中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)壓軸大題突破訓(xùn)練專題08 幾何中的面積問題（原卷版）

專題08幾何中的面積問題面積問題是壓軸題中?？嫉膯栴}，不僅在幾何壓軸題中，在函數(shù)壓軸題中考查的頻率也很高。幾何壓軸題中的面積問題往往比較抽象，并不是簡單幾何圖形的面積，通常情況下，我們需要對所求的幾何圖形面積進行轉(zhuǎn)化為我們熟悉的可求的類型。在幾何壓軸題中的面積考查主要表現(xiàn)為兩個方面：一是求某個幾何圖形的面；二是求變化中的幾何圖形面積的最值。一、求某個幾何圖形面積的類型，常用的方法：1.添加輔助線：通常包括做出三角形的高，割補法構(gòu)造三角形等。2.圖形變換的方式對所求圖形進行轉(zhuǎn)化，例如通過平移、旋轉(zhuǎn)等變化，把復(fù)雜圖形轉(zhuǎn)化為三角形等。3.可以利用三角形全等，對圖形進行轉(zhuǎn)化。4.利用相似三角形的面積之比等于相似比，構(gòu)建方程進行求解。二、求變化中的幾何圖形的面積問題：（1）方程與函數(shù)的方法：通常需要設(shè)出未知數(shù)x，并用x表示出求面積所必需的邊長和高，構(gòu)建方程求出未知數(shù)，或構(gòu)建函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)求得面積的最值。（2）幾何的方法：一般情況下，在求變化中幾何圖形的面積的最值時，需要我們找準變化的量，討論變化的量的臨界值，例如：在求變化三角形的面積最值時，如果底邊長一定，而底邊上的高在不斷的變化，我們就要根據(jù)高線變化的規(guī)律，尋找高的最大值或者最小值的情況，從而求得面積的最小值。 （2022·浙江衢州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形ABCD中，AB=5，BD為對角線.點E是邊AB延長線上的任意一點，連結(jié)交于點，平分交于點G．(1)求證：.(2)若．①求菱形的面積.②求的值.(3)若，當(dāng)?shù)拇笮“l(fā)生變化時（），在上找一點，使為定值，說明理由并求出的值．（1）由菱形的性質(zhì)可證得∠CBD＝∠ABD＝∠ABC，由平分交于點G，得到∠CBG＝∠EBG＝∠CBE，進一步即可得到答案；（2）①連接AC交BD于點O,Rt△DOC中，OC＝，求得AC＝8，由菱形的面積公式可得答案；②由BGAC，得到，DH＝HG，DG＝2DH，又由DG＝2GE，得到EG＝DH＝HG，則，再證明△CDH∽△AEH，CH＝AC＝，OH＝OC－CH＝4－＝，利用正切的定義得到答案；（3）過點G作GTBC，交AE于點T，△BGE∽△AHE，得AB＝BE＝5，則EG＝GH，再證△DOH∽△DBG，得DH＝GH＝EG，由△EGT∽△EDA得，GT＝，為定值，即可得到ET的值．【答案】(1)見解析(2)①24，②(3)＝，理由見解析【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴BC＝DC，ABCD，∴∠BDC＝∠CBD，∠BDC＝∠ABD，∴∠CBD＝∠ABD＝∠ABC，∵平分交于點G，∴∠CBG＝∠EBG＝∠CBE，∴∠CBD＋∠CBG＝（∠ABC＋∠CBE）＝×180°＝90°，∴∠DBG＝90°；（2）解：①如圖1，連接AC交BD于點O，∵四邊形ABCD是菱形，BD＝6，∴OD＝BD＝3，AC⊥BD，∴∠DOC＝90°，在Rt△DOC中，OC＝，∴AC＝2OC＝8，∴，即菱形的面積是24．②如圖2，連接AC，分別交BD、DE于點O、H，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵∠DBG＝90°∴BG⊥BD，∴BGAC，∴，∴DH＝HG，DG＝2DH，∵DG＝2GE，∴EG＝DH＝HG，∴，∵ABCD，∴∠DCH＝EAH，∠CDH＝∠AEH，∴△CDH∽△AEH，∴，∴CH＝AC＝，∴OH＝OC－CH＝4－＝，∴tan∠BDE＝；（3）如圖3，過點G作GTBC交AE于點T，此時ET＝．理由如下：由題（1）可知，當(dāng)∠DAB的大小發(fā)生變化時，始終有BGAC，∴△BGE∽△AHE，∴，∵AB＝BE＝5，∴EG＝GH，同理可得，△DOH∽△DBG，∴，∵BO＝DO，∴DH＝GH＝EG，∵GTBC，∴GTAD，∴△EGT∽△EDA，∴，∵AD＝AB＝5，∴GT＝，為定值，此時ET＝AE＝（AB＋BE）＝．此題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)等知識，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（2022·山東東營·統(tǒng)考中考真題）和均為等邊三角形，點E、D分別從點A，B同時出發(fā)，以相同的速度沿運動，運動到點B、C停止.