高中數(shù)學(xué)(人教B版)選擇性必修一同步講義2.3.3直線與圓的位置關(guān)系(4知識點(diǎn)+7題型+鞏固訓(xùn)練)(學(xué)生版+解析)

2.3.3直線與圓的位置關(guān)系課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解直線與圓的三種位置關(guān)系:2.能根據(jù)方程判斷直線與圓的位置關(guān)系;3.掌握判斷直線與圓位置關(guān)系的兩種方法，體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合思想在解決問題中的應(yīng)用。1.重點(diǎn):①能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線和圓的位置關(guān)系、②能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題。2.難點(diǎn):數(shù)形結(jié)合思想方法的靈活應(yīng)用直線和圓的三種位置關(guān)系的性質(zhì)與判定的應(yīng)用。知識點(diǎn)01直線與圓的位置關(guān)系直線Ax＋By＋C0與圓(x－a)2＋(y－b)2r2的位置關(guān)系的判斷位置關(guān)系相交相切相離公共點(diǎn)個(gè)數(shù)2個(gè)1個(gè)0個(gè)判定方法幾何法：設(shè)圓心到直線的距離deq\f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))d＜rdrd＞r代數(shù)法：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C0，,（x－a）2＋（y－b）2r2))消元得到一元二次方程根的判別式ΔΔ＞0Δ0Δ＜0圖形【即學(xué)即練1】（22-23高二上·新疆喀什·期末）直線y=x+1A．相切 B．相交但直線過圓心C．相交但直線不過圓心 D．相離【即學(xué)即練2】(多選)（22-23高二上·甘肅金昌·期末）下列直線中，與圓x2A．x+y=2 B．3x+y知識點(diǎn)02圓的切線1.過圓上一點(diǎn)的圓的切線①過圓x2＋y2r2上一點(diǎn)M(x0，y0)的切線方程是x0x＋y0yr2.②過圓(x－a)2＋(y－b)2r2上一點(diǎn)M(x0，y0)的切線方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)r2.=3\*GB3③過圓x2＋y2r2外一點(diǎn)M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點(diǎn)所在直線方程為x0x＋y0yr2.2.過圓外一點(diǎn)的圓的切線過圓外一點(diǎn)M(x0，y0)的圓的切線求法：可用點(diǎn)斜式設(shè)出方程，利用圓心到直線的距離等于半徑求出斜率k，從而得切線方程；若求出的k值只有一個(gè)，則說明另一條直線的斜率不存在，其方程為xx0.【即學(xué)即練3】（23-24高三上·湖北武漢·期末）若點(diǎn)A0,1在圓C:x?12【即學(xué)即練4】（23-24高三上·浙江·階段練習(xí)）過圓x2+y2知識點(diǎn)03切線長1.從圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F0(D2＋E2－4F>0)外一點(diǎn)M(x0，y0)引圓的兩條切線，切線長為eq\r(x\o\al(2,0)＋y\o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F).2.兩切點(diǎn)弦長：利用等面積法，切線長a與半徑r的積的2倍等于點(diǎn)M與圓心的距離d與兩切點(diǎn)弦長b的積，即beq\f(2ar,d).【即學(xué)即練5】（22-23高二上·重慶北碚·階段練習(xí)）過點(diǎn)A2,3作圓M:xA．3 B．23 C．7 D．【即學(xué)即練6】（24-25高二上·全國·課前預(yù)習(xí)）如圖，直線與圓相離，過直線上一點(diǎn)作圓的切線，切線長的最小值=．知識點(diǎn)04圓的弦長直線和圓相交，求被圓截得的弦長通常有兩種方法：(1)幾何法：因?yàn)榘胂议Leq\f(L,2)、弦心距d、半徑r構(gòu)成直角三角形，所以由勾股定理得L2eq\r(r2－d2).(2)代數(shù)法：若直線ykx＋b與圓有兩交點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有：|AB|eq\r(1＋k2)|x1－x2|eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|.【即學(xué)即練7】（2024·內(nèi)蒙古赤峰·一模）已知圓C:x?22【即學(xué)即練8】（22-23高二上·河北保定·期末）直線l:x?y+1=0與圓CA．3 B．2 C．22 D．難點(diǎn)：最值問題示例1：（24-25高二上·江蘇徐州·階段練習(xí)）已知曲線1?x=4?A．17＋2，17－2 B．17＋2，5C．37，17－2 D．37，5【題型1：直線與圓有關(guān)的位置關(guān)系】例1．（24-25高三上·四川成都·開學(xué)考試）在同一平面直角坐標(biāo)系中，直線mx?y+1=0A． B．C． D．變式1．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知圓C:(xA．直線l恒過定點(diǎn)2,1 B．直線l與圓C相切C．直線l與圓C相交 D．直線l與圓C相離變式2．（24-25高二上·上海·單元測試）直線x?3yA．直線l過圓心 B．直線l與圓相交，但不過圓心C．直線l與圓相切 D．直線l與圓無公共點(diǎn)變式3.（23-24高三下·浙江金華·階段練習(xí)）設(shè)直線l:x?2A．相交 B．相切 C．相離 D．以上都有可能變式4．（2007高二·全國·競賽）直線y=33A．直線過圓心 B．直線與圓相交，但不過圓心C．直線與圓相切 D．直線與圓沒有公共點(diǎn)變式5.（10-11高二上·湖南益陽·階段練習(xí)）如果直線ax+by?1=0與圓xA．P在圓外 B．P在圓上C．P在圓內(nèi) D．P與圓的位置不確定變式6.(多選)（2024·全國·模擬預(yù)測）已知直線l:mx+ny?A．若點(diǎn)P在圓C外，則直線l與圓C相離 B．