第3章離散系統(tǒng)時域分析

2025/2/151第三章離散系統(tǒng)的時域分析2025/2/1523.1LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng)

(1)LTI離散系統(tǒng)的分析：線性常系數(shù)差分方程的求解

(2) 經(jīng)典法：自由響應(yīng)和強迫響應(yīng)

(3) 雙零法：零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)3.2單位序列和單位序列響應(yīng)3.3卷積和

(1)

卷積和的定義和性質(zhì)

(2)利用卷積和求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)3.4單位序列響應(yīng)表示的系統(tǒng)特性本章的主要內(nèi)容2025/2/153難點：邊界條件(起始狀態(tài)和初始條件)的確定；單位序列響應(yīng)的求解；利用卷積和的性質(zhì)求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。本章的主要內(nèi)容2025/2/154例:求圖示RC低通網(wǎng)絡(luò)的響應(yīng)當T足夠小時，解：3.1LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng)差分與差分方程2025/2/155可以利用迭代法求出差分方程的數(shù)值解：3.1LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng)差分與差分方程2025/2/156若描述LTI系統(tǒng)的差分方程中含有輸入函數(shù)的移位項，其形式如下：可以縮寫為：3.1LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng)差分與差分方程2025/2/1574、變換域法（z變換法）逐次代入求解，概念清楚，比較簡便，適用于計算機，缺點是不能得出通式解答。1、迭代法2、時域經(jīng)典法3、雙零法

全響應(yīng)＝零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)

零輸入響應(yīng)求解與齊次通解方法相同

零狀態(tài)響應(yīng)求解利用卷積和方法求解，十分重要!!!求解過程比較麻煩，不宜采用。

求解常系數(shù)線性差分方程的方法全響應(yīng)＝齊次通解+特解自由響應(yīng)強迫響應(yīng)3.1LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng)2025/2/158響應(yīng)區(qū)間確定激勵信號f(k)加入后系統(tǒng)的狀態(tài)變化區(qū)間。一般激勵都是從k=0時刻加入，此時系統(tǒng)的響應(yīng)區(qū)間定為：起始狀態(tài)系統(tǒng)在激勵信號加入前的一組狀態(tài)稱為系統(tǒng)的起始狀態(tài)。表示系統(tǒng)中儲能元件的儲能情況。包含了計算未來響應(yīng)的全部“過去”信息。3.1LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng)2025/2/1593.1LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng)初始條件系統(tǒng)在激勵信號加入后的一組狀態(tài)稱為系統(tǒng)的初始條件。

系統(tǒng)完全響應(yīng)中齊次解的系數(shù)由初始條件確定，也可以由起始狀態(tài)確定，與連續(xù)系統(tǒng)不同！

初始條件確定：

根據(jù)系統(tǒng)的起始狀態(tài)，根據(jù)差分方程進行迭代，求出初始條件。起始狀態(tài)和初始條件可稱為離散系統(tǒng)的邊界條件。2025/2/1510迭代法求解差分方程

已知

n個起始狀態(tài){y(-1),y(-2),y(-2),????,y(-n)}和輸入，由差分方程迭代出系統(tǒng)的輸出。3.1LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng)缺點：不能得到閉合形式的解。2025/2/1511經(jīng)典法

差分方程的全解即系統(tǒng)的完全響應(yīng),由齊次解yh(k)和特解yp(k)組成:齊次解yh(k)的形式由齊次方程的特征根確定，系數(shù)由起始狀態(tài)或初始條件和完全解的形式確定。“自由響應(yīng)”特解yp(k)的形式由方程右邊激勵信號的形式確定，系數(shù)由自身代入方程獲得?！皬娖软憫?yīng)“3.1LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng)2025/2/15123.1LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng)差分方程的經(jīng)典解齊次解

2025/2/1513特解3.1LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng)差分方程的經(jīng)典解2025/2/1514

