2025屆廣東省六校高三上學(xué)期十二月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省六校2025屆高三上學(xué)期十二月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】易知，再由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得時(shí)，即，因此.故選：D2.命題“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】易知命題“”的否定是“”.故選：B3.已知等邊的邊長為1，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，若，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】在中，取為基底，因?yàn)辄c(diǎn)分別為的中點(diǎn)，，所以，所以.故選：A.4.將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模v坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，則在下列區(qū)間中，函數(shù)單調(diào)遞減的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依題意可得，若單調(diào)遞減，則，解得；觀察選項(xiàng)可知，只需寫出在上的單調(diào)遞減區(qū)間即可，易知當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減區(qū)間為，只有，可得為函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間.故選：C5.已知，且，則的最小值為（）A.4 B. C.6 D.8【答案】D【解析】由可得：；當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，等號成立.即的最小值為8.故選：D.6.將曲線（為自然對數(shù)的底數(shù)）繞坐標(biāo)原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后第一次與軸相切，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)直線與曲線相切，設(shè)切點(diǎn)為，，則有，，解得，所以，所以切點(diǎn)為，將曲線（為自然對數(shù)的底數(shù)）繞坐標(biāo)原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后第一次與軸相切，則.故選：C.7.如圖，在已知正方體中，是棱上的點(diǎn)，且.平面將此正方體分為兩部分，則體積較小部分與體積較大部分的體積之比為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】棱上的點(diǎn)，使得，連接，如下圖所示：不妨取正方體的棱長為3，由正方體性質(zhì)可得，所以四點(diǎn)共面，平面就是平面，易知平面把正方體分成兩部分，其中幾何體為三棱臺，其體積為，又正方體的體積為，所以較大部分的體積為；可得.故選：A8.已知函數(shù)，若有兩個(gè)零點(diǎn).，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】易知，令，則，所以或；可得或，因此或，又因?yàn)椋?；所?故選：B二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得全部分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量分別為、，則下列說法不正確的是（）A.B.C.若，則D.若，則【答案】ACD【解析】設(shè)，則，對于A，當(dāng)時(shí)，，則，故A錯(cuò)誤；對于B，，，所以，故B正確；對于C，當(dāng)時(shí)，，，滿足，但，故C錯(cuò)誤；對于D，當(dāng)時(shí)，，而，故D錯(cuò)誤.故選：ACD.10.已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，前項(xiàng)和為，若，則下列說法正確的是（）A.當(dāng)最大B.使得成立的最小自然數(shù)C.D.中最小項(xiàng)為【答案】ABD【解析】因?yàn)?，所以，由，所以，所以，所?所以，當(dāng)時(shí)，最大，故A正確；由，，所以使得成立的最小自然數(shù)，故B正確；由，且，所以，即，故C錯(cuò)誤；因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，，所以；當(dāng)時(shí)，，，所以；當(dāng)時(shí)，，，所以.且，，所以中最小項(xiàng)為，故D正確.故選：ABD.11.如圖，在直三棱柱中，，Q是線段的中點(diǎn)，P是線段上的動點(diǎn)（含端點(diǎn)），則下列命題正確的是（）A.三棱錐的體積為定值B.直線與所成角的正切值的最小值是C.在直三棱柱內(nèi)部能夠放入一個(gè)表面積為的球D.的最小值為【答案】ABD【解析】對于A選項(xiàng)，如下圖所示，連接交于點(diǎn)，連接，

因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，則為的中點(diǎn)，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，因?yàn)槠矫?，平面，則平面，因?yàn)椋瑒t點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，為定值，又因?yàn)榈拿娣e為定值，故三棱錐的體積為定值，故A正確；對于B選項(xiàng)，因?yàn)槠矫妫渣c(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

由，則、、、、，設(shè)，其中，則，設(shè)直線與所成角為，所以，，當(dāng)時(shí)，取最大值，此時(shí)，取最小值，取最大值，此時(shí)，，，所以，直線與所成角的正切值的最小值是，故B正確；對于C選項(xiàng)，因?yàn)椋?，則，的內(nèi)切圓半徑為，由于直徑，所以在這個(gè)直三棱柱內(nèi)部可以放入一個(gè)最大半徑為的球，而表面積為的球，其半徑為：，因?yàn)?，所以這個(gè)直三棱柱內(nèi)部不可以放入半徑為的球，故C錯(cuò)誤；對于D選項(xiàng)，點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)為，則，

