2025屆河南省新鄉(xiāng)市高三上學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省新鄉(xiāng)市2025屆高三上學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上．2，回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．4．本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部?jī)?nèi)容．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B. C.1 D.2【答案】A【解析】，.故選：A.2.函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】函數(shù)，求導(dǎo)得，則，而，所以所求切線方程為，即.故選：D3.為了增強(qiáng)學(xué)生的體質(zhì)，某中學(xué)每年都要舉行一次全校一分鐘跳繩測(cè)試．已知某次跳繩測(cè)試中，某班學(xué)生的一分鐘跳繩次數(shù)的頻數(shù)分布直方圖如圖所示，則該班學(xué)生一分鐘跳繩次數(shù)的中位數(shù)的估計(jì)值為（結(jié)果精確到整數(shù)）（）A.127 B.136 C.133 D.138【答案】D【解析】該班共有人，因?yàn)椋灾形粩?shù)在區(qū)間內(nèi)，設(shè)為，則，解得.故選：D.4.若函數(shù)的定義域分別為，且，則（）A.0 B. C. D.1【答案】A【解析】由題意，因?yàn)椋?，解得，所以故選：A.5.若直線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)為，且，則（）A.或 B.或 C.或 D.或【答案】B【解析】圓的圓心，半徑，由題意圓心到直線的距離，則，解得或.故選：B.6.將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，縱坐標(biāo)不變，再將所得圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，若在區(qū)間上恰有5個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】依題意，，當(dāng)時(shí)，，由在區(qū)間上恰有5個(gè)零點(diǎn)，得，解得.故選：B7.“蝠”與“?！卑l(fā)音相同，在中國(guó)文化中，蝙蝠圖案經(jīng)常寓意福氣臨門．某商家設(shè)計(jì)的折疊儲(chǔ)物凳是正三棱臺(tái)形狀，如圖，其側(cè)面展開圖形似蝙蝠．每個(gè)側(cè)面梯形的上底長(zhǎng)為分米，下底長(zhǎng)為分米，梯形的腰長(zhǎng)為分米，忽略儲(chǔ)物凳的表面厚度，則該正三棱臺(tái)儲(chǔ)物凳的儲(chǔ)物容積為（）A.立方分米 B.立方分米 C.7立方分米 D.立方分米【答案】D【解析】如圖，在正三棱臺(tái)中，，將棱臺(tái)補(bǔ)全為正三棱錐，設(shè)為底面的中心，連接，則平面，而平面，所以，因?yàn)椋?，，所以，則正三棱臺(tái)的高，該正三棱臺(tái)的上底面面積，下底面面積，所以該正三棱臺(tái)儲(chǔ)物凳的儲(chǔ)物容積.故選：D.8.當(dāng)，且有且只有一個(gè)為0時(shí)，，則（）A.既無最大值，也無最小值 B.的最大值為4，最小值為2C.的最大值為無最小值 D.的最小值為無最大值【答案】A【解析】在中，由有且只有一個(gè)為0，當(dāng)時(shí)，則，而，則，，因此，即，同理，所以，既無最大值，也無最小值.故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知，則以下等式可能成立的有（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，所以不可能成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，得，則，則可能成立，故B正確；對(duì)于C，取，此時(shí)，則可能成立，故C正確；對(duì)于D，由，得，則則，則不可能成立，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10.已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線的斜率為，且與交于兩個(gè)不同的點(diǎn)（點(diǎn)在軸的上方），下列說法正確的是（）A.若，則 B.若，則C.點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積與有關(guān) D.若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則【答案】ABD【解析】設(shè)，對(duì)于A，若，則直線，聯(lián)立，得，則，所以，故A正確；對(duì)于B，過點(diǎn)分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，不妨設(shè)，則，則，故B正確；對(duì)于C，易得直線的斜率不為零，設(shè)，聯(lián)立，得，則為定值，所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積與無關(guān)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，得，即，即，由，得，，因?yàn)辄c(diǎn)在軸的上方，所以，則，所以，所以，故D正確.故選：ABD.11.在四棱錐中，，動(dòng)點(diǎn)平面，且是的中點(diǎn)，則（）A.平面 B.長(zhǎng)可能為3C. D.