2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)4.4對數(shù)函數(shù)第3課時(shí)不同函數(shù)增長的差異教師用書新人教A版必修第一冊

PAGE1-第3課時(shí)不同函數(shù)增長的差異考點(diǎn)學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)函數(shù)模型的增長差異了解常用的描述現(xiàn)實(shí)世界中不同增長規(guī)律的函數(shù)模型，了解直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等增長含義數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模函數(shù)模型的選取能依據(jù)詳細(xì)問題選擇函數(shù)模型，構(gòu)建函數(shù)模型求解問題數(shù)學(xué)建模問題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)教材P136－P138，并思索以下問題：1．函數(shù)y＝kx(k>0)、y＝ax(a>1)和y＝logax(a>1)在(0，＋∞)上的單調(diào)性是怎樣的？2．函數(shù)y＝kx(k>0)、y＝ax(a>1)和y＝logax(a>1)的增長速度有什么不同？三種函數(shù)模型的性質(zhì)y＝kx(k＞0)y＝ax(a＞1)y＝logax(a＞1)在(0，＋∞)上的增減性增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)圖象的改變趨勢一條直線隨x增大漸漸近似與y軸平行隨x增大漸漸近似與x軸平行增長速度(1)y＝ax(a＞1)隨著x的增大，y增長速度越來越快，即使k的值遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于a的值，y＝ax(a>1)的增長速度最終都會大大超過y＝kx(k>0)的增長速度(2)y＝logax(a>1)隨著x的增大，y增長速度越來越慢，不論a的值比k的值大多少，在肯定范圍內(nèi)，logax可能會大于kx，但由于logax的增長慢于kx的增長，因此總會存在一個(gè)x0，當(dāng)x>x0時(shí)，恒有l(wèi)ogax<kx推斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)增長速度不變的函數(shù)模型是一次函數(shù)模型．()(2)函數(shù)y＝x2比y＝2x增長的速度更快些．()(3)當(dāng)a>1，k>0時(shí)，對?x∈(0，＋∞)，總有l(wèi)ogax<kx<ax.()答案：(1)√(2)×(3)×下列函數(shù)中隨x的增大而增大且速度最快的是()A．y＝ex B．y＝lnxC．y＝2x D．y＝e－x答案：A已知y1＝2x，y2＝2x，y3＝log2x，當(dāng)2<x<4時(shí)，有()A．y1>y2>y3 B．y2>y1>y3C．y1>y3>y2 D．y2>y3>y1答案：A某同學(xué)最近5年內(nèi)的學(xué)習(xí)費(fèi)用y(千元)與時(shí)間x(年)的關(guān)系如圖所示，則可選擇的模擬函數(shù)模型是()A．y＝ax＋b B．y＝ax2＋bx＋cC．y＝a·ex＋b D．y＝alnx＋b解析：選B.由散點(diǎn)圖和四個(gè)函數(shù)的特征可知，可選擇的模擬函數(shù)模型是y＝ax2＋bx＋c.函數(shù)模型的增長差異四個(gè)變量y1，y2，y3，y4隨變量x改變的數(shù)據(jù)如表：x151015202530y1226101226401626901y22321024327681.05×1063.36×1071.07×109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907關(guān)于x呈指數(shù)函數(shù)改變的變量是________．【解析】從表格視察函數(shù)值y1，y2，y3，y4的增加值，哪個(gè)變量的增加值最大，則該變量關(guān)于x呈指數(shù)函數(shù)改變．以爆炸式增長的變量呈指數(shù)函數(shù)改變．從表格中可以看出，四個(gè)變量y1，y2，y3，y4均是從2起先改變，變量y1，y2，y3，y4都是越來越大，但是增長速度不同，其中變量y2的增長速度最快，畫出它們的圖象(圖略)，可知變量y2關(guān)于x呈指數(shù)函數(shù)改變．