高中數(shù)學四作業(yè)簡單的三角恒等變換第一課時

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精課時作業(yè)（三十四)1．已知sinα＝eq\f（3，5）（0<α〈eq\f（π，2)),則coseq\f(α,2)等于（）A.eq\f(4,5） B．－eq\f（4,5）C．－eq\f(3\r（10)，10） D。eq\f（3\r(10），10)答案D解析∵sinα＝eq\f(3，5）且0<α<eq\f（π,2),∴cosα＝eq\f(4，5）.又cosα＝2cos2eq\f（α,2）－1，∴cos2eq\f(α,2)＝eq\f(1＋cosα,2)＝eq\f（9，10).∴coseq\f（α,2)＝eq\f（3\r(10），10).2．cos2(eq\f(x,2）－eq\f（7,8)π)－cos2（eq\f（x,2)＋eq\f(7π,8)）可化簡為（)A。eq\r(2）sinx B．－eq\r（2）sinxC。eq\f（\r（2)，2)sinx D．－eq\f(\r（2),2）sinx答案D解析原式＝eq\f(1,2）[1＋cos(x－eq\f(7，4)π）]－eq\f（1，2)［1＋cos（x＋eq\f（7π,4)）]＝eq\f（1，2)[cos（x＋eq\f（π，4))－cos(x－eq\f(π,4）)］＝eq\f（1,2)［eq\f(\r（2），2）（cosx－sinx)－eq\f(\r(2),2)（cosx＋sinx）]＝－eq\f（\r（2），2）sinx.3．已知2sinθ＝1＋cosθ，則taneq\f(θ,2）的值為()A．2 B.eq\f(1，2）C.eq\f（1，2）或不存在 D．2或0答案C解析若1＋cosθ≠0,則taneq\f(θ，2)＝eq\f(sinθ，1＋cosθ)＝eq\f(1，2)。若1＋cosθ＝0，即cosθ＝－1，∴θ＝2kx＋π（k∈Z），∴taneq\f(θ，2)不存在．4．(高考真題·全國Ⅱ卷）若cosα＝－eq\f（4，5），α是第三象限的角，則eq\f(1＋tan\f（α，2）,1－tan\f（α，2)）＝(）A．－eq\f(1,2） B.eq\f（1,2）C．2 D．－2答案A解析∵cosα＝－eq\f(4,5)且α是第三象限的角,∴sinα＝－eq\f(3,5）?！鄀q\f(1＋tan\f（α，2),1－tan\f（α,2））＝eq\f(\f（cos\f（α,2）＋sin\f（α，2)，cos\f(α，2）），\f（cos\f(α,2）－sin\f(α，2)，cos\f(α，2)））＝eq\f（cos\f（α,2）＋sin\f(α,2),cos\f（α,2)－sin\f(α,2）)＝eq\f（(cos\f（α，2)＋sin\f（α，2))2，（cos\f（α,2)－sin\f(α,2））(cos\f(α,2)＋sin\f（α,2）））＝eq\f(1＋sinα,cos2\f(α，2）－sin2\f(α,2)）＝eq\f（1＋sinα，cosα)＝eq\f(1－\f(3,5)，－\f(4，5))＝－eq\f（1,2）.故選A.5．已知tanθ＝3,則sin2θ－cos2θ的值是(）A。eq\f(7，5） B。eq\f（1,2)C．－eq\f（7，5) D。eq\f（3，2）答案A解析sin2θ－cos2θ＝eq\f（2tanθ,1＋tan2θ)－eq\f（1－tan2θ,1＋tan2θ）＝eq\f(2×3,1＋9)－eq\f(1－9,1＋9)＝eq\f(6,10）＋eq\f（8,10)＝eq\f（7,5)。6．(tan10°－eq\r(3)）sin40°的值為（)A．－1 B．0C．1 D．2答案A解析(tan10°－eq\r（3))·sin40°＝（eq\f(sin10°,cos10°)－eq\f（sin60°,cos60°））·sin40°＝eq\f（－sin50°,cos10°·cos60°)·sin40°＝－eq\f（2sin40°·cos40°，cos10°）＝－eq\f(sin80°,cos10°）＝－1.7．已知θ是第三象限的角，且sin4θ＋cos4θ＝eq\f(5,9)，則sin2θ等于（)A。eq\f(2\r(2），3) B．－eq\f（2\r(2），3）C.eq\f(2，3) D．－eq\f(2，3)答案A解析sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ）2－2sin2θcos2θ＝1－eq\f（1,2）sin22θ＝eq\f（5，9）,所以sin22θ＝eq\f(8，9）.又π＋2kπ〈θ〈eq\f（3π，2）＋2kπ(k∈Z），所以2π＋4kπ<2θ<3π＋4kπ（k∈Z)，因此sin2θ〉0，從而sin2θ＝eq\f(2\r(2),3）.8．若α∈(3π，4π），則eq\r(\f（1＋cosα,2)）－eq\r（\f(1－cosα,2））等于（）A．－eq\r（2）sin（eq\f(α,2）＋eq\f（π,4）） B。eq\r(2)sin(eq\f(α，2）＋eq\f(π，4）)C．－eq\r(2）sin（eq\f(α,2)－eq\f（π，4)) D.eq\r（2)sin(eq\f（α,2）－eq\f（π,4)）答案B解析原式＝eq\r(cos2\f(α，2)）－eq\r（sin2\f（α，2））＝|coseq\f（α,2)｜－|sineq\f（α，2）|，又α∈（3π,4π)，∴eq\f(α，2）∈（eq\f(3,2)π，2π)，∴原式＝coseq\f（α,2）＋sineq\f(α,2)＝eq\r(2）sin（eq\f(α,2)＋eq\f(π，4)）．9．