點(diǎn)在半徑為的球面上【答案】ACD【解析】對(duì)于A，取的中點(diǎn)，連接，則，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，故A正確；對(duì)于B，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，由題意四邊形為直角梯形，則，因?yàn)椋渣c(diǎn)在以為球心，為半徑的球面上運(yùn)動(dòng)（不過平面），則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，因?yàn)椴还簿€，所以，所以，故C正確；對(duì)于D，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，則，所以點(diǎn)在以為球心，為半徑的球面上運(yùn)動(dòng)，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若橢圓的離心率為，則______，______．【答案】①②.【解析】因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，所以，，.故答案為：；.13.在中，角的對(duì)邊分別為，的面積，則的最小值為______，此時(shí)的周長(zhǎng)為______．【答案】①.8②.【解析】由和正弦定理可得，故,，，故,當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，，故，此時(shí)周長(zhǎng)為，故答案為：8，14.如圖，機(jī)器人從A點(diǎn)出發(fā)，每次可以向右或向上沿著線走一個(gè)單位（每個(gè)小正方形的一條邊長(zhǎng)為一個(gè)單位），要走到B點(diǎn)，不同的走法共有______種．【答案】401【解析】如圖，當(dāng)路線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，從到有1種，從到有種；當(dāng)路線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，從到有種，從到有種；當(dāng)路線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，從到有種，從到有種；當(dāng)路線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，從到有種，從到有種；當(dāng)路線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，從到有種，從到有1種，所以不同的走法共有（種）.故答案為：401四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.設(shè)函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）比較與的大小；（3）若關(guān)于的不等式的解集為，求的取值范圍．解：（1），當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；（2）因?yàn)?，所以；?）因?yàn)殛P(guān)于的不等式的解集為，則只需要即可，由（1）得，所以，解得，所以的取值范圍為．16.如圖，在中，，將沿折起得到四棱錐，且平面平面．（1）證明：四棱錐的高為．（2）求直線與平面所成角的正弦值．解：（1）證明：依題意，則，因?yàn)椋?，所以和都是邊長(zhǎng)為的正三角形，取的中點(diǎn)，連接，則，，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，所以即為四棱錐的高，所以四棱錐的高為；（2）如圖所示，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，故，設(shè)平面的法向量為，則有，可取，則，所以直線與平面所成角的正弦值為．17.某項(xiàng)編程技能比賽分為兩輪：第一輪初賽，賽題由6道基礎(chǔ)編程題和4道中級(jí)編程題組成，基礎(chǔ)編程題每題答對(duì)得5分，中級(jí)編程題每題答對(duì)得10分，初賽至少得60分才能進(jìn)入第二輪復(fù)賽，否則淘汰；第二輪復(fù)賽，賽題由2道中級(jí)編程題和2道高級(jí)編程題組成，中級(jí)編程題每題答對(duì)得10分，高級(jí)編程題每題答對(duì)得20分．所有的題答錯(cuò)都不扣分．已知甲同學(xué)能答對(duì)每道基礎(chǔ)編程題，中級(jí)編程題每題答對(duì)的概率為，高級(jí)編程題每題答對(duì)的概率為，且各題答對(duì)與否互不影響．（1）求甲同學(xué)初賽被淘汰的概率；（2）已知甲同學(xué)第一輪初賽得滿分70分，求甲同學(xué)兩輪比賽所得總分X的分布列及期望．解：（1）若甲同學(xué)初賽不被淘汰，則他答對(duì)中級(jí)編程題的數(shù)量至少為，則甲同學(xué)初賽不被淘汰的概率為，所以甲同學(xué)初賽被淘汰的概率為；（2）由題意可取，則，，，，，，，所以的分布列為：故.18.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，且．（1）求的漸近線方程．（2）點(diǎn)為的左支上一點(diǎn)，且．分別為的左、右頂點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交的右支于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在軸上方，直線與交于點(diǎn)．①求直線的方程；②證明：點(diǎn)到直線的距離為定值．