若點(diǎn)P在圓C內(nèi)，則直線l與圓C相交C．若點(diǎn)P在圓C上，則直線l與圓C相切 D．若點(diǎn)P在直線l上，則直線l與圓C相切變式7．（2024·四川瀘州·三模）動(dòng)直線l：mx+y?2m?1=0【方法技巧與總結(jié)】一.直線與圓相交的性質(zhì)，如圖，直線l與圓C相交與A,B，半徑為r，弦AB的中點(diǎn)為D，則點(diǎn)C到直線l的距離d=|CD，稱為弦心距；CD⊥l;||AD|2二.直線與圓相切的性質(zhì)如圖，直線l與圓C相切，切點(diǎn)為P，半徑為r.則（1）CP⊥l；（2）點(diǎn)C到直線l的距離d=|CP|=r；（3）切點(diǎn)P在直線l上，也在圓上.【題型2：由直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)】例2．（24-25高三上·江蘇蘇州·開學(xué)考試）已知直線l：xa+ya=1A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件變式1．（24-25高二上·江蘇徐州·階段練習(xí)）直線y=x+b與曲線A．?1<b≤1 C．?2<b≤?1 變式2．（2024·全國·模擬預(yù)測）若直線mx+ny=1A．m2+nC．m2+n變式3．（23-24高二上·云南昆明·階段練習(xí)）已知直線y=k(A．?33,C．?33,0變式4.（22-23高二上·河北保定·期末）在直角坐標(biāo)系xOy中，A2,0，B0,2，且圓M是以(1)求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線y=kx+2與圓M變式5.（2025·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）過原點(diǎn)的圓的圓心為?sin3,cos3，則原點(diǎn)處與圓相切的直線的傾斜角為（

）A．3 B．π-3 C．3π?62 D．變式6.（23-24高二下·云南昆明·階段練習(xí)）過點(diǎn)P?2,4作圓O:(x?2)2+(y?1)2A．4 B．2 C．85 D．變式7.（2024高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)過點(diǎn)P(0,?5)與圓C:xA．19 B．459 C．?【題型3：圓的切線問題】例3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）圓C:x?12+變式1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知圓C:x?12+y變式2.（24-25高三上·四川成都·開學(xué)考試）已知點(diǎn)P在圓(x?5)2+(y?5)2變式3.（22-23高二上·四川成都·階段練習(xí)）已知圓C的方程為：(x(1)過點(diǎn)P(1,3)作圓的切線，求切線l(2)已知圓C上有2個(gè)點(diǎn)到直線l：x+變式4.（23-24高二上·北京·期中）求滿足下列條件的曲線方程：(1)求過點(diǎn)A3,5且與圓O(2)求圓心在直線3x?y=0上，與x軸相切，且被直線變式5.（23-24高二上·貴州六盤水·期末）已知半徑為2的圓C的圓心在射線y=x(x>0)(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求過點(diǎn)B(?1,0)且與圓C變式6.（23-24高二上·江蘇常州·階段練習(xí)）實(shí)數(shù)x,y滿足(xA．?7,1 B．[?1,7]C．(?∞,?7]∪1,+∞ D．變式7.(多選)（23-24高二下·廣西桂林·期末）直線l：y=x+A．直線l的傾斜角為πB．圓C的圓心坐標(biāo)為（1，0）C．當(dāng)m=D．當(dāng)m∈(?【方法技巧與總結(jié)】1.過圓上一點(diǎn)的圓的切線①過圓x2＋y2r2上一點(diǎn)M(x0，y0)的切線方程是x0x＋y0yr2.②過圓(x－a)2＋(y－b)2r2上一點(diǎn)M(x0，y0)的切線方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)r2.=3\*GB3③過圓x2＋y2r2外一點(diǎn)M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點(diǎn)所在直線方程為x0x＋y0yr2.2.過圓外一點(diǎn)的圓的切線過圓外一點(diǎn)M(x0，y0)的圓的切線求法：可用點(diǎn)斜式設(shè)出方程，利用圓心到直線的距離等于半徑求出斜率k，從而得切線方程；若求出的k值只有一個(gè)，則說明另一條直線的斜率不存在，其方程為xx0.【題型4：弦長問題】例4．（24-25高三上·陜西·開學(xué)考試）由直線y=x+1A．3 B．22 C．7 D．變式1．（24-25高二上·江蘇徐州·階段練習(xí)）圓x2A．2 B．2 C．22 D．變式2．（24-25高二上·江蘇徐州·階段練習(xí)）圓x?22+A．1 B．2 C．23 D．變式3．（24-25高二上·陜西西安·開學(xué)考試）直線l過點(diǎn)2,1，且與圓C：x?2A．6 B．7 C．8 D．9變式4．（22-23高二下·北京延慶·期中）已知點(diǎn)P?13,23，圓A．3x?6y?5=0 B．3x?6變式5．（23-24高二下·甘肅白銀·期末）已知直線l:ax+y?A．3x+y+1=0 B．x+2y變式6．（21-22高二下·全國·期末）設(shè)M是圓C：x+22+y2=16上的動(dòng)點(diǎn)，A．4 B．5 C．6 D．16變式7.（23-24高二下·北京海淀·期末）已知直線l:y=kx+1與⊙C:xA．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【方法技巧與總結(jié)】解決有關(guān)弦長問題的常用方法及結(jié)論幾何法如圖所示，設(shè)直線l被圓C截得的弦為AB，圓的半徑為r，圓心到直線的距離為d，則有關(guān)系式：|AB|2eq\r(r2－d2)代數(shù)法若斜率為k的直線與圓相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)兩點(diǎn)，則|AB|eq\r(1＋k2)·eq\r(xA＋xB2－4xAxB)eq\r(1＋\f(1,k2))·|yA－yB|(其中k≠0)．