，得出特解，求系統(tǒng)的響應(yīng)。解：特征方程特征根為由此可得出齊次解的形式為根據(jù)激勵函數(shù)的形式及齊次方程的特征根，確定特解的形式。當激勵時，特解為將特解代入原差分方程，得通過平衡方程兩邊系數(shù)，求出特解的系數(shù)3.1LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng)差分方程的經(jīng)典解例：描述一個線性時不變離散時間系統(tǒng)的差分方程為2025/2/1515從而系統(tǒng)的全解將系統(tǒng)的初始條件代入方程的全解，即從而求出齊次解的系數(shù)為則系統(tǒng)的響應(yīng)就是方程的全解，即3.1LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng)差分方程的經(jīng)典解2025/2/1516經(jīng)典法不足之處

若差分方程右邊激勵項較復雜，則難以處理

若激勵信號發(fā)生變化，則須全部重新求解

這種方法是一種純數(shù)學方法，無法突出系統(tǒng)響應(yīng)的物理概念3.1LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng)差分方程的經(jīng)典解2025/2/15170k0f(k)3.1LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng)雙零法僅與系統(tǒng)的起始狀態(tài)有關(guān)僅與系統(tǒng)的激勵有關(guān)雙零法系統(tǒng)完全響應(yīng)

=零輸入響應(yīng)

+零狀態(tài)響應(yīng)2025/2/15181.系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)是輸入信號為零，僅由系統(tǒng)的起始狀態(tài)單獨作用而產(chǎn)生的輸出響應(yīng)。

數(shù)學模型:

求解方法：根據(jù)差分方程的特征根確定零輸入響應(yīng)的形式

再由起始狀態(tài)確定待定系數(shù)。

3.1LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng)零輸入響應(yīng)2025/2/1519例：已知系統(tǒng)的差分方程為求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)。解：零輸入響應(yīng)滿足：其起始狀態(tài)為：3.1LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng)零輸入響應(yīng)其特征根：齊次解的形式為：特征方程：2025/2/1520求齊次解的系數(shù)：將起始狀態(tài)代入齊次解解得：所以零輸入響應(yīng)為：3.1LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng)零輸入響應(yīng)2025/2/1521

求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs

(k)方法(1)：直接求解起始狀態(tài)為零的差分方程。

當系統(tǒng)的起始狀態(tài)為零時，由系統(tǒng)的外部激勵f(k)產(chǎn)生的響應(yīng)稱為系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，用yzs

(k)表示。2.系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)

3.1LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)2025/2/15221)將任意信號分解為單位序列的線性組合2)求出單位序列作用在系統(tǒng)上的零狀態(tài)響應(yīng)——

單位序列響應(yīng)h(k)3)利用線性時不變系統(tǒng)的特性，即可求出任意序列f(k)激勵下系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs(k)3.1LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng)卷積法

求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs(k)方法(2)卷積法：利用信號分解和線性時不變系統(tǒng)的特性求解。思路如下：2025/2/1523

求解方法:

令等號右端僅有f(k)，求此時的單位序列響應(yīng)為h1(k)，邊界條件可直接取為：

h1

(k)=0(k<0)

,h1

(0)=1

再由h1(k)求h(k)3.2單位序列和單位序列響應(yīng)單位序列響應(yīng)2025/2/1524解：h(k)滿足方程

特征方程為特征根為齊次解的表達式為代入初始條件，有解得

C1=-1，C2=2例

描述某離散因果LTI系統(tǒng)的差分方程為

求系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)h(k)3.2單位序列和單位序列響應(yīng)單位序列響應(yīng)2025/2/1525可利用LTI系統(tǒng)的線性求解一般而言，若描述LTI系統(tǒng)的差分方程為：3.2單位序列和單位序列響應(yīng)單位序列響應(yīng)2025/2/1526可利用LTI系統(tǒng)的線性求解3.2單位序列和單位序列響應(yīng)單位序列響應(yīng)一般而言，若描述LTI系統(tǒng)的差分方程為：2025/2/1527例：求所示離散系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)解:(1)列寫差分方程設(shè)左端加法器的輸出為x(k)由右端加法器的輸出為y(k)列寫方程3.2單位序列和單位序列響應(yīng)單位序列響應(yīng)2025/2/1528為消去中間變量x(k),先求出y(k)的移位序列：按(1)式的系數(shù)配置(2)(3)(4),并求和：3.2單位序列和單位序列響應(yīng)單位序列響應(yīng)得到系統(tǒng)的差分方程為2025/2/1529(2)求h(k)設(shè)只有δ(k)作用時，系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)為h1(k),根據(jù)LTI系統(tǒng)的線性和時不變性質(zhì)，有：可求得所以3.2單位序列和單位序列響應(yīng)單位序列響應(yīng)2025/2/1530反過來：3.2單位序列和單位序列響應(yīng)階躍響應(yīng)2025/2/1531例