解：（1）由題意可知，解得，則，所以雙曲線，所以的漸近線方程為；（2）①設(shè)，則，由余弦定理得，即，解得（負(fù)根舍去），所以，所以，則，所以直線的方程為；②證明：易知直線的斜率不為零，則可設(shè)直線的方程為，設(shè)，聯(lián)立，得，Δ=則，由題意得且，所以，則直線，直線，聯(lián)立可得，解得，故動(dòng)點(diǎn)在直線上，所以點(diǎn)到直線的距離為，所以點(diǎn)到直線的距離為定值.19.在平面直角坐標(biāo)系中，是坐標(biāo)原點(diǎn)．若點(diǎn)列中的3個(gè)相鄰的點(diǎn)滿足，則稱關(guān)于的方程是的特征方程，將方程的實(shí)數(shù)根稱為的特征根．已知，點(diǎn)列的特征根為1和．（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和；（3）若是公差為的等差數(shù)列，且各項(xiàng)都為正整數(shù)，和是已知的常數(shù)，求點(diǎn)列的特征根．解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)列的特征根為和，所以點(diǎn)列的特征方程為，所以，則，即，所以，所以的坐標(biāo)為，由，得，即，所以，所以的坐標(biāo)為；（2）由（1）知，，所以；（3）因?yàn)?，所以，所以，設(shè)，則，，，設(shè)，則①，②，由①②得，即，將代入②得，因?yàn)槭枪顬榈牡炔顢?shù)列，且各項(xiàng)都為正整數(shù)，所以，又，所以，得，又，所以點(diǎn)列的特征方程為，特征根為和.河南省新鄉(xiāng)市2025屆高三上學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上．2，回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．4．本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部?jī)?nèi)容．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B. C.1 D.2【答案】A【解析】，.故選：A.2.函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】函數(shù)，求導(dǎo)得，則，而，所以所求切線方程為，即.故選：D3.為了增強(qiáng)學(xué)生的體質(zhì)，某中學(xué)每年都要舉行一次全校一分鐘跳繩測(cè)試．已知某次跳繩測(cè)試中，某班學(xué)生的一分鐘跳繩次數(shù)的頻數(shù)分布直方圖如圖所示，則該班學(xué)生一分鐘跳繩次數(shù)的中位數(shù)的估計(jì)值為（結(jié)果精確到整數(shù)）（）A.127 B.136 C.133 D.138【答案】D【解析】該班共有人，因?yàn)?，所以中位?shù)在區(qū)間內(nèi)，設(shè)為，則，解得.故選：D.4.若函數(shù)的定義域分別為，且，則（）A.0 B. C. D.1【答案】A【解析】由題意，因?yàn)?，所以，解得，所以故選：A.5.若直線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)為，且，則（）A.或 B.或 C.或 D.或【答案】B【解析】圓的圓心，半徑，由題意圓心到直線的距離，則，解得或.故選：B.6.將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，縱坐標(biāo)不變，再將所得圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，若在區(qū)間上恰有5個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】依題意，，當(dāng)時(shí)，，由在區(qū)間上恰有5個(gè)零點(diǎn)，得，解得.故選：B7.“蝠”與“?！卑l(fā)音相同，在中國(guó)文化中，蝙蝠圖案經(jīng)常寓意福氣臨門．某商家設(shè)計(jì)的折疊儲(chǔ)物凳是正三棱臺(tái)形狀，如圖，其側(cè)面展開圖形似蝙蝠．每個(gè)側(cè)面梯形的上底長(zhǎng)為分米，下底長(zhǎng)為分米，梯形的腰長(zhǎng)為分米，忽略儲(chǔ)物凳的表面厚度，則該正三棱臺(tái)儲(chǔ)物凳的儲(chǔ)物容積為（）A.立方分米 B.立方分米 C.7立方分米 D.立方分米【答案】D【解析】如圖，在正三棱臺(tái)中，，將棱臺(tái)補(bǔ)全為正三棱錐，設(shè)為底面的中心，連接，則平面，而平面，所以，因?yàn)?，所以，，所以，則正三棱臺(tái)的高，該正三棱臺(tái)的上底面面積，下底面面積，所以該正三棱臺(tái)儲(chǔ)物凳的儲(chǔ)物容積.故選：D.8.當(dāng)，且有且只有一個(gè)為0時(shí)，，則（）A.既無最大值，也無最小值 B.的最大值為4，最小值為2C.的最大值為無最小值 D.的最小值為無最大值【答案】A【解析】在中，由有且只有一個(gè)為0，當(dāng)時(shí)，則，而，則，，因此，即，同理，所以，既無最大值，也無最小值.故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知，則以下等式可能成立的有（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，所以不可能成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，得，則，則可能成立，故B正確；對(duì)于C，取，此時(shí)，則可能成立，故C正確；對(duì)于D，由，得，則則，則不可能成立，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10.已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線的斜率為，且與交于兩個(gè)不同的點(diǎn)（點(diǎn)在軸的上方），下列說法正確的是（）A.