2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)課下能力提升十八古典概型新人教A版必修3

PAGE1-課下實力提升(十八)一、題組對點訓(xùn)練對點練一基本領(lǐng)件的列舉問題1．同時投擲兩顆大小完全相同的骰子，用(x，y)表示結(jié)果，記A為“所得點數(shù)之和小于5”，則事務(wù)A包含的基本領(lǐng)件數(shù)是()A．3 B．4C．5 D．6解析：選D事務(wù)A包含的基本領(lǐng)件有6個：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)．故選D.2．做試驗“從0,1,2這3個數(shù)字中，不放回地取兩次，每次取一個，構(gòu)成有序數(shù)對(x，y)，x為第1次取到的數(shù)字，y為第2次取到的數(shù)字”．(1)寫出這個試驗的基本領(lǐng)件；(2)求出這個試驗的基本領(lǐng)件的總數(shù)；(3)寫出“第1次取出的數(shù)字是2”這一事務(wù)包含的基本領(lǐng)件．解：(1)這個試驗的基本領(lǐng)件為(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,2)，(2,0)，(2,1)．(2)基本領(lǐng)件的總數(shù)為6.(3)“第1次取出的數(shù)字是2”包含以下2個基本領(lǐng)件：(2,0)，(2,1)．對點練二簡潔古典概型的計算3．下列關(guān)于古典概型的說法中正確的是()①試驗中全部可能出現(xiàn)的基本領(lǐng)件只有有限個；②每個事務(wù)出現(xiàn)的可能性相等；③每個基本領(lǐng)件出現(xiàn)的可能性相等；④基本領(lǐng)件的總數(shù)為n，隨機事務(wù)A若包含k個基本領(lǐng)件，則P(A)＝eq\f(k,n).A．②④ B．①③④C．①④ D．③④解析：選B依據(jù)古典概型的特征與公式進行推斷，①③④正確，②不正確，故選B.4．下列試驗中，屬于古典概型的是()A．種下一粒種子，視察它是否發(fā)芽B．從規(guī)格直徑為250mm±0.6mm的一批合格產(chǎn)品中隨意抽一根，測量其直徑dC．拋擲一枚硬幣，視察其出現(xiàn)正面或反面D．某人射擊中靶或不中靶解析：選C依據(jù)古典概型的特點推斷，只有C項滿意：①試驗中全部可能出現(xiàn)的基本領(lǐng)件只有有限個；②每個基本領(lǐng)件出現(xiàn)的可能性相同．5．四條線段的長度分別是1,3,5,7，從這四條線段中任取三條，則所取出的三條線段能構(gòu)成一個三角形的概率是()A.eq\f(1,4) B．eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,5)解析：選A從四條長度各異的線段中任取一條，每條被取出的可能性均相等，所以該問題屬于古典概型．又因為全部基本領(lǐng)件包括(1,3,5)，(1,3,7)，(1,5,7)，(3,5,7)四種，而能構(gòu)成三角形的基本領(lǐng)件只有(3,5,7)一種，所以所取出的三條線段能構(gòu)成一個三角形的概率P＝eq\f(1,4).6．古代“五行”學(xué)說認為：“物質(zhì)分金、木、水、火、土五種屬性，金克木、木克土、土克水、水克火、火克金．”從五種不同屬性的物質(zhì)中隨機抽取兩種，則抽取的兩種物質(zhì)不相克的概率為()A.eq\f(3,10) B．eq\f(2,5)C.eq\f(1,2) D.eq\f(3,5)解析：選C從五種不同屬性的物質(zhì)中隨機抽取兩種，有(金，木)、(金，水)、(金，火)、(金，土)、(木，水)、(木，火)、(木，土)、(水，火)、(水，土)、(火，土)，共10種等可能發(fā)生的結(jié)果．其中金克木，木克土，土克水，水克火，火克金，即相克的有5種，則不相克的也是5種，所以抽取的兩種物質(zhì)不相克的概率為eq\f(1,2).7．袋中有6個球，其中4個白球，2個紅球，從袋中隨意取出兩球，求下列事務(wù)的概率：(1)A：取出的兩球都是白球；(2)B：取出的兩球1個是白球，另1個是紅球．解：設(shè)4個白球的編號為1,2,3,4；2個紅球的編號為5,6.從袋中的6個小球中任取2個球的取法有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15種．(1)從袋中的6個球中任取兩個，所取的兩球全是白球的取法共有6種，為(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)．∴取出的兩個球全是白球的概率為P(A)＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).