特別地，當(dāng)k0時(shí)，|AB||xA－xB|；當(dāng)斜率不存在時(shí)，|AB||yA－yB|，當(dāng)直線與圓相交時(shí)，半徑、半弦、弦心距構(gòu)成直角三角形，在解題時(shí)，要注意把它和點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合起來使用【題型5：與圓有關(guān)的對稱問題】例5．（24-25高三上·貴州·開學(xué)考試）已知圓C:x2+yA．2 B．3 C．6 D．4變式1．（23-24高二上·福建廈門·期中）若圓x2+y2?ax+2y+1=0與圓x2+A．x2+4xC．y2?2x變式2．（23-24高三下·重慶·階段練習(xí)）過直線y=2x?1上的一點(diǎn)P作圓C:(x+2)2+A．22 B．23 C．4 變式3．（23-24高二下·云南昆明·期中）已知圓x2+y2+2A．?3 B．1 C．?1 D．3變式4．（23-24高三下·浙江寧波·階段練習(xí)）過直線y=3x上的點(diǎn)P作圓C:(x+2)2+(A．35,95 B．65,變式5.（23-24高二上·貴州銅仁·期中）已知圓x2?4x+y2?2y變式6.（24-25高二上·上?！ふn后作業(yè)）已知圓x2+y2+2①圓x2+y2+2x?4y+1=0的圓心是?1,2；②圓變式7.（23-24高二下·上?！て谥校┮阎本€l:2x+(1)求直線l與圓C相交所得的弦長；(2)求圓C關(guān)于直線l對稱所得的圓的方程．【題型6：點(diǎn)與圓有關(guān)的最值問題】例6．（23-24高二上·遼寧鞍山·期中）若點(diǎn)Px,y在圓x2+變式1.（23-24高三上·河南駐馬店·期末）若點(diǎn)Px,y是圓C:xA．2 B．4 C．6 D．8變式2.（23-24高二上·山東泰安·期中）已知曲線x?1=4?yA．17+2，17?2 B．17C．37，17?2 D．37，變式3.（2024·山東棗莊·一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A?3,0,B1,0,A．34 B．40 C．44 D．48變式4.（23-24高二上·山東菏澤·階段練習(xí)）在Rt△AOB中，∠BOA=90°，OA=8，OB=6，點(diǎn)P為它的內(nèi)切圓C上任一點(diǎn)，求點(diǎn)P到頂點(diǎn)變式5.（22-23高二上·重慶·期末）已知圓心為C的圓經(jīng)過點(diǎn)A1,1和B2,?2，且圓心C在直線(1)求圓心為C的圓的一般方程；(2)已知P2,1，Q為圓C上的點(diǎn)，求PQ變式6.（2023高二上·全國·專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程x?22+變式7.（23-24高二上·福建龍巖·期中）已知圓C的半徑為2，且圓心在直線y=x上，點(diǎn)A2,4在圓C上，點(diǎn)B(1)求圓C的圓心坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)D在圓C上，求BD的最大值與最小值.【方法技巧與總結(jié)】圓上的點(diǎn)到直接距離最值:1.把圓化成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程找出圓心和半徑r2.利用點(diǎn)到直線到距離公式求圓心到直線的距離3.判斷位置關(guān)系【題型7：直線與圓有關(guān)的最值問題】例7．（23-24高二下·山西呂梁·階段練習(xí)）已知P是圓O:x2A．0,22?1 C．0,22+1 變式1．（2024·北京門頭溝·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，記d為點(diǎn)Pcosθ，sinθ到直線kx?A．2 B．3 C．4 D．6變式2.（23-24高二上·江蘇南京·開學(xué)考試）已知圓C：x?32+y?42=1，直線2x?y?12=0上點(diǎn)P，過點(diǎn)P作圓C的兩條切線PA變式3．（23-24高二上·江蘇南京·開學(xué)考試）設(shè)圓C1：x2+y2?10x+4y+25=0與圓C2：x2+y2A．22+3 B．3?22 C．6變式4．（多選）（23-24高二上·江蘇南京·開學(xué)考試）已知圓O:x2+yA．直線l1，lB．直線l1與圓OC．直線l2與圓O截得弦長為D．l變式5．（24-25高三上·河北邢臺·開學(xué)考試）已知實(shí)數(shù)a,b滿足a2+b變式6．（2023·江西上饒·模擬預(yù)測）直線2x?sinθ+y變式7．（24-25高三上·北京·開學(xué)考試）已知直線x?y+m=0與圓C:x2+一、單選題1．（23-24高二下·湖北武漢·期中）若圓C的圓心為1,2，且被x軸截得弦長為4，則圓C的方程為（

）A．x2+yC．x2+y2．（24-25高三上·江蘇南通·階段練習(xí)）已知直線ax+by+1=0與圓xA．與a有關(guān)，與b有關(guān) B．與a有關(guān)，與b無關(guān)C．與a無關(guān)，與b有關(guān) D．與a無關(guān)，與b無關(guān)3．（23-24高二下·河南·階段練習(xí)）若直線x+y+2=0與圓MA．2 B．4 C．22 4．（2024·遼寧丹東·二模）過坐標(biāo)原點(diǎn)O作圓C:x2A．2 B．2 C．22 5．（2024·河南南陽·模擬預(yù)測）若圓C:(x?aA．12 B．1 C．326．（23-24高三上·浙江嘉興·期末）已知直線l:3x+y?1=0與圓A．π2 B．2π3 C．3π47．（23-24高二上·廣東深圳·期末）若直線l:mx+ny?1=0圓xA．3 B．2 C．22 8．（23-24高二上·上?！て谀┮阎獔AC:x2+y2?2xA．?13 B．13 二、多選題9．（24-25高二上·廣西·開學(xué)考試）對于直線l:m?2A．l過定點(diǎn)(2,3)B．C的半徑為9C．l與C可能相切D．l被C截得的弦長最小值為210．（23-24高二下·福建廈門·期末）已知直線x+y?4=0與圓O：xA．1 B．2 C．3 D．411．（23-24高二下·安徽蕪湖·期末）已知直線l:y=A．直線l過定點(diǎn)1,0B．直線l與圓C恒相交C．直線l被圓C截得的弦長最短為4D．若直線l被圓C截得的弦長為14，則k三、填空題12．（24-25高二上·全國·單元測試）已知圓C與直線y=?x及x+y?4=0相切，圓心在直線y（23-24高二下·河南南陽·期末）已知點(diǎn)Px,y在圓x214．