故填y2.【答案】y2eq\a\vs4\al()常見的函數(shù)模型及增長特點(diǎn)(1)線性函數(shù)模型：線性函數(shù)模型y＝kx＋b(k>0)的增長特點(diǎn)是直線上升，其增長速度不變．(2)指數(shù)函數(shù)模型：指數(shù)函數(shù)模型y＝ax(a>1)的增長特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越快，即增長速度急劇，形象地稱為“指數(shù)爆炸”．(3)對數(shù)函數(shù)模型：對數(shù)函數(shù)模型y＝logax(a>1)的增長特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越慢，即增長速度平緩．四個(gè)物體同時(shí)從某一點(diǎn)動身向前運(yùn)動，其路程fi(x)(i＝1，2，3，4)關(guān)于時(shí)間x(x>1)的函數(shù)關(guān)系是f1(x)＝x2，f2(x)＝2x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，假如它們始終運(yùn)動下去，最終在最前面的物體具有的函數(shù)關(guān)系是()A．f1(x)＝x2 B．f2(x)＝2xC．f3(x)＝log2x D．f4(x)＝2x解析：選D.由增長速度可知，當(dāng)自變量充分大時(shí)，指數(shù)函數(shù)的值最大．故選D.函數(shù)模型的選取某汽車制造商在2024年初公告：公司安排2024年的生產(chǎn)目標(biāo)定為43萬輛．已知該公司近三年的汽車生產(chǎn)量如下表所示：年份202420242024產(chǎn)量8(萬)18(萬)30(萬)假如我們分別將2024、2024、2024、2024定義為第一、二、三、四年．現(xiàn)在有兩個(gè)函數(shù)模型：二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，指數(shù)函數(shù)模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b＞0，b≠1)，哪個(gè)模型能更好地反映該公司生產(chǎn)量y與年份x的關(guān)系？【解】建立生產(chǎn)量y與年份x的函數(shù)，可知函數(shù)必過點(diǎn)(1，8)，(2，18)，(3，30)．(1)構(gòu)造二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，將點(diǎn)坐標(biāo)代入，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝8，,4a＋2b＋c＝18，,9a＋3b＋c＝30，))解得a＝1，b＝7，c＝0，則f(x)＝x2＋7x，故f(4)＝44，與安排誤差為1.(2)構(gòu)造指數(shù)函數(shù)模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b＞0，b≠1)，將點(diǎn)坐標(biāo)代入，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ab＋c＝8，,ab2＋c＝18，,ab3＋c＝30，))解得a＝eq\f(125,3)，b＝eq\f(6,5)，c＝－42，則g(x)＝eq\f(125,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)))eq\s\up12(x)－42，故g(4)＝eq\f(125,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)))eq\s\up12(4)－42＝44.4，與安排誤差為1.4.由(1)(2)可得，二次函數(shù)模型f(x)＝x2＋7x能更好地反映該公司生產(chǎn)量y與年份x的關(guān)系．eq\a\vs4\al()不同函數(shù)模型的選取標(biāo)準(zhǔn)不同的函數(shù)模型能刻畫現(xiàn)實(shí)世界中不同的改變規(guī)律：(1)線性函數(shù)增長模型適合于描述增長速度不變的改變規(guī)律；(2)指數(shù)函數(shù)增長模型適合于描述增長速度急劇的改變規(guī)律；(3)對數(shù)函數(shù)增長模型適合于描述增長速度平緩的改變規(guī)律；(4)冪函數(shù)增長模型適合于描述增長速度一般的改變規(guī)律．