若，則 B.若，則C.點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積與有關(guān) D.若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則【答案】ABD【解析】設(shè)，對(duì)于A，若，則直線，聯(lián)立，得，則，所以，故A正確；對(duì)于B，過點(diǎn)分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，不妨設(shè)，則，則，故B正確；對(duì)于C，易得直線的斜率不為零，設(shè)，聯(lián)立，得，則為定值，所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積與無關(guān)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，得，即，即，由，得，，因?yàn)辄c(diǎn)在軸的上方，所以，則，所以，所以，故D正確.故選：ABD.11.在四棱錐中，，動(dòng)點(diǎn)平面，且是的中點(diǎn)，則（）A.平面 B.長(zhǎng)可能為3C. D.點(diǎn)在半徑為的球面上【答案】ACD【解析】對(duì)于A，取的中點(diǎn)，連接，則，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，故A正確；對(duì)于B，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，由題意四邊形為直角梯形，則，因?yàn)?，所以點(diǎn)在以為球心，為半徑的球面上運(yùn)動(dòng)（不過平面），則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，因?yàn)椴还簿€，所以，所以，故C正確；對(duì)于D，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，則，所以點(diǎn)在以為球心，為半徑的球面上運(yùn)動(dòng)，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若橢圓的離心率為，則______，______．【答案】①②.【解析】因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，所以，，.故答案為：；.13.在中，角的對(duì)邊分別為，的面積，則的最小值為______，此時(shí)的周長(zhǎng)為______．【答案】①.8②.【解析】由和正弦定理可得，故,，，故,當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，，故，此時(shí)周長(zhǎng)為，故答案為：8，14.如圖，機(jī)器人從A點(diǎn)出發(fā)，每次可以向右或向上沿著線走一個(gè)單位（每個(gè)小正方形的一條邊長(zhǎng)為一個(gè)單位），要走到B點(diǎn)，不同的走法共有______種．【答案】401【解析】如圖，當(dāng)路線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，從到有1種，從到有種；當(dāng)路線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，從到有種，從到有種；當(dāng)路線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，從到有種，從到有種；當(dāng)路線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，從到有種，從到有種；當(dāng)路線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，從到有種，從到有1種，所以不同的走法共有（種）.故答案為：401四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.設(shè)函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）比較與的大??；（3）若關(guān)于的不等式的解集為，求的取值范圍．解：（1），當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；（2）因?yàn)?，所以；?）因?yàn)殛P(guān)于的不等式的解集為，則只需要即可，由（1）得，所以，解得，所以的取值范圍為．16.如圖，在中，，將沿折起得到四棱錐，且平面平面．（1）證明：四棱錐的高為．（2）求直線與平面所成角的正弦值．解：（1）證明：依題意，則，因?yàn)椋?，所以和都是邊長(zhǎng)為的正三角形，取的中點(diǎn)，連接，則，，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，所以即為四棱錐的高，所以四棱錐的高為；（2）如圖所示，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，故，設(shè)平面的法向量為，則有，可取，則，所以直線與平面所成角的正弦值為．17.某項(xiàng)編程技能比賽分為兩輪：第一輪初賽，賽題由6道基礎(chǔ)編程題和4道中級(jí)編程題組成，基礎(chǔ)編程題每題答對(duì)得5分，中級(jí)編程題每題答對(duì)得10分，初賽至少得60分才能進(jìn)入第二輪復(fù)賽，否則淘汰；第二輪復(fù)賽，賽題由2道中級(jí)編程題和2道高級(jí)編程題組成，中級(jí)編程題每題答對(duì)得10分，高級(jí)編程題每題答對(duì)得20分．所有的題答錯(cuò)都不扣分．已知甲同學(xué)能答對(duì)每道基礎(chǔ)編程題，中級(jí)編程題每題答對(duì)的概率為，高級(jí)編程題每題答