為，其準(zhǔn)線與雙曲線相交于，兩點(diǎn)，若為等腰直角三角形，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，設(shè)，，準(zhǔn)線方程與雙曲線聯(lián)立可得，解得.因?yàn)闉榈妊苯侨切?，所以，即，解得，故選：B.8.已知拋物線：，拋物線：，，的焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)，則（）A.直線的方程為 B.C. D.與各有一個(gè)交點(diǎn)的直線有三條【答案】D【解析】對(duì)于A，，，所以直線的方程為，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)在原點(diǎn)時(shí)，取到最小值為1，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)，所以，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)直線與只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，①若與軸平行或重合時(shí)，滿足與，各有一個(gè)交點(diǎn)，如圖；②若與相切時(shí)，與，各有一個(gè)交點(diǎn)的直線有兩條，一條與相切，一條與軸重合，如圖和，與，各有一個(gè)交點(diǎn)的直線有三條，D正確.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知直線：，直線：，則（）A.直線可以與軸平行 B.直線可以與軸平行C.當(dāng)時(shí)， D.當(dāng)時(shí)，【答案】ABD【解析】當(dāng)時(shí)，直線：，此時(shí)直線與軸平行，A項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，直線：，此時(shí)直線與軸平行，B項(xiàng)正確；若，則，解得，此時(shí)直線與重合，C項(xiàng)錯(cuò)誤；若，則，解得，D正確.故選:ABD.10.已知曲線:（為參數(shù)）,曲線:（為參數(shù)），，以下正確的是（）A.曲線是一個(gè)圓B.曲線是一條直線C.若，則曲線與存在公共點(diǎn)D.若，則曲線上的點(diǎn)到曲線距離的最大值為【答案】BCD【解析】A，曲線可化為：，故A錯(cuò)誤；B，曲線可化為：，故B正確.C，當(dāng)，：過(guò)曲線的上頂點(diǎn)，故C正確.D，若，：，設(shè)曲線上的點(diǎn)，則點(diǎn)到曲線的距離為，故D正確.故選：BCD.11.已知正方體的棱長(zhǎng)為2，，分別是線段，上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則（）A.若是的中點(diǎn)，則平面B.若是的中點(diǎn)，則平面C.最大值是D.的最小值為【答案】ACD【解析】是的中點(diǎn)，，，，∴是的中點(diǎn).連接交于點(diǎn)如圖所示.，∴四邊形是平行四邊形，.又平面，平面，平面，故A正確；以為原點(diǎn)如圖建立空間直角坐標(biāo)系，若是的中點(diǎn)，此時(shí)是的中點(diǎn)，那么，，，，而平面的一個(gè)法向量.，不是平面的法向量，故B錯(cuò)誤；當(dāng)與重合時(shí)，最大，為，故C正確；設(shè)，，則，，，，，，設(shè)，，，故，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.若向量，，且，則______.【答案】【解析】,，得，則.故答案為：13.已知點(diǎn)，，,點(diǎn)滿足,則的最小值為_(kāi)_____.【答案】209【解析】設(shè)，由，得，化簡(jiǎn)得，的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，3為半徑的圓.，，當(dāng)時(shí)，的最小值是209.故答案為：209.14.已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為、，若總存在一條過(guò)的直線，使得點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓上，則橢圓的離心率的取值范圍是______.【答案】【解析】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，，，，即，又，橢圓的離心率的取值范圍是.故答案為：.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟.15.在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線過(guò)點(diǎn).（1）若直線又過(guò)點(diǎn)，求直線的方程；（2）若直線與軸的正半軸，軸的正半軸分別交于，兩點(diǎn)，求面積的最小值.解：（1）因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)，，所以斜率為，所以：，即；（2）由題意可知直線的斜率存在且不為0，設(shè)：，代入得，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，所以面積的最小值是8.16.在四棱錐中，底面四邊形是正方形，，平面平面.（1）證明：；（2）若，求直線與平面所成角的大小.解：（1）連接交于點(diǎn)，平面平面，平面平面，，平面，平面，又平面，，四邊形是正方形，，，平面，平面，平面，平面，（2）取中點(diǎn)，連接，不妨設(shè).是正方形，所以，由（1）知平面，平面，，平面，平面，，平面，又平面，于是，，是中點(diǎn)，，，平面，平面，平面，在中，，所以，在中，，所以，點(diǎn)到平面的距離為.，平面，平面，平面，點(diǎn)到平面的距離.