，，所以，，則，因?yàn)槠矫妫瑒t平面，因?yàn)槠矫?，則，將平面和平面延展為一個(gè)平面，如下圖所示：

在中，，，，由余弦定理可得，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值，故的最小值為，故D正確.故選：ABD.三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，若與垂直，則等于__________.【答案】2【解析】易知，由與垂直可得，即，解得；所以.故答案為：213.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則數(shù)列的前項(xiàng)和__________.【答案】【解析】由，當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即，所以數(shù)列為等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，公比為2，則，，所以，則故答案為：.14.若存在（互不相等），滿足，則的取值范圍為____________.【答案】【解析】存在（互不相等），滿足，則，不妨設(shè)，且是相鄰最值點(diǎn).當(dāng)時(shí)，則，解得，由，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，則，解得，由，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，綜上所述，.故答案為：.四?解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.在中，角對應(yīng)的三邊分別是，且（1）求角的值;（2）若，求的面積.解：（1）根據(jù)題意由正弦定理可得，整理可得，即，所以，可得，又，所以，又，因此；（2）由（1）得，由可得，解得或，當(dāng)時(shí)，，又，所以兩角均為鈍角，不合題意，因此，，又，可得，同理，由正弦定理可得，可得，，因此的面積為.16.已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率；（2）已知直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，且，求面積取值范圍.解:（1）設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：，由題意：，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.橢圓的離心率為：.（2）如圖：若直線的斜率不存在，則可取，因?yàn)椋扇?，此時(shí).若直線的斜率為0，同理可得.當(dāng)直線的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，由，得，則，用代替，得，則.所以.設(shè)，則.因，所以，，所以，所以.綜上，17.如圖所示，已知四棱錐中，，.（1）求證:平面；（2）當(dāng)四棱錐的體積最大時(shí)，求二面角的正弦值.（1）證明：設(shè)，連接，因?yàn)?，所以，所以，，又，，則，點(diǎn)為中點(diǎn)，又，所以，又，且，所以，又，平面，平面，所以平面；（2）解：由（1）可知，平面，平面，所以平面平面，取的中點(diǎn)為O，連接，則，平面平面，平面，所以平面，過點(diǎn)作，垂足為H，連接，則，所以為二面角的平面角，因?yàn)樗睦忮F的體積為，當(dāng)且僅當(dāng)，即體積最大，此時(shí)，在中，，所以，所以二面角的正弦值為.18.已知函數(shù).（1）若，求函數(shù)的極值；（2）討論的單調(diào)性；（3）若是的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：.解：（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?,+∞；所以，令f'x>0，解得，可得在1,+∞令f'x<0，解得，可得在0,1所以當(dāng)時(shí)，取得極小值為，無極大值；（2）由題意可得，當(dāng)時(shí)，，方程的判別式，解方程可得，其中；令f'x>0可得或即在區(qū)間上單調(diào)遞增；令f'x<0所以在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，令f'x>0可得,即在區(qū)間上單調(diào)遞增；令f'x<0可得，所以在區(qū)間0,2當(dāng)時(shí)，，方程的判別式，若，即時(shí)，恒成立，，此時(shí)在區(qū)間0,+∞上單調(diào)遞減；若，即時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即，其中；令f'x>0即可得在區(qū)間上單調(diào)遞增；令f'x<0可得或所以在區(qū)間區(qū)間，上單調(diào)遞減；綜上可得，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間0,2上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間，上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間0,+∞上單調(diào)遞減；（3）由題意可得是方程的兩實(shí)數(shù)根；因?yàn)槭堑膬蓚€(gè)極值點(diǎn)，由（2）可得，且，又，要證，只需證明，即證明，令，則需證明，令函數(shù)，則，所以函數(shù)在1,+∞上的單調(diào)遞減，可得，故，又，可得，故；所以.19.給定正整數(shù)，設(shè)數(shù)列是的一個(gè)排列，對表示以為首項(xiàng)的遞增子列的最大長度（數(shù)列中項(xiàng)的個(gè)數(shù)叫做數(shù)列的長度），表示以為首項(xiàng)的遞減子列的最大長度.我們規(guī)定：當(dāng)后面的項(xiàng)沒有比大時(shí)，，當(dāng)后面的項(xiàng)沒有比小時(shí)，.例如數(shù)列：，則.，.（1）若，求和；（2）求證：；（3）求的最值.（1）解：以為首項(xiàng)的最長遞增子列是，所以，因?yàn)楹竺娴捻?xiàng)都比小，所以，以為首項(xiàng)的最長遞增子列是，所以，因?yàn)楹竺鏇]有項(xiàng)，所以；因?yàn)楹竺娴捻?xiàng)都比大，所以，以為首項(xiàng)的最長遞減子列是或者，所以；因?yàn)楹竺娴捻?xiàng)都比大，所以，因?yàn)楹竺鏇]有項(xiàng)，所以；所以，即，（2）對于，由于數(shù)列是的一個(gè)排列，故，若，則每個(gè)以為首項(xiàng)的遞增子列都可以在前面加一個(gè)，得到一個(gè)以為首項(xiàng)的更長的遞增子列，所以，而每個(gè)以為首項(xiàng)的遞減子列都不包含，且，故可將替換為，得到一個(gè)長度相同的遞減子列，所以，這意味著；若，同理有，，故，總之，且和不能同時(shí)為零，故.