微專題01 平面向量-2025年新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)微專題提分突破140分方案

PAGE1微專題01平面向量【秒殺總結(jié)】結(jié)論1：極化恒等式1、平行四邊形平行四邊形對(duì)角線的平方和等于四邊的平方和：證明：不妨設(shè)，，則，（1）（2）（1）（2）兩式相加得：2、極化恒等式：上面兩式相減，得：————極化恒等式（1）平行四邊形模式：幾何意義：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對(duì)角線”與“差對(duì)角線”平方差的．（2）三角形模式：（M為BD的中點(diǎn)）結(jié)論2：矩形大法：矩形所在平面內(nèi)任一點(diǎn)到其對(duì)角線端點(diǎn)距離的平方和相等．已知點(diǎn)O是矩形ABCD與所在平面內(nèi)任一點(diǎn)，證明：．【證明】（坐標(biāo)法）設(shè)，以AB所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系xoy，則，設(shè)，則結(jié)論3：三點(diǎn)共線的充要條件設(shè)、、是三個(gè)不共線向量，則A、B、P共線存在使．特別地，當(dāng)P為線段AB的中點(diǎn)時(shí)，．結(jié)論4：等和線【基本定理】（一）平面向量共線定理已知，若，則三點(diǎn)共線；反之亦然．（二）等和線平面內(nèi)一組基底及任一向量，，若點(diǎn)在直線上或者在平行于的直線上，則（定值），反之也成立，我們把直線以及與直線平行的直線稱為等和線．（1）當(dāng)?shù)群途€恰為直線時(shí)，；（2）當(dāng)?shù)群途€在點(diǎn)和直線之間時(shí)，；（3）當(dāng)直線在點(diǎn)和等和線之間時(shí)，；（4）當(dāng)?shù)群途€過(guò)點(diǎn)時(shí)，；（5）若兩等和線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則定值互為相反數(shù)；結(jié)論5：奔馳定理【奔馳定理】若O為內(nèi)任一點(diǎn)，且，則【典型例題】例1．在中，是的中點(diǎn)，，則____．【答案】-16【解析】因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，由極化恒等式得：．例2．（2024·江西新余·高三統(tǒng)考期末）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來(lái)，是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論．奔馳定理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián)．它的具體內(nèi)容是：已知M是內(nèi)一點(diǎn)，，，的面積分別為，，，且．以下命題正確的有（

）A．若，則M為的重心B．若M為的內(nèi)心，則C．若M為的垂心，，則D．若，，M為的外心，則【答案】ABC【解析】A選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，取的中點(diǎn)，則，所以，故三點(diǎn)共線，且，同理，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，可得三點(diǎn)共線，三點(diǎn)共線，所以M為的重心，A正確；B選項(xiàng)，若M為的內(nèi)心，可設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則，，，所以，即，B正確；C選項(xiàng)，若M為的垂心，，則，如圖，⊥，⊥，⊥，相交于點(diǎn)，又，，即，，即，，即，設(shè)，，，則，，，因?yàn)?，，所以，即，同理可得，即，故，，則，故，，則，故，，故，同理可得，故，C正確；D選項(xiàng)，若，，M為的外心，則，設(shè)的外接圓半徑為，故，，故，，，所以，D錯(cuò)誤.故選：ABC例3．正三角形內(nèi)接于半徑為2的圓O，點(diǎn)P是圓O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是．【答案】【解析】取AB的中點(diǎn)D，連結(jié)CD，因?yàn)槿切蜛BC為正三角形，所以O(shè)為三角形ABC的重心，O在CD上，且，所以，（也可用正弦定理求AB）又由極化恒等式得：因?yàn)镻在圓O上，所以當(dāng)P在點(diǎn)C處時(shí)，當(dāng)P在CO的延長(zhǎng)線與圓O的交點(diǎn)處時(shí)，所以例4．已知圓與，定點(diǎn)，A、B分別在圓和圓上，滿足，則線段AB的取值范圍是．【答案】【解析】以為鄰邊作矩形，則由得，即，的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，，．例5．給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量和，它們的夾角為，點(diǎn)在以為圓心的圓弧上變動(dòng)．若，其中，則的最大值是__________．【答案】2【解析】（秒殺）作平行于AB的直線l，當(dāng)且僅當(dāng)l與圓相切時(shí)，的取最大值2．令，則由得．由三點(diǎn)共線可得【過(guò)關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2024·山東·高三山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知向量滿足，，，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，所以可以?gòu)造如圖正：使得：，，延長(zhǎng)到，使得，以為圓心，為半徑作圓，因?yàn)椋缘慕K點(diǎn)在這個(gè)圓上.所以所以，而，.所以.故選：C2．（2024·北京西城·高三北京師大附中?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，圓為的外接圓，，為邊的中點(diǎn)，則（

