2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第2講直線與圓的位置關(guān)系第1課時圓周角定理課后提能訓(xùn)練新人教A版選修4-1

PAGE1-第1課時圓周角定理素養(yǎng)訓(xùn)練1．如圖所示，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠BOD＝140°，則∠BCD＝()A．140° B．110°C．70° D．20°【答案】B【解析】∠BCD＝eq\f(1,2)(360°－∠BOD)＝110°，故選B．2．(2024年衡水期末)如圖，已知∠DEC＝80°，eq\o\ac(CD,\s\up10(︵))的度數(shù)與eq\o\ac(AB,\s\up10(︵))的度數(shù)的差為20°，則∠A的度數(shù)為()A．35° B．45°C．55° D．70°【答案】B【解析】∵eq\o\ac(CD,\s\up10(︵))的度數(shù)與eq\o\ac(AB,\s\up10(︵))的度數(shù)的差為20°，∴2(∠A－∠D)＝20°，即∠A－∠D＝10°.∵∠DEC＝80°，∴∠DEC＝∠D＋∠A＝80°.∴∠A＝45°，∠D＝35°.故選B．3．在半徑為5的⊙O中，弦AB＝5eq\r(2)，弦AC＝5，則∠BAC的度數(shù)是()A．15°B．210°C．105°或15°D．210°或30°【答案】C【解析】由已知∠AOB＝90°，∠AOC＝60°.如圖1，∠BOC＝90°＋60°＝150°，則∠BAC＝eq\f(1,2)(360°－∠BOC)＝105°；如圖2，∠BOC＝90°－60°＝30°，則∠BAC＝eq\f(1,2)∠BOC＝15°.故選C．4．(2024年重慶模擬)如圖所示，圓的直徑AB＝13cm，C為圓周上一點，CD⊥AB，垂足為D且CD＝6cm，則AD的長是__________cm.【答案】4【解析】∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°.由直角三角形射影定理得CD2＝AD·BD，即36＝AD·(13－AD)，解得AD＝4或AD＝9(舍去)．5．(2015年韶關(guān)期中)如圖所示，圓O的半徑為3，∠BAC＝30°，則弦BC＝________.【答案】3【解析】連接OB，OC．∵∠BAC＝30°，∴∠BOC＝2∠BAC＝60°.∵OB＝OC，∴△OBC是等邊三角形．∴BC＝OB＝OC＝3.6．如圖所示，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠BAC＝120°，AB＝AC，BD是⊙O的直徑，AD＝6，則BC＝________.【答案】6【解析】由已知△ABC是等腰三角形，∠BAC＝120°，則∠ABC＝∠ACB＝30°，∴∠ADB＝30°.∵BD是⊙O的直徑，∴∠BAD＝90°，AB＝ADtan∠ADB＝2eq\r(3).∴BC＝2ABcos30°＝6.7．如圖所示，BC為⊙O的直徑，AD⊥BC，垂足為D，eq\o\ac(AB,\s\up10(︵))＝eq\o\ac(AF,\s\up10(︵))，BF和AD相交于E，求證：AE＝BE.【證明】連接AB，延長AD交圓于G點，∴eq\o\ac(AB,\s\up10(︵))＝eq\o\ac(BG,\s\up10(︵))＝eq\o\ac(AF,\s\up10(︵)).∴∠BAG＝∠ABF.∴AE＝BE.8．如圖所示，OA是⊙O的半徑，以O(shè)A為直徑的⊙C與⊙O的弦AB相交于點D，求證：D是AB的中點．【證明】如圖所示，連接DO，BE，∠ADO＝∠ABE＝90°.∴DO∥BE.又O為直徑AE中點，∴D為AB的中點．實力提升9．如圖所示，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB＝AC，D為BC上一點，E是直線AD和⊙O的另一個交點．(1)求證：AB2＝AD·AE；(2)若D為CB延長線上一點時(如圖所示)，(1)中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，試說明理由．【證明】(1)∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC．∴∠E＝∠C＝∠ABC．又∠BAE＝∠DAB，∴△AEB∽△ABD．∴eq\f(AE,AB)＝eq\f(AB,AD).∴AB2＝AD·AE.(2)結(jié)論仍舊成立．理由如下：∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC．又∠AEB＋∠C＝180°