某學(xué)校為了實(shí)現(xiàn)60萬元的生源利潤目標(biāo)，打算制定一個(gè)激勵(lì)招生人員的嘉獎方案：在生源利潤達(dá)到5萬元時(shí)，按生源利潤進(jìn)行嘉獎，且獎金y(單位：萬元)隨生源利潤x(單位：萬元)的增加而增加，但獎金總數(shù)不超過3萬元，同時(shí)獎金不超過利潤的20%.現(xiàn)有三個(gè)嘉獎模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪個(gè)模型符合該校的要求？解：作出函數(shù)y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的圖象(如圖所示)．視察圖象可知，在區(qū)間[5，60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的圖象都有一部分在直線y＝3的上方，只有y＝log5x的圖象始終在y＝3和y＝0.2x的下方，這說明只有按模型y＝log5x進(jìn)行嘉獎才符合學(xué)校的要求．1．下列函數(shù)中，增長速度越來越慢的是()A．y＝6x B．y＝log6xC．y＝x6 D．y＝6x解析：選B.D中一次函數(shù)的增長速度不變，A、C中函數(shù)的增長速度越來越快，只有B中對數(shù)函數(shù)的增長速度越來越慢，符合題意．2．如表是函數(shù)值y隨自變量x改變的一組數(shù)據(jù)，由此推斷它最可能的函數(shù)模型是()x45678910y15171921232527A.一次函數(shù)模型 B．二次函數(shù)模型C．指數(shù)函數(shù)模型 D．對數(shù)函數(shù)模型解析：選A.隨著自變量每增加1函數(shù)值增加2，函數(shù)值的增量是勻稱的，故為線性函數(shù)即一次函數(shù)模型．3．某學(xué)校開展探討性學(xué)習(xí)活動，一組同學(xué)得到下面的試驗(yàn)數(shù)據(jù)：x1.99345.18y0.991.582.012.353.00現(xiàn)有如下4個(gè)模擬函數(shù)：①y＝0.58x－0.16；②y＝2x－3.02；③y＝x2－5.5x＋8；④y＝log2x.請從中選擇一個(gè)模擬函數(shù)，使它能近似地反映這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，應(yīng)選________．解析：畫出散點(diǎn)圖，由圖分析增長速度的改變，可知符合對數(shù)函數(shù)模型，故選④.答案：④4．已知函數(shù)f(x)＝lgx，g(x)＝0.3x－1的圖象如圖所示．(1)指出圖中曲線C1，C2分別對應(yīng)哪一個(gè)函數(shù)；(2)比較兩函數(shù)的增長差異(以兩圖象交點(diǎn)為分界點(diǎn)，對f(x)，g(x)的大小進(jìn)行比較)．解：(1)C1對應(yīng)的函數(shù)為g(x)＝0.3x－1，C2對應(yīng)的函數(shù)為f(x)＝lgx.(2)當(dāng)x∈(0，x1)時(shí)，g(x)>f(x)，當(dāng)x∈(x1，x2)時(shí)，g(x)<f(x)，當(dāng)x∈(x2，＋∞)時(shí)，g(x)>f(x)．[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y＝logax，y＝ax，y＝x＋a的圖象，正確的是()解析：選D.函數(shù)y＝ax與y＝logax的單調(diào)性相同，由此可解除C；直線y＝x＋a在y軸上的截距為a，則選項(xiàng)A中0<a<1，選項(xiàng)B中a>1，明顯y＝ax的圖象不符，解除A，B，故選D.2．小明騎車上學(xué)，起先時(shí)勻速行駛，途中因交通堵塞停留了一段時(shí)間后，為了趕時(shí)間加快速度行駛．與以上事務(wù)吻合得最好的圖象是()解析：選C.小明勻速運(yùn)動時(shí)，所得圖象為一條直線，且距離學(xué)校越來越近，故解除A.因交通堵塞停留了一段時(shí)間，與學(xué)校的距離不變，故解除D.后來為了趕時(shí)間加快速度行駛，故解除B.故選C.3．