求系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

g(k)

系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)為解：利用h(k)與g(k)

的關(guān)系，可得h(k)=[-(-1)k+2(-2)k]ε(k)

3.2單位序列和單位序列響應(yīng)階躍響應(yīng)2025/2/1532任意激勵信號，可以表示為單位樣值加權(quán)取和的形式3.3卷積和卷積和的定義由系統(tǒng)的線性時不變性，得設(shè)2025/2/1533根據(jù)系統(tǒng)的零狀態(tài)線性、時不變、求和性質(zhì)：稱為序列f(k)和序列h(k)的卷積和3.3卷積和卷積和的定義2025/2/1534對任意兩個序列，其卷積和為：若為因果序列：若為因果序列：若均為因果序列：3.3卷積和卷積和的定義卷積和的求法：(1)定義法(2)圖解法(3)列表法(4)利用性質(zhì)2025/2/15353.3卷積和卷積和的定義例：求解(1)(2)利用定義求2025/2/15363.3卷積和卷積和的圖解法圖解法計算序列卷積和：將序列f1(k)，f2(k)自變量用i代換，然后反轉(zhuǎn)f2(i),得f2(-i)

序列f2(-i)沿i軸正方向平移

k單位，k<0圖形左移，

k>0圖形右移，成為f2(k-i)求乘積

f1(i)，f2(k-i)對乘積后得到的序列求和例：兩個序列分別如下，求其卷積和2025/2/1537圖解法122311231-1-2-313.3卷積和卷積和的圖解法2025/2/15383.3卷積和卷積和的圖解法起點等于起點之和；終點等于終點之和；長度等于兩者長度之和減1。2025/2/1539列表法設(shè)f(k)和h(k)都是因果序列，則有當k=0時，當k=1時，當k=2時，當k=3時，以上求解過程可以歸納成列表法。3.3卷積和列表法求卷積和2025/2/1540

將h(k)的值順序排成一行，將f(k)的值順序排成一列，行與列的交叉點記入相應(yīng)f(k)與h(k)的乘積，對角斜線上各數(shù)值就是

f(n)h(k-n)的值。對角斜線上各數(shù)值的和就是y(k)各項的值。f[0]f[1]f[3]f[2]h[0]h[1]h[3]h[2]f[0]h[0]Lf[0]h[1]f[0]h[2]f[0]h[3]f[1]h[0]f[1]h[1]f[1]h[2]f[1]h[3]f[2]h[0]f[2]h[1]f[2]h[2]f[2]h[3]f[3]h[0]f[3]h[1]f[3]h[2]f[3]h[3]MMMMLLLLML3.3卷積和列表法求卷積和2025/2/1541解:例

計算

與

的卷積和3.3卷積和列表法求卷積和列表法也可應(yīng)用于非因果序列2025/2/1542卷積和運算滿足交換律、分配律、結(jié)合律交換律結(jié)合律分配律3.3卷積和卷積和的性質(zhì)2025/2/1543序列與單位序列的卷積和推廣1:若推廣2:則3.3卷積和卷積和的性質(zhì)2025/2/1544差分與求和特性：若f(k)*h(k)=y(k)3.3卷積和卷積和的性質(zhì)2025/2/1545解:例.

計算

與

的卷積和利用位移特性3.3卷積和卷積和的性質(zhì)利用性質(zhì)求2025/2/1546例：已知某離散系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)試求當激勵，時,系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)3.3卷積和卷積和的性質(zhì)解：由于k<0時，所以，f(k)和h(k)均為因果序列。零狀態(tài)響應(yīng)為：2025/2/1547例：3.3卷積和卷積和的性質(zhì)2025/2/15483.3卷積和卷積和的性質(zhì)例：已知某離散系統(tǒng)，求系統(tǒng)全響應(yīng)。

解：系統(tǒng)的差分方程為：(1)求零輸入響應(yīng)：特征根：零輸入響應(yīng)的形