）

A．10 B．13 C．18 D．26【答案】B【解析】是邊的中點(diǎn)，可得，是的外接圓的圓心，，同理可得，．故選：B．3．（2024·云南保山·高三統(tǒng)考期末）如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為4，若動(dòng)點(diǎn)在以為直徑的半圓上（正方形內(nèi)部，含邊界），則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】取的中點(diǎn)，連接，如圖所示，所以的取值范圍是，即，又由，所以.故選：B.4．（2024·全國(guó)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在等腰中，角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊為a，b，c，，，P是外接圓上一點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意等腰中，，，故，設(shè)外接圓半徑為R，則；以的外接圓圓心為原點(diǎn)，以的垂直平分線為y軸，過(guò)點(diǎn)O作的平行線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，，則，，則，，故，因?yàn)?，故，即的取值范圍是，故選：C5．（2024·北京通州·高三統(tǒng)考期末）在菱形中，是的中點(diǎn)，是上一點(diǎn)（不與，重合），與交于，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖所示：當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，此時(shí)最長(zhǎng)，易知，且相似比為，，在中，由余弦定理得：，所以，此時(shí)滿足，所以，所以，此時(shí)，由圖可知，，則.故選：B.6．（2024·全國(guó)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，動(dòng)點(diǎn)P滿足，且，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．P的軌跡為圓 B．P到原點(diǎn)最短距離為1C．P點(diǎn)軌跡是一個(gè)菱形 D．點(diǎn)P的軌跡所圍成的圖形面積為4【答案】C【解析】設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，則由已知條件可得，整理得．又因?yàn)椋訮點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)應(yīng)軌跡方程為．，且時(shí)，方程為；，且時(shí)，方程為；，且時(shí)，方程為；，且時(shí)，方程為．P點(diǎn)對(duì)應(yīng)的軌跡如圖所示：，且，所以P點(diǎn)的軌跡為菱形．A錯(cuò)誤，C正確；原點(diǎn)到：的距離為B錯(cuò)誤；軌跡圖形是平行四邊形，面積為，D錯(cuò)誤．故選：C．7．（2024·全國(guó)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）鍵線式可以簡(jiǎn)潔直觀地描述有機(jī)物的結(jié)構(gòu)，在有機(jī)化學(xué)中極其重要．有機(jī)物萘可以用左圖所示的鍵線式表示，其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)式可以抽象為右圖所示的圖形．已知與為全等的正六邊形，且，點(diǎn)為該圖形邊界（包括頂點(diǎn)）上的一點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】取線段的中點(diǎn)，則，，由圖可知，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，取最小值，且，由圖形可知，當(dāng)取最大值時(shí)，點(diǎn)在折線段上，連接，則，同理，由正六邊形的幾何性質(zhì)可知，，所以，，則、、三點(diǎn)共線，則，即，當(dāng)點(diǎn)在線段上從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的過(guò)程中，在逐漸增大，同理可知，，當(dāng)點(diǎn)在線段上由點(diǎn)到的過(guò)程中，在逐漸增大，所以，當(dāng)取最大值時(shí)，點(diǎn)在折線段上運(yùn)動(dòng)，以線段的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，線段的垂直平分線所在直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則、、、、、、，設(shè)點(diǎn)，（1）當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，，直線的方程為，即，所以，線段的方程為，則；（2）當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，，，則，所以，；（3）當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，，直線的方程為，即，所以，線段的方程為，所以，，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，故.綜上所述，的最大值為，故，故的取值范圍是.故選：B.8．（2024·遼寧遼陽(yáng)·高三統(tǒng)考期末）在中，，D為AB的中點(diǎn)，，P為CD上一點(diǎn)，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)镈為AB的中點(diǎn)，則，可得，即，解得，又因?yàn)镻為CD上一點(diǎn)，設(shè)，則，可得，解得，即，則，可得，即.故選：D.9．設(shè)，根據(jù)平面向量基本定理求得；10．以為基底表示，進(jìn)而運(yùn)算求解.二、多選題11．（2024·湖北襄陽(yáng)·高三棗陽(yáng)一中校聯(lián)考期末）已知直線，圓，且圓過(guò)點(diǎn)，直線與圓交于兩點(diǎn)，下列結(jié)論中正確的是（