（23-24高二上·浙江寧波·期末）若直線l與單位圓和曲線x24?y2四、解答題15．（11-12高二上·浙江衢州·期末）已知關(guān)于x,y的方程C：(1)當(dāng)m為何值時(shí)，方程C表示圓；(2)若圓C與直線l:x+2y?4=0相交于M16．（23-24高二上·北京西城·期中）已知圓C的圓心在直線2x?y=0上，且與(1)求圓C的方程；(2)若圓C直線l:x?y+m=0從下列三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面問題中并作答：條件①：圓C被直線l分成兩段圓弧，其弧長比為2:1；條件②：|AB條件③：∠ACB17．（24-25高二上·江蘇徐州·開學(xué)考試）已知半徑為83的圓C的圓心在y軸的正半軸上，且直線12x?9(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)若Mx,y(3)已知A0,?1，P為圓C上任意一點(diǎn)，試問在y軸上是否存在定點(diǎn)B（異于點(diǎn)A），使得PBPA為定值？若存在，求點(diǎn)18．（24-25高二上·江蘇南通·開學(xué)考試）根據(jù)下列條件，分別求滿足條件的直線或圓的方程：(1)已知以點(diǎn)A?1，2為圓心的圓與直線l1:x+2y+7＝0相切，過點(diǎn)B?2,0的動(dòng)直線(2)以C4,?3為圓心的圓與圓x2+19．（23-24高二上·福建泉州·期中）已知圓C：x2+y(1)設(shè)l與圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程；(2)若定點(diǎn)P1,1分弦AB為AP2.3.3直線與圓的位置關(guān)系課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解直線與圓的三種位置關(guān)系:2.能根據(jù)方程判斷直線與圓的位置關(guān)系;3.掌握判斷直線與圓位置關(guān)系的兩種方法，體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合思想在解決問題中的應(yīng)用。1.重點(diǎn):①能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線和圓的位置關(guān)系、②能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題。2.難點(diǎn):數(shù)形結(jié)合思想方法的靈活應(yīng)用直線和圓的三種位置關(guān)系的性質(zhì)與判定的應(yīng)用。知識點(diǎn)01直線與圓的位置關(guān)系直線Ax＋By＋C0與圓(x－a)2＋(y－b)2r2的位置關(guān)系的判斷位置關(guān)系相交相切相離公共點(diǎn)個(gè)數(shù)2個(gè)1個(gè)0個(gè)判定方法幾何法：設(shè)圓心到直線的距離deq\f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))d＜rdrd＞r代數(shù)法：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C0，,（x－a）2＋（y－b）2r2))消元得到一元二次方程根的判別式ΔΔ＞0Δ0Δ＜0圖形【即學(xué)即練1】（22-23高二上·新疆喀什·期末）直線y=x+1A．相切 B．相交但直線過圓心C．相交但直線不過圓心 D．相離【答案】D【分析】利用圓心到直線的距離和半徑的大小關(guān)系即可判斷直線與圓的位置關(guān)系.【詳解】圓x2+y2=1故圓心到直線y=x+1的距離為1所以直線y=x+1.【即學(xué)即練2】(多選)（22-23高二上·甘肅金昌·期末）下列直線中，與圓x2A．x+y=2 B．3x+y【答案】CC【分析】根據(jù)圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系對選項(xiàng)一一驗(yàn)證即可.【詳解】圓x2+y2=4對于選項(xiàng)A，圓心到直線的距離d=對于選項(xiàng)B，圓心到直線的距離d=對于選項(xiàng)C，圓心到直線的距離d=對于選項(xiàng)D，圓心到直線的距離d=C.知識點(diǎn)02圓的切線1.過圓上一點(diǎn)的圓的切線①過圓x2＋y2r2上一點(diǎn)M(x0，y0)的切線方程是x0x＋y0yr2.②過圓(x－a)2＋(y－b)2r2上一點(diǎn)M(x0，y0)的切線方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)r2.=3\*GB3③過圓x2＋y2r2外一點(diǎn)M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點(diǎn)所在直線方程為x0x＋y0yr2.2.過圓外一點(diǎn)的圓的切線過圓外一點(diǎn)M(x0，y0)的圓的切線求法：可用點(diǎn)斜式設(shè)出方程，利用圓心到直線的距離等于半徑求出斜率k，從而得切線方程；若求出的k值只有一個(gè)，則說明另一條直線的斜率不存在，其方程為xx0.【即學(xué)即練3】（23-24高三上·湖北武漢·期末）若點(diǎn)A0,1在圓C:x?12【答案】y【分析】利用垂直直線的斜率關(guān)系和直線方程相關(guān)概念直接求解.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)A0,1在圓C所以過A的圓的切線方程和AC垂直，因?yàn)锳0,1，C1,0，所以kAC所以切線方程為y=1×x?0故答案為：y【即學(xué)即練4】（23-24高三上·浙江·階段練習(xí)）過圓x2+y2【答案】y【分析】由圓的切線性質(zhì)求出切線斜率，利用點(diǎn)斜式方程即可得.【詳解】由題知，kOP=?1，則切線斜率所以切線方程為y?22故答案為：y知識點(diǎn)03切線長1.從圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F0(D2＋E2－4F>0)外一點(diǎn)M(x0，y0)引圓的兩條切線，切線長為eq\r(x\o\al(2,0)＋y\o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F).2.