（3）以為首項(xiàng)的遞增子列的最大長度不大于以為首項(xiàng)子列的最大長度，即，以為首項(xiàng)的遞減子列的最大長度不大于以為首項(xiàng)子列的最大長度，即，而，，所以，所以，考慮數(shù)列，此時(shí)，所以的最大值為；由（2）可知和不能同時(shí)為零，故，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，設(shè)，一方面有；另一方面，考慮這樣一個(gè)數(shù)列：，，則對有，故此時(shí)；結(jié)合以上兩方面可得，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，的最小值為；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，設(shè)，一方面有；另一方面，考慮這樣一個(gè)數(shù)列：，，則對有，故此時(shí)；結(jié)合以上兩方面可得，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，的最小值為；綜上可得，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，的最小值為；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，的最小值為；廣東省六校2025屆高三上學(xué)期十二月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】易知，再由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得時(shí)，即，因此.故選：D2.命題“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】易知命題“”的否定是“”.故選：B3.已知等邊的邊長為1，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，若，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】在中，取為基底，因?yàn)辄c(diǎn)分別為的中點(diǎn)，，所以，所以.故選：A.4.將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模v坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，則在下列區(qū)間中，函數(shù)單調(diào)遞減的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依題意可得，若單調(diào)遞減，則，解得；觀察選項(xiàng)可知，只需寫出在上的單調(diào)遞減區(qū)間即可，易知當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減區(qū)間為，只有，可得為函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間.故選：C5.已知，且，則的最小值為（）A.4 B. C.6 D.8【答案】D【解析】由可得：；當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，等號成立.即的最小值為8.故選：D.6.將曲線（為自然對數(shù)的底數(shù)）繞坐標(biāo)原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后第一次與軸相切，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)直線與曲線相切，設(shè)切點(diǎn)為，，則有，，解得，所以，所以切點(diǎn)為，將曲線（為自然對數(shù)的底數(shù)）繞坐標(biāo)原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后第一次與軸相切，則.故選：C.7.如圖，在已知正方體中，是棱上的點(diǎn)，且.平面將此正方體分為兩部分，則體積較小部分與體積較大部分的體積之比為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】棱上的點(diǎn)，使得，連接，如下圖所示：不妨取正方體的棱長為3，由正方體性質(zhì)可得，所以四點(diǎn)共面，平面就是平面，易知平面把正方體分成兩部分，其中幾何體為三棱臺，其體積為，又正方體的體積為，所以較大部分的體積為；可得.故選：A8.已知函數(shù)，若有兩個(gè)零點(diǎn).，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】易知，令，則，所以或；可得或，因此或，又因?yàn)椋?；所?故選：B二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得全部分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量分別為、，則下列說法不正確的是（）A.B.C.若，則D.若，則【答案】ACD【解析】設(shè)，則，對于A，當(dāng)時(shí)，，則，故A錯(cuò)誤；對于B，，，所以，故B正確；對于C，當(dāng)時(shí)，，，滿足，但，故C錯(cuò)誤；對于D，當(dāng)時(shí)，，而，故D錯(cuò)誤.故選：ACD.10.已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，前項(xiàng)和為，若，則下列說法正確的是（）A.當(dāng)最大B.使得成立的最小自然數(shù)C.D.中最小項(xiàng)為【答案】ABD【解析】因?yàn)?，所以，由，所以，所以，所?所以，當(dāng)時(shí)，最大，故A正確；由，，所以使得成立的最小自然數(shù)，故B正確；由，且，所以，即，故C錯(cuò)誤；因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，，所以；當(dāng)時(shí)，，，所以；當(dāng)時(shí)，，，所以.且，，所以中最小項(xiàng)為，故D正確.故選：ABD.11.如圖，在直三棱柱中，，Q是線段的中點(diǎn)，P是線段上的動點(diǎn)（含端點(diǎn)），則下列命題正確的是（）A.三棱錐的體積為定值B.直線與所成角的正切值的最小值是C.在直三棱柱內(nèi)部能夠放入一個(gè)表面積為的球D.的最小值為【答案】ABD【解析】對于A選項(xiàng)，如下圖所示，連接交于點(diǎn)，連接，