）A．圓的半徑為2B．直線過(guò)定點(diǎn)C．的最小值是D．的最大值是0【答案】ABD【解析】由圓過(guò)點(diǎn)，得，圓的圓心，半徑，A正確；直線，由，得，即直線過(guò)定點(diǎn)，B正確；顯然點(diǎn)在圓內(nèi)，，當(dāng)時(shí)，，C錯(cuò)誤；當(dāng)弦長(zhǎng)最小時(shí)，圓心角最小，此時(shí)，則，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，D正確.故選：ABD12．（2024·貴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，且，則為直角三角形B．若，，，要使?jié)M足條件的三角形有且只有兩個(gè)，則C．若平面內(nèi)有一點(diǎn)滿足：，且，則為等邊三角形D．若，則為鈍角三角形【答案】BC【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)?，，分別為單位向量，所以的角平分線與BC垂直，所以，所以.又因?yàn)?，即，因?yàn)?，所以，所以，所以為等邊三角形，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，要使?jié)M足條件的三角形有且只有兩個(gè)，則，因?yàn)椋?，所以，即，所以，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，故，即，又，所以，故，由于，故，同理可得，結(jié)合，故，可得，故為等邊三角形，C正確；對(duì)于D.，而，所以A，B，C都為銳角，D錯(cuò)誤；故選：BC.13．（2024·安徽淮北·統(tǒng)考一模）如圖，邊長(zhǎng)為2的正六邊形，點(diǎn)是內(nèi)部（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，，，.（

）

A． B．存在點(diǎn)，使C．若，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為2 D．的最小值為【答案】AD【解析】設(shè)為正六邊形的中心，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)可得且四邊形均為菱形，，故A正確，假設(shè)存在存在點(diǎn)，使，則,其中點(diǎn)為以為鄰邊作平行四邊形的頂點(diǎn)，所以在直線上，這與點(diǎn)是內(nèi)部（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)矛盾，故B錯(cuò)誤，當(dāng)時(shí)，，取,則,所以點(diǎn)的軌跡為線段,其中分別為過(guò)點(diǎn)作與的交點(diǎn)，由于為的中點(diǎn)，所以,故點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為1，C錯(cuò)誤，由于,,過(guò)作于，則,所以此時(shí)，由于分別為上的分量，且點(diǎn)點(diǎn)是內(nèi)部（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，所以當(dāng)位于時(shí)，此時(shí)同時(shí)最小，故的最小值為故選：AD14．（2024·黑龍江·高三校聯(lián)考期末）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來(lái)，是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論.奔馳定理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián).它的具體內(nèi)容是：已知是內(nèi)一點(diǎn)，的面積分別為，且.以下命題正確的有（