兩切點(diǎn)弦長：利用等面積法，切線長a與半徑r的積的2倍等于點(diǎn)M與圓心的距離d與兩切點(diǎn)弦長b的積，即beq\f(2ar,d).【即學(xué)即練5】（22-23高二上·重慶北碚·階段練習(xí)）過點(diǎn)A2,3作圓M:xA．3 B．23 C．7 D．【答案】C【分析】先求得圓M的圓心坐標(biāo)和半徑，再利用切線長定理即可求得AB的值.【詳解】因?yàn)閳AM:所以圓M的圓心為M(0,0)，半徑為r因?yàn)锳B與圓M相切，切點(diǎn)為B，所以AB⊥BM，則因?yàn)锳M=所以AB=.【即學(xué)即練6】（24-25高二上·全國·課前預(yù)習(xí)）如圖，直線與圓相離，過直線上一點(diǎn)作圓的切線，切線長的最小值=．【答案】d知識點(diǎn)04圓的弦長直線和圓相交，求被圓截得的弦長通常有兩種方法：(1)幾何法：因?yàn)榘胂议Leq\f(L,2)、弦心距d、半徑r構(gòu)成直角三角形，所以由勾股定理得L2eq\r(r2－d2).(2)代數(shù)法：若直線ykx＋b與圓有兩交點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有：|AB|eq\r(1＋k2)|x1－x2|eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|.【即學(xué)即練7】（2024·內(nèi)蒙古赤峰·一模）已知圓C:x?22【答案】14【分析】根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系，利用點(diǎn)到直線的距離公式和弦長公式求解.【詳解】解：由題意可得，圓心為2,0，半徑r弦心距d=故直線l被C截得的弦長為2r故答案為：14【即學(xué)即練8】（22-23高二上·河北保定·期末）直線l:x?y+1=0與圓CA．3 B．2 C．22 D．【答案】C【分析】依題意，作出圖形，求出圓心坐標(biāo)和半徑，過圓心C(1,0)作CD⊥AB于D，分別計(jì)算|CD|【詳解】如圖，由圓C:x2+y2?2過點(diǎn)C(1,0)作CD⊥AB于D，由C(1,0)到直線則|AB故△AOB的面積為1.難點(diǎn)：最值問題示例1：（24-25高二上·江蘇徐州·階段練習(xí)）已知曲線1?x=4?A．17＋2，17－2 B．17＋2，5C．37，17－2 D．37，5【答案】D【分析】由題意可得曲線1?x=4?y2表示的圖形為以A【詳解】由1?x=4?y2且有(x?1)2B

又因?yàn)閤2+(又因?yàn)閨PA所以x2+(當(dāng)動(dòng)點(diǎn)與圖中C(1,?2)點(diǎn)重合時(shí)，x2+．【題型1：直線與圓有關(guān)的位置關(guān)系】例1．（24-25高三上·四川成都·開學(xué)考試）在同一平面直角坐標(biāo)系中，直線mx?y+1=0A． B．C． D．【答案】D【分析】由圓的位置和直線所過定點(diǎn)，判斷直線與圓的位置關(guān)系.【詳解】圓x2+y2=2直線mx?y+1=0ABD選項(xiàng)都有可能，C選項(xiàng)不可能..變式1．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知圓C:(xA．直線l恒過定點(diǎn)2,1 B．直線l與圓C相切C．直線l與圓C相交 D．直線l與圓C相離【答案】D【分析】求出圓C的圓心和半徑，直線l所過的定點(diǎn)，再由該定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷直線與圓的位置即可.【詳解】圓C:(x?2)2直線l:m(x?3)+因此點(diǎn)(3,1)在圓C內(nèi)，直線l與圓C相交，ABD錯(cuò)誤，C正確.變式2．（24-25高二上·上?！卧獪y試）直線x?3yA．直線l過圓心 B．直線l與圓相交，但不過圓心C．直線l與圓相切 D．直線l與圓無公共點(diǎn)【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，求出直線l的方程，再根據(jù)圓心到直線l的距離與半徑的關(guān)系判斷作答.【詳解】直線x?3y=0過原點(diǎn)，斜率為依題意，直線l的傾斜角為60°，斜率為3，而l過原點(diǎn)，因此直線l的方程為：y=3x而圓(x?2)2+y于是得圓心(2,0)到直線l的距離為23所以直線l與圓相切.變式3.（23-24高三下·浙江金華·階段練習(xí)）設(shè)直線l:x?2A．相交 B．相切 C．相離 D．以上都有可能【答案】D【分析】求出圓心和半徑，求出圓心到直線l的距離，與半徑比較即可判斷求解．【詳解】圓C:(x?1)2則圓心C到直線l的距離d=故直線l與圓C相離．．變式4．（2007高二·全國·競賽）直線y=33A．直線過圓心 B．直線與圓相交，但不過圓心C．直線與圓相切 D．直線與圓沒有公共點(diǎn)【答案】D【分析】先求出直線y=33【詳解】直線y=33直線y=33旋轉(zhuǎn)后的直線方程為y=則圓心2,0到直線的距離d=23∴直線與圓相切..變式5.（10-11高二上·湖南益陽·階段練習(xí)）如果直線ax+by?1=0與圓xA．P在圓外 B．P在圓上C．P在圓內(nèi) D．P與圓的位置不確定【答案】A【分析】根據(jù)直線ax+by?1=0與圓x2+y2【詳解】直線ax+by?1=0根據(jù)d=1a2+b2.變式6.(多選)（2024·全國·模擬預(yù)測）已知直線l:mx+ny?A．若點(diǎn)P在圓C外，則直線l與圓C相離 B．若點(diǎn)P在圓C內(nèi)，則直線l與圓C相交C．若點(diǎn)P在圓C上，則直線l與圓C相切 D．若點(diǎn)P在直線l上，則直線l與圓C相切【答案】AB【分析】根據(jù)直線和圓相切、相交、相離的等價(jià)條件進(jìn)行求解即可.【詳解】對于A，因?yàn)辄c(diǎn)Pm,n在圓C則圓心C0,0到直線l的距離為d所以直線l與圓C相交，故命題A是假命題；對于B，因?yàn)辄c(diǎn)Pm,n在圓C則圓心C0,0到直線l的距離為d所以直線l與圓C相離，故命題B是假命題；對于C，因?yàn)辄c(diǎn)Pm,n在圓C則圓心C0,0到直線l的距離為d所以直線l與圓C相切，故命題C是真命題；對于D，因?yàn)辄c(diǎn)Pm,n在直線l上，所以m則圓心C0,0到直線l的距離為d所以直線l與圓C相切，故命題D是真命題；B.變式7．