因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，則為的中點(diǎn)，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，因?yàn)槠矫?，平面，則平面，因?yàn)椋瑒t點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，為定值，又因?yàn)榈拿娣e為定值，故三棱錐的體積為定值，故A正確；對于B選項(xiàng)，因?yàn)槠矫妫?，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

由，則、、、、，設(shè)，其中，則，設(shè)直線與所成角為，所以，，當(dāng)時(shí)，取最大值，此時(shí)，取最小值，取最大值，此時(shí)，，，所以，直線與所成角的正切值的最小值是，故B正確；對于C選項(xiàng)，因?yàn)?，，則，的內(nèi)切圓半徑為，由于直徑，所以在這個(gè)直三棱柱內(nèi)部可以放入一個(gè)最大半徑為的球，而表面積為的球，其半徑為：，因?yàn)?，所以這個(gè)直三棱柱內(nèi)部不可以放入半徑為的球，故C錯(cuò)誤；對于D選項(xiàng)，點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)為，則，

，，所以，，則，因?yàn)槠矫?，，則平面，因?yàn)槠矫?，則，將平面和平面延展為一個(gè)平面，如下圖所示：

在中，，，，由余弦定理可得，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值，故的最小值為，故D正確.故選：ABD.三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，若與垂直，則等于__________.【答案】2【解析】易知，由與垂直可得，即，解得；所以.故答案為：213.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則數(shù)列的前項(xiàng)和__________.【答案】【解析】由，當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即，所以數(shù)列為等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，公比為2，則，，所以，則故答案為：.14.若存在（互不相等），滿足，則的取值范圍為____________.【答案】【解析】存在（互不相等），滿足，則，不妨設(shè)，且是相鄰最值點(diǎn).當(dāng)時(shí)，則，解得，由，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，則，解得，由，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，綜上所述，.故答案為：.四?解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.在中，角對應(yīng)的三邊分別是，且（1）求角的值;（2）若，求的面積.解：（1）根據(jù)題意由正弦定理可得，整理可得，即，所以，可得，又，所以，又，因此；（2）由（1）得，由可得，解得或，當(dāng)時(shí)，，又，所以兩角均為鈍角，不合題意，因此，，又，可得，同理，由正弦定理可得，可得，，因此的面積為.16.已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率；（2）已知直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，且，求面積取值范圍.解:（1）設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：，由題意：，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.橢圓的離心率為：.（2）如圖：若直線的斜率不存在，則可取，因?yàn)?，可取，此時(shí).若直線的斜率為0，同理可得.當(dāng)直線的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，由，得，則，用代替，得，則.所以.設(shè)，則.因，所以，，所以，所以.綜上，17.如圖所示，已知四棱錐中，，.（1）求證:平面；（2）當(dāng)四棱錐的體積最大時(shí)，求二面角的正弦值.（1）證明：設(shè)，連接，因?yàn)?，所以，所以，，又，，則，點(diǎn)為中點(diǎn)，又，所以，又，且，所以，又，平面，平面，所以平面；（2）解：由（1）可知，平面，平面，所以平面平面，取的中點(diǎn)為O，連接，則，平面平面，平面，所以平面，過點(diǎn)作，垂足為H，連接，則，所以為二面角的平面角，因?yàn)樗睦忮F的體積為，當(dāng)且僅當(dāng)，即體積最大，此時(shí)，在中，，所以，所以二面角的正弦值為.18.已知函數(shù).（1）若，求函數(shù)的極值；（2）討論的單調(diào)性；（3）若是的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：.解：（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?,+∞；所以，令f'x>0，解得，可得在1,+∞令f'x<0，解得，可得在0,1所以當(dāng)時(shí)，取得極小值為，無極大值；（2）由題意可得，當(dāng)時(shí)，，方程的判別式，解方程可得，其中；令f'x>0可得或即在區(qū)間上單調(diào)遞增；令f'x<0所以在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，令f'x>0可得,即在區(qū)間上單調(diào)遞增；令f'x<0可得，所以在區(qū)間0,2當(dāng)時(shí)，，方程的判別式，若，即時(shí)，恒成立，，此時(shí)在區(qū)間0,+∞上單調(diào)遞減；若，即時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即，其中；令f'x>0即可得在區(qū)間上單調(diào)遞增；令f'x<0可得或所以在區(qū)間區(qū)間，上單調(diào)遞減；綜上可得，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單