某學(xué)校開展探討性學(xué)習(xí)活動，某同學(xué)獲得一組試驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表：x1.99345.16.12y1.54.047.51218.01對于表中數(shù)據(jù)，現(xiàn)給出以下擬合曲線，其中擬合程度最好的是()A．y＝2x－2B．y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)C．y＝log2x D．y＝eq\f(1,2)(x2－1)解析：選D.法一：相鄰的自變量之差大約為1，相鄰的函數(shù)值之差大約為2.5、3.5、4.5、6，基本上是漸漸增加的，二次曲線擬合程度最好，故選D.法二：比較四個(gè)函數(shù)值的大小，可以采納特別值代入法．可取x＝4，經(jīng)檢驗(yàn)易知選D.4．據(jù)統(tǒng)計(jì)，某地區(qū)1月、2月、3月的用工人數(shù)分別為0.2萬、0.4萬、0.76萬，則該地區(qū)這三個(gè)月的用工人數(shù)y(萬人)關(guān)于月數(shù)x的函數(shù)關(guān)系式近似是()A．y＝0.2x B．y＝eq\f(1,10)(x2＋2x)C．y＝eq\f(2x,10) D．y＝0.2＋log16x解析：選C.對于A，當(dāng)x＝3時(shí)，y＝0.6，與0.76差距較大，故解除A；對于B，當(dāng)x＝3時(shí)，y＝1.5，與0.76差距較大，故解除B；對于D，當(dāng)x＝3時(shí)，y＝0.2＋log163≈0.6，與0.76差距較大，故解除D，故選C.5．已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，當(dāng)x∈(4，＋∞)時(shí)，對這三個(gè)函數(shù)的增長速度進(jìn)行比較，下列選項(xiàng)中正確的是()A．f(x)>g(x)>h(x) B．g(x)>f(x)>h(x)C．g(x)>h(x)>f(x) D．f(x)>h(x)>g(x)解析：選B.由函數(shù)性質(zhì)可知，在(4，＋∞)內(nèi)，指數(shù)函數(shù)g(x)＝2x增長速度最快，對數(shù)函數(shù)h(x)＝log2x增長速度最慢，所以g(x)>f(x)>h(x)．6．現(xiàn)測得(x，y)的兩組對應(yīng)值分別為(1，2)，(2，5)，現(xiàn)有兩個(gè)待選模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又測得(x，y)的一組對應(yīng)值為(3，10.2)，則應(yīng)選用________作為函數(shù)模型．解析：把x＝1，2，3分別代入甲、乙兩個(gè)函數(shù)模型，經(jīng)比較發(fā)覺模型甲較好．答案：甲7．函數(shù)y＝x2與函數(shù)y＝xlnx在區(qū)間(1，＋∞)上增長較快的一個(gè)是________．解析：當(dāng)x變大時(shí)，x比lnx增長要快，所以x2要比xlnx增長得要快．答案：y＝x28．生活閱歷告知我們，當(dāng)水注入容器(設(shè)單位時(shí)間內(nèi)進(jìn)水量相同)時(shí)，水的高度隨著時(shí)間的改變而改變，在下圖中請選擇與容器相匹配的圖象，A對應(yīng)________；B對應(yīng)________；C對應(yīng)________；D對應(yīng)________．解析：A容器下粗上細(xì)，水高度的改變先慢后快，故與④對應(yīng)；B容器為球形，水高度改變?yōu)榭臁?，?yīng)與①對應(yīng)；C，D容器都是柱形的，水高度的改變速度都應(yīng)是直線型，但C容器細(xì)，D容器粗，故水高度的改變?yōu)椋篊容器快，與③對應(yīng)，D容器慢，與②對應(yīng)．答案：④①③②9．畫出函數(shù)f(x)＝eq\r(x)與函數(shù)g(x)＝eq\f(1,4)x2－2的圖象，并比較兩者在[0，＋∞)上的大小關(guān)系．解：函數(shù)f(x)與g(x)的圖象如圖所示：依據(jù)圖象易得：當(dāng)0≤x＜4時(shí)，f(x)>g(x)；當(dāng)x＝4時(shí)，f(x)＝g(x)；當(dāng)x>4時(shí)，f(x)<g(x)．10．