（2024·四川瀘州·三模）動(dòng)直線l：mx+y?2m?1=0【答案】8【分析】求出直線所過定點(diǎn)A，判斷定點(diǎn)A在圓內(nèi)，數(shù)形結(jié)合知直線l截圓C所得弦長最小時(shí)，弦心距最大，此時(shí)CA⊥【詳解】直線l:mx+所以直線l過定點(diǎn)A2,1，又圓C:x所以點(diǎn)A在圓C內(nèi)部，AC=當(dāng)CA垂直于直線l時(shí)，C到直線l的距離最大，此時(shí)弦長最小，所以直線l被圓C截得的弦長的最小值為226故答案為：8.【方法技巧與總結(jié)】一.直線與圓相交的性質(zhì)，如圖，直線l與圓C相交與A,B，半徑為r，弦AB的中點(diǎn)為D，則點(diǎn)C到直線l的距離d=|CD，稱為弦心距；CD⊥l;||AD|2二.直線與圓相切的性質(zhì)如圖，直線l與圓C相切，切點(diǎn)為P，半徑為r.則（1）CP⊥l；（2）點(diǎn)C到直線l的距離d=|CP|=r；（3）切點(diǎn)P在直線l上，也在圓上.【題型2：由直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)】例2．（24-25高三上·江蘇蘇州·開學(xué)考試）已知直線l：xa+ya=1A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用直線與圓的位置關(guān)系，充分條件、必要條件的定義判斷即得.【詳解】圓C:(x?3)2由直線l:x+y?a=0(a≠0)所以“a=8變式1．（24-25高二上·江蘇徐州·階段練習(xí)）直線y=x+b與曲線A．?1<b≤1 C．?2<b≤?1 【答案】A【分析】畫出直線y=x+【詳解】曲線x=1?y2，整理得x2當(dāng)直線y=x+則圓心(0,0)到直線y=x+可得b=?當(dāng)直線y=x+b過如圖，直線與曲線恰有1個(gè)交點(diǎn)，則?1<b≤1或.變式2．（2024·全國·模擬預(yù)測）若直線mx+ny=1A．m2+nC．m2+n【答案】A【分析】根據(jù)題意可知，圓心到直線的距離小于等于圓的半徑，進(jìn)而可以列出不等式.【詳解】x2+y2=1圓心(0,0)到直線mx+ny?1=0依題意，圓心到直線的距離小于等于圓的半徑，所以1m2+.變式3．（23-24高二上·云南昆明·階段練習(xí)）已知直線y=k(A．?33,C．?33,0【答案】C【分析】根據(jù)題意，得到直線y=k(x+2)【詳解】由直線y=k(又由曲線y=1?x作出曲線y=1?x因?yàn)橹本€y=k(又由2kk2若直線y=k(x+2)即實(shí)數(shù)k的取值范圍為0,3.變式4.（22-23高二上·河北保定·期末）在直角坐標(biāo)系xOy中，A2,0，B0,2，且圓M是以(1)求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線y=kx+2與圓M【答案】(1)x(2)1【分析】（1）由AB為直徑，可知圓心M及半徑，進(jìn)而可得圓的方程；（2）根據(jù)直線與圓相切，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離可得解.【詳解】（1）由已知A2,0，B0,2，則半徑r=所以圓的方程為x?1（2）由直線y=kx+2又直線與圓相切，可得d=k?1+2變式5.（2025·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）過原點(diǎn)的圓的圓心為?sin3,cos3，則原點(diǎn)處與圓相切的直線的傾斜角為（

）A．3 B．π-3 C．3π?62 D．【答案】A【分析】設(shè)圓心為C?sin3,cos3，即可求出kOC，從而得到【詳解】設(shè)圓心為C?sin3,cos3，則k依題意kl?k又π2<3<π，所以直線變式6.（23-24高二下·云南昆明·階段練習(xí)）過點(diǎn)P?2,4作圓O:(x?2)2+(y?1)2A．4 B．2 C．85 D．【答案】A【分析】由點(diǎn)斜式求出直線l的方程，根據(jù)直線平行及兩平行直線間的距離公式可得結(jié)果.【詳解】由條件知點(diǎn)P?2,4在圓O上，所以直線OP的斜率為4?1?2?2=?34即直線l方程為y?4=43x+2直線l平行，∴b=3,∴直線m方程為4x?3y=0，則直線．變式7.（2024高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)過點(diǎn)P(0,?5)與圓C:xA．19 B．459 C．?【答案】A【分析】解法1：如圖，由題意確定圓心坐標(biāo)和半徑，求出sin∠APC,cos∠APC，由二倍角的余弦公式求出cos∠APB即可求解；解法2：如圖，由題意確定圓心坐標(biāo)和半徑，利用余弦定理求出cos∠APB【詳解】解法1：如圖，圓x2+y則圓心C(2,0)，半徑r=5，過點(diǎn)P(0,?5)作圓因?yàn)镻C=3，則PA=PB則cos∠APB=cos2∠所以cosα.解法2：如圖，圓x2+y2?4x?1=0過點(diǎn)P(0,?5)作圓C的切線，切點(diǎn)為A,B，連接AB因?yàn)镻A且∠ACB=π?∠APB即4?4cos∠APB=5?5cos∠ACB即∠APB為鈍角，且α為銳角，則cos.解法3：圓x2+y2?4x?1=0若切線斜率不存在，則切線方程為x=0，則圓心到切點(diǎn)的距離d若切線斜率存在，則設(shè)切線方程為y=kx?則圓心到切線的距離d=2k所以tanα=k由sin2α+.【題型3：圓的切線問題】例3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）圓C:x?12+【答案】x【分析】根據(jù)條件得到點(diǎn)P0,3在圓上，從而得到切線的斜率為【詳解】因?yàn)閳AC:x?12+易知點(diǎn)P0,3在圓上，又kCP故切線方程為y?3=故答案為：x?變式1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知圓C:x?12+y【答案】x【分析】過圓x?a2+y【詳解】由題意，切點(diǎn)弦AB所在直線的方程為2?1x?1+2故答案為：x變式2.（24-25高三上·四川成都·開學(xué)考試）已知點(diǎn)P在圓(x?5)2+(y?5)2【答案】3【分析】找到當(dāng)∠PBA【詳解】設(shè)圓(x?5)2如圖所示：當(dāng)∠PBA最小時(shí)，PB與圓M相切，連接MP則PM⊥PB，|BM由勾股定理得|PB所以當(dāng)∠PBA最小時(shí)，|故答案為：32變式3.