(2)從袋中的6個球中任取兩個，其中一個是紅球，而另一個是白球，其取法包括(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)共8種．∴取出的兩個球一個是白球，一個是紅球的概率為P(B)＝eq\f(8,15).對點練三較困難的古典概型的計算8．(2024·天津高考)2024年，我國施行個人所得稅專項附加扣除方法，涉及子女教化、接著教化、大病醫(yī)療、住房貸款利息或者住房租金、贍養(yǎng)老人等六項專項附加扣除．某單位老、中、青員工分別有72,108,120人，現(xiàn)采納分層抽樣的方法，從該單位上述員工中抽取25人調(diào)查專項附加扣除的享受狀況．(1)應(yīng)從老、中、青員工中分別抽取多少人？(2)抽取的25人中，享受至少兩項專項附加扣除的員工有6人，分別記為A，B，C，D，E，F(xiàn).享受狀況如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．現(xiàn)從這6人中隨機抽取2人接受采訪．員工項目ABCDEF子女教化○○×○×○接著教化××○×○○大病醫(yī)療×××○××住房貸款利息○○××○○住房租金××○×××贍養(yǎng)老人○○×××○①試用所給字母列舉出全部可能的抽取結(jié)果；②設(shè)M為事務(wù)“抽取的2人享受的專項附加扣除至少有一項相同”，求事務(wù)M發(fā)生的概率．解：(1)由已知得老、中、青員工人數(shù)之比為6∶9∶10，由于采納分層抽樣的方法從中抽取25位員工，因此應(yīng)從老、中、青員工中分別抽取6人、9人、10人．(2)①從已知的6人中隨機抽取2人的全部可能結(jié)果為{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F(xiàn)}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F(xiàn)}，{C，D}，{C，E}，{C，F(xiàn)}，{D，E}，{D，F(xiàn)}，{E，F(xiàn)}，共15種．②由表格知，符合題意的全部結(jié)果為{A，B}，{A，D}，{A，E}，{A，F(xiàn)}，{B，D}，{B，E}，{B，F(xiàn)}，{C，E}，{C，F(xiàn)}，{D，F(xiàn)}，{E，F(xiàn)}，共11種．所以，事務(wù)M發(fā)生的概率P(M)＝eq\f(11,15).二、綜合過關(guān)訓(xùn)練1．下列是古典概型的是()A．隨意擲兩枚骰子，所得點數(shù)之和作為基本領(lǐng)件時B．求隨意的一個正整數(shù)平方的個位數(shù)字是1的概率，將取出的正整數(shù)作為基本領(lǐng)件時C．從甲地到乙地共n條路途，求某人正好選中最短路途的概率D．拋擲一枚勻稱硬幣首次出現(xiàn)正面為止解析：選CA項中由于點數(shù)的和出現(xiàn)的可能性不相等，故A不是；B項中的基本領(lǐng)件是無限的，故B不是；C項滿意古典概型的有限性和等可能性，故C是；D項中基本領(lǐng)件可能會是無限個，故D不是．2．(2024·全國卷Ⅲ)兩位男同學(xué)和兩位女同學(xué)隨機排成一列，則兩位女同學(xué)相鄰的概率是()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,2)解析：選D法一：設(shè)兩位男同學(xué)分別為A，B，兩位女同學(xué)分別為a，b，則用“樹形圖”表示四位同學(xué)排成一列全部可能的結(jié)果如圖所示．由圖知，共有24種等可能的結(jié)果，其中兩位女同學(xué)相鄰的結(jié)果(畫“√”的狀況)共有12種，故所求概率為eq\f(12,24)＝eq\f(1,2).法二：兩位男同學(xué)與兩位女同學(xué)隨機排成一列，因為男同學(xué)人數(shù)與女同學(xué)人數(shù)相等，所以兩女同學(xué)相鄰與不相鄰的排法種數(shù)相同，所以兩女同學(xué)相鄰與不相鄰的概率均為eq\f(1,2).3.洛書，古稱龜書，是陰陽五行術(shù)數(shù)之源．在古代傳聞中有神龜出于洛水，其甲殼上有此圖象，結(jié)構(gòu)是戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足，以五居中，五方白圈皆陽數(shù)，四隅黑點為陰數(shù)，其各行各列及對角線點數(shù)之和皆為15.如圖，若從四個陰數(shù)中隨機抽取2數(shù)，則能使這兩數(shù)與居中陽數(shù)之和等于15的概率是()A.eq\f(1,2) B．eq\f(2,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,3)解析：選D從四個陰數(shù)中隨機抽取2個數(shù)，共有6種取法，其中滿意題意的取法有兩種：4,6和2,8，∴能使這兩數(shù)與居中陽數(shù)之和等于15的概率P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).