(1)如圖1，當(dāng)點E、D分別與點A、B重合時，請判斷：線段的數(shù)量關(guān)系是____________，位置關(guān)系是____________；(2)如圖2，當(dāng)點E、D不與點A，B重合時，（1）中的結(jié)論是否依然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；(3)當(dāng)點D運動到什么位置時，四邊形的面積是面積的一半，請直接寫出答案；此時，四邊形是哪種特殊四邊形？請在備用圖中畫出圖形并給予證明.（1）根據(jù)和均為等邊三角形，得到AF=AD，AB=BC，∠FAD=∠ABC=60°，根據(jù)E、D分別與點A、B重合，得到AB=AD，EF=AF，CD=BC，∠FAD=∠FAB，推出CD=EF，CDEF；（2）連接BF，根據(jù)∠FAD=∠BAC=60°，推出∠FAB=∠DAC，根據(jù)AF=AD，AB=AC，推出△AFB≌△ADC，得到∠ABF=∠ACD=60°，BF=CD，根據(jù)AE=BD，推出BE=CD，得到BF=BE，推出△BFE是等邊三角形，得到BF=EF，∠FEB=60°，推出CD=EF，CD∥EF；（3）過點E作EG⊥BC于點G，設(shè)△ABC的邊長為a，AD=h，根據(jù)AB=BC，BD=CD=BC=a，BD=AE，推出AE=BE=AB，根據(jù)AB=AC，推出AD⊥BC，得到EGAD，推出△EBG∽△ABD，推出，得到=h，根據(jù)CD=EF，CD∥EF，推出四邊形CEFD是平行四邊形，推出，根據(jù)EF=BD，EFBD，推出四邊形BDEF是平行四邊形，根據(jù)BF=EF，推出是菱形．【答案】(1)CD=EF，CDEF(2)CD=EF，CDEF，成立，理由見解析(3)點D運動到BC的中點時，是菱形，證明見解析【詳解】（1）∵和均為等邊三角形，∴AF=AD，AB=BC，∠FAD=∠ABC=60°，當(dāng)點E、D分別與點A、B重合時，AB=AD，EF=AF，CD=BC，∠FAD=∠FAB，∴CD=EF，CDEF；故答案為：CD=EF，CD∥EF；（2）CD=EF，CDEF，成立．證明：連接BF，∵∠FAD=∠BAC=60°，∴∠FAD-∠BAD=∠BAC-∠BAD，即∠FAB=∠DAC，∵AF=AD，AB=AC，∴△AFB≌△ADC(SAS)，∴∠ABF=∠ACD=60°，BF=CD，∵AE=BD，∴BE=CD，∴BF=BE，∴△BFE是等邊三角形，∴BF=EF，∠FEB=60°，∴CD=EF，BCEF，即CDEF，∴CD=EF，CDEF；（3）如圖，當(dāng)點D運動到BC的中點時，四邊形的面積是面積的一半，此時，四邊形是菱形．證明：過點E作EG⊥BC于點G，設(shè)△ABC的邊長為a，AD=h，∵AB=BC，BD=CD=BC=a，BD=AE，∴AE=BE=AB，∵AB=AC，∴AD⊥BC，∴EGAD，∴△EBG∽△ABD，∴，∴=h，由（2）知，CD=EF，CDEF，∴四邊形CEFD是平行四邊形，∴,此時，EF=BD，EFBD，∴四邊形BDEF是平行四邊形，∵BF=EF，∴是菱形．本題主要考查了等邊三角形判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，菱形的判定，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定．（2022·四川綿陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，平行四邊形ABCD中，DB＝，AB＝4，AD＝2，動點E，F(xiàn)同時從A點出發(fā)，點E沿著A→D→B的路線勻速運動，點F沿著A→B→D的路線勻速運動，當(dāng)點E，F(xiàn)相遇時停止運動．(1)如圖1，設(shè)點E的速度為1個單位每秒，點F的速度為4個單位每秒，當(dāng)運動時間為秒時，設(shè)CE與DF交于點P，求線段EP與CP長度的比值；(2)如圖2，設(shè)點E的速度為1個單位每秒，點F的速度為個單位每秒，運動時間為x秒，ΔAEF的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并指出當(dāng)x為何值時，y的值最大，最大值為多少？(3)如圖3，H在線段AB上且AH＝HB，M為DF的中點，當(dāng)點E、F分別在線段AD、AB上運動時，探究點E、F在什么位置能使EM＝HM．并說明理由．