（22-23高二上·四川成都·階段練習(xí)）已知圓C的方程為：(x(1)過點(diǎn)P(1,3)作圓的切線，求切線l(2)已知圓C上有2個(gè)點(diǎn)到直線l：x+【答案】(1)5x?12(2)?【分析】（1）先判斷點(diǎn)P(1,3)（2）先求臨界位置，即分別求圓上有1個(gè)點(diǎn)到l的距離為1，圓上有3個(gè)點(diǎn)到l的距離為1，時(shí)m的值，取中間范圍即圓上有2個(gè)點(diǎn)到l的距離為1.【詳解】（1）由題可知圓心C(?1,0),因?yàn)?1+1)2所以P在圓外，過圓外一點(diǎn)作圓的切線有2條.①當(dāng)k存在時(shí)，設(shè)切線方程l：y?3=k(則圓心C到l的距離d|?k?k此時(shí)切線l：5x②當(dāng)k不存在時(shí)，過點(diǎn)P(1,3)的直線方程為x圓心C(?1,0)到直線x所以直線x=1與圓(此時(shí)切線方程l：x=1綜上：切線l的方程為：5x?12（2）圓心C(?1,0)到l的距離d|?1+2|當(dāng)圓上有1個(gè)點(diǎn)到l的距離為1，則d當(dāng)圓上有3個(gè)點(diǎn)到l的距離為1，則d=所以當(dāng)圓上有2個(gè)點(diǎn)到l的距離為1，則|d所以1<d<3,即∴m的取值范圍為?變式4.（23-24高二上·北京·期中）求滿足下列條件的曲線方程：(1)求過點(diǎn)A3,5且與圓O(2)求圓心在直線3x?y=0上，與x軸相切，且被直線【答案】(1)x=3或(2)x2+2【分析】（1）先設(shè)出方程，然后將相切條件轉(zhuǎn)化為距離條件，再用距離公式求解；（2）先設(shè)出方程，然后將弦長條件轉(zhuǎn)化為距離條件，再用距離公式求解.【詳解】（1）據(jù)點(diǎn)A3,5可設(shè)直線方程為sin圓O的方程可化為x?12+y?2從而?2sint所以4=?2sin得cost這就說明cost=0或tant=5（2）設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為Pt,3t，由于該圓與x所以該圓的方程是x?t2而該圓被直線x?y=0截得的弦長為27，故該圓圓心到直線所以?2t2=故所求的圓的方程為x2+2x變式5.（23-24高二上·貴州六盤水·期末）已知半徑為2的圓C的圓心在射線y=x(x>0)(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求過點(diǎn)B(?1,0)且與圓C【答案】(1)((2)x=?1或【分析】（1）設(shè)圓心坐標(biāo)為m,mm>0，根據(jù)點(diǎn)（2）分斜率存在和不存在求解，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)切線的方程為y=【詳解】（1）由圓C的圓心在直線y=x上，可設(shè)圓心C的坐標(biāo)為又圓C的半徑為2，點(diǎn)A(?1,1)在圓C上，有|解得m=?1（舍去）或m故圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x（2）①當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，直線x=?1與圓C②當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線的方程為y=k(由題知|2k?1|k可得切線方程為?34x由①②知，過點(diǎn)B(?1,0)且與圓C相切的直線方程為x=?1或

變式6.（23-24高二上·江蘇常州·階段練習(xí)）實(shí)數(shù)x,y滿足(xA．?7,1 B．[?1,7]C．(?∞,?7]∪1,+∞ D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，把y+2x轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)P(【詳解】由圓的方程(x?1)2+(又由y+2x=y?(?2)x?0當(dāng)過點(diǎn)A(0,?2)與圓C相切時(shí)，此時(shí)y設(shè)y+2x=t，可得整理得t2+6t?7=0，解得結(jié)合圖象，可得y+2x的取值范圍是.變式7.(多選)（23-24高二下·廣西桂林·期末）直線l：y=x+A．直線l的傾斜角為πB．圓C的圓心坐標(biāo)為（1，0）C．當(dāng)m=D．當(dāng)m∈(?【答案】CCD【分析】根據(jù)直線l斜率和傾斜角的關(guān)系，即可判斷A選項(xiàng)；將圓心求出，即可判斷B選項(xiàng)；利用點(diǎn)到直線的距離公式求出d=r，即可得出直線l與圓C的位置關(guān)系，即可判斷C選項(xiàng)；利用點(diǎn)到直線的距離公式求出d<【詳解】直線l：y=x+而圓C：x2+y2?2x=0當(dāng)m=2?1設(shè)圓心C1,0到直線l的距離為d，則d所以直線l與圓C相切，故C正確；對于D項(xiàng)，圓C：x2+y2?2x=0因?yàn)橹本€l:y=即d=1?0+m所以當(dāng)m∈(?CD.【方法技巧與總結(jié)】1.過圓上一點(diǎn)的圓的切線①過圓x2＋y2r2上一點(diǎn)M(x0，y0)的切線方程是x0x＋y0yr2.②過圓(x－a)2＋(y－b)2r2上一點(diǎn)M(x0，y0)的切線方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)r2.=3\*GB3③過圓x2＋y2r2外一點(diǎn)M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點(diǎn)所在直線方程為x0x＋y0yr2.2.過圓外一點(diǎn)的圓的切線過圓外一點(diǎn)M(x0，y0)的圓的切線求法：可用點(diǎn)斜式設(shè)出方程，利用圓心到直線的距離等于半徑求出斜率k，從而得切線方程；若求出的k值只有一個(gè)，則說明另一條直線的斜率不存在，其方程為xx0.【題型4：弦長問題】例4．（24-25高三上·陜西·開學(xué)考試）由直線y=x+1A．3 B．22 C．7 D．【答案】D【分析】由圓的方程得圓心坐標(biāo)和半徑，求出圓心到直線的距離，利用切線的性質(zhì)及勾股定理求出切線長的最小值即可.【詳解】由圓的方程C:x?32+如圖，切線長PA2=PC2?PC最小值為圓心C到直線y=x+1所以切線長PA的最小值22.