故選D.4．袋中共有6個除了顏色外其他完全相同的球，其中有1個紅球、2個白球和3個黑球．從袋中任取兩球，兩球顏色為一白一黑的概率等于()A.eq\f(1,5) B．eq\f(2,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)解析：選B記紅球為A，白球分別為B1，B2，黑球分別為C1，C2，C3，記事務(wù)M為“取出的兩球一白一黑”，則基本領(lǐng)件有：(A，B1)，(A，B2)，(A，C1)，(A，C2)，(A，C3)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B1，C2)(B1，C3)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B2，C3)，(C1，C2)，(C1，C3)，(C2，C3)，共15個．其中事務(wù)M包含的基本領(lǐng)件有：(B1，C1)，(B1，C2)，(B1，C3)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B2，C3)，共6個．依據(jù)古典概型的概率計算公式可得其概率為P(M)＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).5．一只螞蟻在如圖所示的樹枝上尋找食物，假定螞蟻在每個岔路口都會隨機地選擇一條路徑，則它能獲得食物的概率為________．解析：該樹枝的樹梢有6處，有2處能找到食物，所以獲得食物的概率為eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)6．從三男三女共6名學(xué)生中任選2名(每名同學(xué)被選中的概率均相等)，則2名都是女同學(xué)的概率等于________．解析：用A，B，C表示三名男同學(xué)，用a，b，c表示三名女同學(xué)，則從6名同學(xué)中選出2人的全部選法為：AB，AC，Aa，Ab，Ac，BC，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，ab，ac，bc,2名都是女同學(xué)的選法為：ab，ac，bc，故所求的概率為eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).答案：eq\f(1,5)7．某商場實行購物抽獎促銷活動，規(guī)定每位顧客從裝有編號為0,1,2,3四個相同小球的抽獎箱中，每次取出一球，登記編號后放回，連續(xù)取兩次，若取出的兩個小球號碼相加之和等于6，則中一等獎，等于5中二等獎，等于4或3中三等獎．(1)求中三等獎的概率；(2)求中獎的概率．解：設(shè)“中三等獎”為事務(wù)A，“中獎”為事務(wù)B，從四個小球中有放回地取兩個有(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共16種不同的結(jié)果．(1)取出的兩個小球號碼相加之和等于4或3的取法有：(1,3)，(2,2)，(3,1)，(0,3)，(1,2)，(2,1)，(3,0)，共7種結(jié)果，則中三等獎的概率為P(A)＝eq\f(7,16).(2)由(1)知兩個小球號碼相加之和等于3或4的取法有7種；兩個小球號碼相加之和等于5的取法有2種：(2,3)，(3,2)．兩個小球號碼相加之和等于6的取法有1種：(3,3)．則中獎概率為P(B)＝eq\f(7＋2＋1,16)＝eq\f(5,8).8．(2024·天津高考)已知某校甲、乙、丙三個年級的學(xué)生志愿者人數(shù)分別為240,160,160.現(xiàn)采納分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué)去某敬老院參與獻愛心活動．(1)應(yīng)從甲、乙、丙三個年級的學(xué)生志愿者中分別抽取多少人？(2)設(shè)抽出的7名同學(xué)分別用A，B，C，D，E，F(xiàn)，G表示，現(xiàn)從中隨機抽取2名同學(xué)擔當敬老院的衛(wèi)生工作．①試用所給字母列舉出全部可能的抽取結(jié)果；②設(shè)M為事務(wù)“抽取的2名同學(xué)來自同一年級”，求事務(wù)M發(fā)生的概率．解：(1)因為甲、乙、丙三個年級的學(xué)生志愿者人數(shù)之比為3∶2∶2，由于采納分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué)，所以應(yīng)從甲、乙、丙三個年級的學(xué)生志愿者中分別抽取3人，2人，2人．(2)①從抽取的7名同學(xué)中隨機抽取2名同學(xué)的全部可能結(jié)果為{A，B}，{A，C}，{A，