在△ABC中,若sinBsinC＝cos2eq\f（A，2)，則此三角形為(）A．等邊三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形答案B解析∵sinBsinC＝cos2eq\f（A,2）,∴sinBsinC＝eq\f（1＋cosA，2），∴2sinBsinC＝1＋cos［π－（B＋C)],∴2sinBsinC＝1－cos(B＋C)．∴cos（B－C）＝1，又角B、角C為△ABC的內(nèi)角，∴B－C＝0，∴B＝C.故選B.10．已知α、β均為銳角，且tanβ＝eq\f（cosα－sinα，cosα＋sinα)，則tan（α＋β)的值為()A．－1 B．1C．2 D．3答案B解析tanβ＝eq\f(1－tanα,1＋tanα）＝tan（eq\f(π，4)－α)且0〈β〈eq\f(π，2)，0<eq\f（π,4）－α<eq\f(π，2)，∴β＝eq\f（π，4)－α,α＋β＝eq\f(π，4)?！鄑an(α＋β)＝1.11．已知sineq\f(θ,2)＋coseq\f（θ,2）＝eq\f(2\r（3），3)，則sinθ＝________,cos2θ＝________．答案eq\f（1,3)eq\f（7,9）解析∵sineq\f(θ，2)＋coseq\f(θ,2)＝eq\f(2\r（3),3)，∴1＋sinθ＝eq\f(4,3）?！鄐inθ＝eq\f（1,3)?！郼os2θ＝1－2sin2θ＝1－eq\f(2，9）＝eq\f(7,9)。12．若eq\f（tanα－1,tanα＋1)＝－eq\f（1，3)，則sin2α＝________．答案eq\f（4，5）解析由已知得tanα＝eq\f(1，2）,∴sin2α＝eq\f（2sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(2tanα，tan2α＋1)＝eq\f(4,5）。13．（sineq\f（5π，12)－sineq\f（π，12））(sineq\f（5π,12）＋sineq\f(π，12)）的值是________．答案eq\f(\r（3）,2)解析原式＝［sin（eq\f（π,2)－eq\f(π,12)）－sineq\f（π,12）][sin（eq\f（π,2）－eq\f（π,12））＋sineq\f（π，12)]＝（coseq\f(π,12）－sineq\f(π，12)）（coseq\f（π,12）＋sineq\f（π，12））＝cos2eq\f（π,12)－sin2eq\f(π，12）＝coseq\f（π，6）＝eq\f（\r(3）,2).14．已知tan2θ＝eq\f（3，4）(eq\f(π,2）<θ〈π）,求eq\f（2cos2\f（θ，2）＋sinθ－1,\r（2)cos(θ＋\f(π，4）))的值．解析∵tan2θ＝eq\f（2tanθ，1－tan2θ)＝eq\f(3,4），∴tanθ＝－3或tanθ＝eq\f（1，3）。又θ∈（eq\f（π，2），π），∴tanθ＝－3.∴eq\f（2cos2\f（θ，2)＋sinθ－1,\r(2)cos（θ＋\f(π，4）））＝eq\f(cosθ＋sinθ，cosθ－sinθ)＝eq\f(1＋tanθ,1－tanθ）＝eq\f（1－3,1＋3）＝－eq\f(1,2）。?重點班·選做題15．已知α、β都是銳角，且eq\f(sinβ，sinα)＝cos（α＋β)，求證：tanβ＝eq\f(tanα，1＋2tan2α)。解析∵eq\f(sinβ,sinα)＝cos（α＋β），∴sinβ＝cos（α＋β)sinα。∴sin［（α＋β)－α］＝cos（α＋β)sinα.∴sin(α＋β）cosα＝2cos(α＋β)sinα.∴tan（α＋β）＝2tanα。∴eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝2tanα?！鄑anβ＝eq\f（tanα，1＋2tan2α)。16．已知eq\f（π,4)<β〈α〈eq\f(3π，4），cos(α－β）＝eq\f（12，13），sin(α＋β）＝－eq\f（3,5），求sin2α的值．分析由于2α＝(α＋β)＋(α－β）,求出角α＋β和α－β的正弦和余弦值后，再借助兩角和正弦公式即可解決問題．解析因為eq\f（π，4)〈β<α<eq\f（3π，4)，所以0〈α－β〈eq\f（π,2)，eq\f(π,2）〈α＋β<eq\f(3π,2）。又sin（α＋β)＝－eq\f(3,5），所以π<α＋β〈eq\f（3π,2).從而有cos（α＋β）＝－eq\f（4，5）.因為cos（α－β）＝eq\f(12,13)，sin(α－β)＝eq\f（5,13）.所以sin2α＝sin[(α＋β）＋（α－β）］＝sin（α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin（α－β）＝(－eq\f(3,5））×eq\f(12，13）＋（－eq\f（4,5）)×eq\f（5，13)＝－eq\f(56，65）.1．已知關于x的方程x2－xcosA·cosB＋2sin2eq\f（C，2）＝0的兩根之和等于兩根之積的一半，則△ABC一定是（）A．直角三角形 B．鈍角三角形C．等腰三角形 D．等邊三角形答案C2．已知sineq\f（α,2）－coseq\f（α，2）＝－eq\f（1，\r(5）)，α∈（450°，540°）,則taneq\f(α，2）＝________．答案23．已知tan2α＋6tanα＋7＝0,tan2β＋6tanβ＋7＝0，α、β∈（0,π），且α≠β，求α＋β的值．錯解由題意知tanα、tanβ是方程x2＋6x＋7＝0的兩根，由