設(shè)直線與平面所成角為，于是，又，直線與平面所成角的大小為.17.已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)使直線，的斜率之積為，其軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）已知點(diǎn),點(diǎn)在曲線上,直線與軸交于點(diǎn),滿足，求直線的方程.解：（1）設(shè)，則，整理得：.（2）由題意可知直線斜率存在，設(shè)，，令得，由，得，，即，代入：，得，，，直線：.18.如圖,在四棱錐中,平面,，，，，點(diǎn)在線段上且滿足，點(diǎn)在線段上且滿足.（1）證明：；（2）若，求的值；（3）若存在，使直線與平面所成角為，求的取值范圍.解：（1）平面，平面，，又，，平面，平面，，又，，平面，平面，.（2）由（1）可知，又，，平面，平面，，由（1）可知，在中，，.與相似，則，在中，，，，..（3）以為原點(diǎn)，以，所在直線分別為軸，軸，以過(guò)點(diǎn)垂直于平面的直線為軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系.，，不妨設(shè)，，，，即，由知，于是，，，，設(shè)，則，，由可得，，.，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，于是令，得，，平面的一個(gè)法向量為，，結(jié)合，化簡(jiǎn)得，設(shè)，，要存在，使與平面所成角為，在0,1上有零點(diǎn).結(jié)合知函數(shù)圖象的對(duì)稱軸，故，又，只需滿足，解得.的取值范圍是.19.在平面直角坐標(biāo)系中，若，兩點(diǎn)在直線的同一側(cè)，則稱，為“-同域點(diǎn)”；若，兩點(diǎn)分別在直線的兩側(cè)，則稱，為“-異域點(diǎn)”.已知：拋物線：，：.（1）若點(diǎn)2,0，為“-異域點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（2）已知過(guò)0,1的直線與拋物線交于Ax1,y（Ⅰ）若，為“-同域點(diǎn)”，比較與0大小關(guān)系并說(shuō)明理由；（Ⅱ）直線的斜率為，過(guò)原點(diǎn)作斜率為的直線，，，點(diǎn)，到直線的距離分別記為，，若，求點(diǎn)，為“-同域點(diǎn)”的概率.解：（1）：，要使點(diǎn)2,0，為“-異域點(diǎn)”，則2,0應(yīng)在的下方，應(yīng)在的上方，所以，解得；（2）（Ⅰ）若，在的下方，則，所以，即，若，在的上方，則，即，所以，綜上，若，為“-同域點(diǎn)”，則；（Ⅱ）方程為：，聯(lián)立，得，所以，，直線：，即，所以，，，①若，為“-同域點(diǎn)”，則，，此時(shí)，令，得，又，則滿足要求的為，，，，，共6組；②若，不為“-同域點(diǎn)”，則，此時(shí)，令，得，又，則滿足要求的為，，2,3，，，共6組，綜上，滿足的的樣本空間有個(gè)樣本點(diǎn)，其中使點(diǎn)，為“-同域點(diǎn)”的樣本點(diǎn)有6個(gè)，故概率.浙江省浙江強(qiáng)基聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題考生注意：1.本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效.一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)橹本€的斜率為，設(shè)傾斜角為，所以，故.故選：D.2.已知雙曲線的漸近線方程為，則雙曲線的離心率是（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，所以，所以，故選：A.3.若橢圓上一點(diǎn)到橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為，則（）A. B. C. D.或【答案】B【解析】若，則由得（舍去）；若，則由得.故選：B.4.已知數(shù)列滿足，，，若數(shù)列是遞增數(shù)列，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由數(shù)列是遞增數(shù)列，得，化簡(jiǎn)可得，即對(duì)于恒成立，所以，故選：C.5.如圖是正方體在一個(gè)平面上的展開(kāi)圖，則在原正方體中，直線與所成角的大小為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】將表面展開(kāi)圖還原為正方體，直線與在正方體中的位置如圖所示，連接，為正方形，，平面，平面，，平面，平面，，平面，又平面，，故直線與所成角的大小為.故選：D.6.直線與圓的位置關(guān)系是（）A.相離 B.相切 C.相交 D.都有可能【答案】C【解析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，所以圓心坐標(biāo)為，圓的半徑為5，直線恒過(guò)定點(diǎn)，，點(diǎn)在圓內(nèi)，所以直線與圓相交，故選：C.7.拋物線的焦點(diǎn)為，其準(zhǔn)線與雙曲線相交于，兩點(diǎn)，若為等腰直角三角形，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，設(shè)，，準(zhǔn)線方程與雙曲線聯(lián)立可得，解得.因?yàn)闉榈妊苯侨切?，所以，即，解得，故選：B.8.已知拋物線：，拋物線：，，的焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)，則（）A.直線的方程為 B.C. D.