每年的3月12日是植樹節(jié)，全國各地在這一天都會開展各種形式的植樹活動，某市現(xiàn)有樹木面積10萬平方米，安排今后5年內(nèi)擴(kuò)大樹木面積，現(xiàn)有兩種方案如下：方案一：每年植樹1萬平方米；方案二：每年樹木面積比上一年增加9%.哪個(gè)方案較好？解：方案一：5年后樹木面積為10＋1×5＝15(萬平方米)．方案二：5年后樹木面積是10(1＋9%)5≈15.386(萬平方米)，因?yàn)?5.386>15，所以方案二較好．[B實(shí)力提升]11．以下四種說法中，正確的是()A．冪函數(shù)增長的速度比一次函數(shù)增長的速度快B．對隨意的x>0，xn>logaxC．對隨意的x>0，ax>logaxD．不肯定存在x0，當(dāng)x>x0時(shí)，總有ax>xn>logax解析：選D.對于A，冪函數(shù)與一次函數(shù)的增長速度受冪指數(shù)及一次項(xiàng)系數(shù)的影響，冪指數(shù)與一次項(xiàng)系數(shù)不確定，增長幅度不能比較；對于B、C，當(dāng)0<a<1時(shí)，明顯不成立．當(dāng)a>1，n>0時(shí)，肯定存在x0，使得當(dāng)x>x0時(shí)，總有ax>xn>logax，但若去掉限制條件“a>1，n>0”，則結(jié)論不成立．12．如圖所示是某受污染的湖泊在自然凈化過程中某種有害物質(zhì)的剩留量y與凈化時(shí)間t(月)的近似函數(shù)關(guān)系：y＝at(t≥0，a>0且a≠1)的圖象．有以下說法：①第4個(gè)月時(shí)，剩留量就會低于eq\f(1,5)；②每月削減的有害物質(zhì)質(zhì)量都相等；③當(dāng)剩留量為eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，eq\f(1,8)時(shí)，所經(jīng)過的時(shí)間分別是t1，t2，t3，則t1＋t2＝t3.其中全部正確說法的序號是________．解析：由于函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(4,9)))，故函數(shù)的關(guān)系式為y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(t).當(dāng)t＝4時(shí)，y＝eq\f(16,81)<eq\f(1,5)，故①正確；當(dāng)t＝1時(shí)，y＝eq\f(2,3)，削減eq\f(1,3)，當(dāng)t＝2時(shí)，y＝eq\f(4,9)，削減eq\f(2,9)，故每月削減有害物質(zhì)質(zhì)量不相等，故②不正確；分別令y＝eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，eq\f(1,8)，解得t1＝logeq\s\do9(\f(2,3))eq\f(1,2)，t2＝logeq\s\do9(\f(2,3))eq\f(1,4)，t3＝logeq\s\do9(\f(2,3))eq\f(1,8)，t1＋t2＝t3，故③正確．答案：①③13．某國2013年至2024年國內(nèi)生產(chǎn)總值(單位：萬億元)如下表所示：年份2013201420152024x(年份代碼)0123生產(chǎn)總值y(萬億元)8.20678.94429.593310.2398(1)畫出函數(shù)圖象，猜想y與x之間的函數(shù)關(guān)系，近似地寫出一個(gè)函數(shù)關(guān)系式；(2)利用得出的關(guān)系式求生產(chǎn)總值，與表中實(shí)際生產(chǎn)總值比較；(3)利用關(guān)系式預(yù)料2030年該國的國內(nèi)生產(chǎn)總值．解：(1)畫出函數(shù)圖象，如圖所示．從函數(shù)的圖象可以看出，畫出的點(diǎn)近似地落在一條直線上，設(shè)所求的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx＋b(k≠0)．把直線經(jīng)過的兩點(diǎn)(0，8.2067)和(3，10.2398)代入上式，解得k＝0.6777，b＝8.2067.所以函數(shù)關(guān)系式為y＝0.6777x＋8.2067.(2)由得到的函數(shù)關(guān)系式計(jì)算出2014年和2015年的國內(nèi)生產(chǎn)總值分別為0．6777×1＋8.2067＝8.8844(萬億元)，0．6777×2＋8.2067＝9.5621(萬億元)．與實(shí)際的生產(chǎn)總值相比，誤