（1）延長DF交CB的延長線于點G，先證得，可得，根據(jù)題意可得AF=，AE=，可得到CG=3，再證明△PDE∽△PGC，即可求解；（2）分三種情況討論：當(dāng)0≤x≤2時，E點在AD上，F(xiàn)點在AB上；當(dāng)時，E點在BD上，F(xiàn)點在AB上；當(dāng)時，點E、F均在BD上，即可求解；（3）當(dāng)EF∥BD時，能使EM＝HM．理由：連接DH，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，即可求解．【答案】(1)；(2)y關(guān)于x的函數(shù)解析式為；當(dāng)時，y的最大值為；(3)當(dāng)EF∥BD時，能使EM＝HM．理由見解析【詳解】（1）解：如圖，延長DF交CB的延長線于點G，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，∴，∴，∵點E的速度為1個單位每秒，點F的速度為4個單位每秒，運動時間為秒，∴AF=，AE=，∵AB=4，AD=2，∴BF=，ED=，∴，∴BG=1，∴CG=3，∵，∴△PDE∽△PGC，∴，∴；（2）解：根據(jù)題意得：當(dāng)0≤x≤2時，E點在AD上，F(xiàn)點在AB上，此時AE=x，，∵，AB=4，AD=2，∴，∴△ABD是直角三角形，∵，∴∠ABD=30°，∴∠A=60°，如圖，過點E作交于H，∴，∴；∴當(dāng)x＞0時，y隨x的增大而增大，此時當(dāng)x=2時，y有最大值3；當(dāng)時，E點在BD上，F(xiàn)點在AB上，如圖，過點E作交于N，過點D作交于M，則EN∥DM，根據(jù)題意得：DE=x-2，∴，在Rt△ABD中，，AM=1，∵EN∥DM，∴△BEN∽△BDM，∴，∴∴，∴，此時該函數(shù)圖象的對稱軸為直線，∴當(dāng)時，y隨x的增大而增大，此時當(dāng)時，y有最大值；當(dāng)時，點E、F均在BD上，過點E作交于Q，過點F作交于P，過點D作DM⊥AB于點M，∴，DA+DE=x，∵AB=4，AD=2，∴，，∵PF∥DM，∴△BFP∽△BDM，∴，即，∴，∵，∴△BEQ∽△BDM，∴，即，∴，∴，此時y隨x的增大而減小，此時當(dāng)時，y有最大值；綜上所述：y關(guān)于x的函數(shù)解析式為當(dāng)時，y最大值為；（3）解：當(dāng)EF∥BD時，能使EM＝HM．理由如下：連接DH，如圖，∵，AB=4，∴．AH=1，由（2）得：此時，∵M是DF的中點，∴HM=DM=MF，∵EF∥BD，BD⊥AD，∴EF⊥AD，∴EM=DM=FM，∴EM=HM．本題是四邊形的綜合題，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，分類討論，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．1．（2022·廣東江門·?？家荒＃c為正方形的邊上一動點，直線與相交于點，與的延長線相交于點．(1)如圖①，若正方形的邊長為2，設(shè)，的面積為，求與的函數(shù)關(guān)系；(2)如圖②，求證：是的外接圓的切線；(3)如果把正方形換成是矩形或菱形，（2）的結(jié)論是否是否仍然成立?2．（2022·山東青島·山東省青島第二十六中學(xué)校考二模）問題提出：已知任意三角形的兩邊及夾角，求三角形的面積．問題探究：為了解決上述問題，我們先由特殊到一般來進行探究．探究一：如圖1，在中，，，，，求的面積．在中，，．．探究二：如圖2，中，，，，求的面積（用含、、代數(shù)式表示），寫出探究過程．探究三：如圖3，中，，，，求的面積（用、、表示）寫出探究過程．問題解決：已知任意三角形的兩邊及夾角，求三角形的面積方法是：___________（用文字敘述）．問題應(yīng)用：如圖4，已知平行四邊形中，，，，求平行四邊形的面積（用、、表示）寫出解題過程．問題拓廣：如圖5所示，利用你所探究的結(jié)論直接寫出任意四邊形的面積（用、、、、、表示），其中，，，，，．3．（2022·寧夏銀川·校考一模）如圖，，分別是的直徑和弦，半徑于點．過點作的切線與的延長線交于點，，的延長線交于點．(1)求證：是的切線；(2)若，，求圖中陰影部分的面積．4．（2022·四川南充·模擬預(yù)測）如圖，有兩塊量角器完全重合在一起（量角器的直徑，圓心為），保持下面一塊不動，上面的一塊沿所在的直線向右平移，當(dāng)圓心與點重合時，量角器停止平移，此時半與半交于點，連接．(1)與半有怎樣的位置關(guān)系？請說明理由．(2)在半的量角器上，、點的讀數(shù)分別為、時，問點在這塊量角器上的讀數(shù)是多少？(3)求圖中陰影部分的面積．5．（2022·吉林長春·校考模擬預(yù)測）定義：如果一個四邊形的一組對角互余，我們稱這個四邊形為對角互余四邊形．(1)問題．利用下面哪組圖形可以得到一個對角互余四邊形（）①兩個等腰三角形；②兩個等邊三角形；③兩個直角三角形