與各有一個(gè)交點(diǎn)的直線有三條【答案】D【解析】對(duì)于A，，，所以直線的方程為，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)在原點(diǎn)時(shí)，取到最小值為1，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)，所以，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)直線與只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，①若與軸平行或重合時(shí)，滿足與，各有一個(gè)交點(diǎn)，如圖；②若與相切時(shí)，與，各有一個(gè)交點(diǎn)的直線有兩條，一條與相切，一條與軸重合，如圖和，與，各有一個(gè)交點(diǎn)的直線有三條，D正確.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知直線：，直線：，則（）A.直線可以與軸平行 B.直線可以與軸平行C.當(dāng)時(shí)， D.當(dāng)時(shí)，【答案】ABD【解析】當(dāng)時(shí)，直線：，此時(shí)直線與軸平行，A項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，直線：，此時(shí)直線與軸平行，B項(xiàng)正確；若，則，解得，此時(shí)直線與重合，C項(xiàng)錯(cuò)誤；若，則，解得，D正確.故選:ABD.10.已知曲線:（為參數(shù)）,曲線:（為參數(shù)），，以下正確的是（）A.曲線是一個(gè)圓B.曲線是一條直線C.若，則曲線與存在公共點(diǎn)D.若，則曲線上的點(diǎn)到曲線距離的最大值為【答案】BCD【解析】A，曲線可化為：，故A錯(cuò)誤；B，曲線可化為：，故B正確.C，當(dāng)，：過(guò)曲線的上頂點(diǎn)，故C正確.D，若，：，設(shè)曲線上的點(diǎn)，則點(diǎn)到曲線的距離為，故D正確.故選：BCD.11.已知正方體的棱長(zhǎng)為2，，分別是線段，上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則（）A.若是的中點(diǎn)，則平面B.若是的中點(diǎn)，則平面C.最大值是D.的最小值為【答案】ACD【解析】是的中點(diǎn)，，，，∴是的中點(diǎn).連接交于點(diǎn)如圖所示.，∴四邊形是平行四邊形，.又平面，平面，平面，故A正確；以為原點(diǎn)如圖建立空間直角坐標(biāo)系，若是的中點(diǎn)，此時(shí)是的中點(diǎn)，那么，，，，而平面的一個(gè)法向量.，不是平面的法向量，故B錯(cuò)誤；當(dāng)與重合時(shí)，最大，為，故C正確；設(shè)，，則，，，，，，設(shè)，，，故，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.若向量，，且，則______.【答案】【解析】,，得，則.故答案為：13.已知點(diǎn)，，,點(diǎn)滿足,則的最小值為_(kāi)_____.【答案】209【解析】設(shè)，由，得，化簡(jiǎn)得，的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，3為半徑的圓.，，當(dāng)時(shí)，的最小值是209.故答案為：209.14.已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為、，若總存在一條過(guò)的直線，使得點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓上，則橢圓的離心率的取值范圍是______.【答案】【解析】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，，，，即，又，橢圓的離心率的取值范圍是.故答案為：.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟.15.在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線過(guò)點(diǎn).（1）若直線又過(guò)點(diǎn)，求直線的方程；（2）若直線與軸的正半軸，軸的正半軸分別交于，兩點(diǎn)，求面積的最小值.解：（1）因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)，，所以斜率為，所以：，即；（2）由題意可知直線的斜率存在且不為0，設(shè)：，代入得，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，所以面積的最小值是8.16.在四棱錐中，底面四邊形是正方形，，平面平面.（1）證明：；（2）若，求直線與平面所成角的大小.解：（1）連接交于點(diǎn)，平面平面，平面平面，，平面，平面，又平面，，四邊形是正方形，，，平面，平面，平面，平面，（2）取中點(diǎn)，連接，不妨設(shè).是正方形，所以，由（1）知平面，平面，，平面，平面，，平面，又平面，于是，，是中點(diǎn)，，，平面，平面，平面，在中，，所以，在中，，所以，點(diǎn)到平面的距離為.，平面，平面，平面，點(diǎn)到平面的距離.設(shè)直線與平面所成角為，于是，又，直線與平面所成角的大小為.17.已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)使直線，的斜率之積為，其軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）已知點(diǎn),點(diǎn)在曲線上,直線與軸交于點(diǎn),滿足，求直線的方程.解：（1）設(shè)，則，整理得：.（2）由題意可知直線斜率存在，設(shè)，，令得，由，得，，即，代入：，得，，，直線：.18.如圖,在四棱錐中,平面,，，，，點(diǎn)在線段上且滿足，點(diǎn)在線段上且滿足.（1）證明：；（2）若，求的值；（3）若存在，使直線與平面所成角為，求的取值范圍.解：（1）平面