）A．若，則為的重心B．若為的內(nèi)心，則C．若，為的外心，則D．若為的垂心，，則【答案】ABD【解析】對(duì)于A，取的中點(diǎn)D，連接，由，則，所以，所以A，M，D三點(diǎn)共線，且，設(shè)E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，同理可得，，所以為的重心，故A正確；對(duì)于B，由為的內(nèi)心，則可設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則有，所以，即，故B正確；對(duì)于C，由為的外心，則可設(shè)的外接圓半徑為，又，則有，所以，，，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)D，延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，由為的垂心，，則，又，則，，設(shè)，則，所以，即，所以，所以，故D正確.故選：ABD．15．（2024·山東菏澤·高三統(tǒng)考期末）如圖，順次連接正五邊形的不相鄰的頂點(diǎn)，得到五角星形狀，則以下說(shuō)法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】由正五邊形的對(duì)稱性可得，每個(gè)正五邊形的內(nèi)角為，對(duì)于A，在中，，則，進(jìn)而，所以，同理可得，故四邊形是平行四邊形，所以，故A正確；對(duì)于B，由對(duì)稱性可得，且，所以，故B正確；對(duì)于C，假設(shè)，因?yàn)?，所以，由?duì)稱性可得，所以，得是等邊三角形，則，所以，故C不正確.對(duì)于D，要證，即證四邊形是平行四邊形，因?yàn)槲暹呅螢檎暹呅?，所以，因?yàn)樵谥校?，所以，，進(jìn)而，所以，同理可得，故四邊形是平行四邊形，故D正確.故選：ABD.16．（2024·全國(guó)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知平面向量滿足，，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)，都有恒成立，則下列結(jié)論正確的是（

）A．與垂直 B．C．的最小值為 D．的最大值為【答案】AC【解析】由恒成立得，即恒成立，因?yàn)?，，設(shè)夾角為，則恒成立，所以，即，所以，則，所以，所以，所以與垂直，A正確；，B不正確；設(shè)，，則，所以，其幾何意義是與和連線的距離之和的2倍，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，最小值為，C正確；，，所以其幾何意義是與和連線的距離之差的2倍，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)最得最大值，最大值為，D不正確，故選：AC.三、填空題17．（2024·天津紅橋·統(tǒng)考一模）如圖所示，在中，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)的直線與直線相交于點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)（，交兩點(diǎn)不重合）.若，則，若，，則的最小值為.【答案】【解析】在中，，，則，故，故；又，而，，所以，則，又三點(diǎn)共線，所以，結(jié)合已知可知，故，當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，即時(shí)，取等號(hào)；即的最小值為，故答案為：；18．（2024·天津·高三校聯(lián)考期末）在梯形中，分別為線段和線段上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍為．【答案】【解析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線為軸，過(guò)點(diǎn)且垂直于直線的直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則、、、，則，由題意可得，解得，，所以，，由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，，則.因此，的取值范圍是.故答案為：.19．（2024·全國(guó)·校聯(lián)考一模）窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國(guó)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一．在2022年虎年新春來(lái)臨之際，許多地區(qū)人們?yōu)榱诉_(dá)到裝點(diǎn)環(huán)境、渲染氣氛，寄托辭舊迎新、接福納祥的愿望，設(shè)計(jì)了一種由外圍四個(gè)大小相等的半圓和中間正方形所構(gòu)成的剪紙窗花（如左圖）．已知正方形的邊長(zhǎng)為，中心為，四個(gè)半圓的圓心均在正方形各邊的中點(diǎn)（如右圖）．若點(diǎn)在四個(gè)半圓的圓弧上運(yùn)動(dòng)，則的取值范圍是.【答案】【解析】以原點(diǎn)，為軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示.因?yàn)檎叫蔚倪呴L(zhǎng)為，所以，則、，則，設(shè)的中點(diǎn)為，則，，所以，，因?yàn)槭前雸A上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，則，其中，則，所以，，由對(duì)稱性可知，當(dāng)點(diǎn)在第三象限的半圓弧上運(yùn)動(dòng)時(shí)（包含點(diǎn)、），，當(dāng)點(diǎn)在第一象限的半圓弧上運(yùn)動(dòng)時(shí)（包含點(diǎn)、），的中點(diǎn)為，半圓的半徑為，可設(shè)點(diǎn)，其中，則，，則，同理可知，當(dāng)點(diǎn)在第四象限內(nèi)的半圓弧上