變式1．（24-25高二上·江蘇徐州·階段練習(xí)）圓x2A．2 B．2 C．22 D．【答案】C【分析】利用配方法化簡圓的方程，結(jié)合垂徑定理與勾股定理，可得答案.【詳解】由x2+y圖中AB⊥MO，MB=3,MO=2，易知AB為所有經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的弦中最短弦，AB=2.變式2．（24-25高二上·江蘇徐州·階段練習(xí)）圓x?22+A．1 B．2 C．23 D．【答案】D【分析】代入弦長公式，即可求解.【詳解】圓心2,0到直線x?y?2+所以弦長l=2變式3．（24-25高二上·陜西西安·開學(xué)考試）直線l過點(diǎn)2,1，且與圓C：x?2A．6 B．7 C．8 D．9【答案】A【分析】判斷已知點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，并確定過定點(diǎn)的直線與圓所成弦長的范圍，結(jié)合圓的對稱性確定弦的條數(shù).【詳解】由題設(shè)，圓C的圓心為(2,4)，且半徑r=而2?22+1?42=9<10當(dāng)直線l與2,1、(2,4)的連線垂直時(shí)，弦長最短為2r而最長弦長為圓的直徑為210，故所有弦的弦長范圍為[2,2所以相交所形成的長度為整數(shù)的弦，弦長為2,3,4,5,6，根據(jù)圓的對稱性，弦長為3,4,5,6各有2條，弦長為2的只有1條，綜上，共9條.變式4．（22-23高二下·北京延慶·期中）已知點(diǎn)P?13,23，圓A．3x?6y?5=0 B．3x?6【答案】C【分析】根據(jù)題意，由條件可得過點(diǎn)P且弦長最短的弦應(yīng)是垂直于直線CP的弦，再由直線的點(diǎn)斜式方程，即可得到結(jié)果．【詳解】設(shè)經(jīng)過圓C內(nèi)一點(diǎn)P且被圓截得弦長最短的直線的斜率為k1，直線PC的斜率為k由題意得，k2因?yàn)閗1?k所以圓C內(nèi)一點(diǎn)P且被圓截得弦長最短的直線的方程為y?23．變式5．（23-24高二下·甘肅白銀·期末）已知直線l:ax+y?A．3x+y+1=0 B．x+2y【答案】A【分析】直線l恒過定點(diǎn)D1,?2，可得D點(diǎn)在圓C內(nèi)，可得當(dāng)DC⊥l【詳解】l:ax?1+y+2=0因?yàn)??22+?2+12=2<9所以當(dāng)DC⊥l時(shí)，弦設(shè)直線l的斜率為k，則k=?所以直線l的方程為y+2=?x?1.變式6．（21-22高二下·全國·期末）設(shè)M是圓C：x+22+y2=16上的動(dòng)點(diǎn)，A．4 B．5 C．6 D．16【答案】A【分析】根據(jù)切線性質(zhì)可得點(diǎn)N的軌跡方程為圓，再根據(jù)圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)距離的最值方法求解即可.【詳解】由題意得，圓心C?2,0又MN=25，∴即點(diǎn)N的軌跡方程為x+2∴點(diǎn)N到點(diǎn)4,8距離的最小值為4+22.變式7.（23-24高二下·北京海淀·期末）已知直線l:y=kx+1與⊙C:xA．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【分析】利用三角形的面積公式可得，當(dāng)∠ACB=90°時(shí)，△ABC再由點(diǎn)到直線的距離公式求出k的值，最后結(jié)合充要條件的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】由⊙C:x?12又S△當(dāng)且僅當(dāng)∠ACB此時(shí)AB=由等面積可得點(diǎn)C到直線l的距離d=又點(diǎn)C到直線l的距離d=解得，k=±1因此“k=±1”是“△.【方法技巧與總結(jié)】解決有關(guān)弦長問題的常用方法及結(jié)論幾何法如圖所示，設(shè)直線l被圓C截得的弦為AB，圓的半徑為r，圓心到直線的距離為d，則有關(guān)系式：|AB|2eq\r(r2－d2)代數(shù)法若斜率為k的直線與圓相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)兩點(diǎn)，則|AB|eq\r(1＋k2)·eq\r(xA＋xB2－4xAxB)eq\r(1＋\f(1,k2))·|yA－yB|(其中k≠0)．特別地，當(dāng)k0時(shí)，|AB||xA－xB|；當(dāng)斜率不存在時(shí)，|AB||yA－yB|，當(dāng)直線與圓相交時(shí)，半徑、半弦、弦心距構(gòu)成直角三角形，在解題時(shí)，要注意把它和點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合起來使用【題型5：與圓有關(guān)的對稱問題】例5．（24-25高三上·貴州·開學(xué)考試）已知圓C:x2+yA．2 B．3 C．6 D．4【答案】A【分析】轉(zhuǎn)化為直線l過圓心即2a【詳解】因?yàn)閳AC:x?2所以直線l過圓心2,3，即2a則1因?yàn)閍b>0，且2a+3所以12當(dāng)且僅當(dāng)3b2a則12.變式1．（23-24高二上·福建廈門·期中）若圓x2+y2?ax+2y+1=0與圓x2+A．x2+4xC．y2?2x【答案】A【分析】由圓與圓的對稱性可得a，再利用幾何關(guān)系，求點(diǎn)P的軌跡方程.【詳解】圓x2+y2?ax+2圓x2+y2=1由圓x2+y2?可知兩圓半徑相等且兩圓圓心連線的中點(diǎn)在直線y=x?1上，所以?經(jīng)檢驗(yàn)，a=2滿足題意，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為?2,2設(shè)圓心P為坐標(biāo)為x,y，則(x即圓心P的軌跡方程為y2.變式2．（23-24高三下·重慶·階段練習(xí)）過直線y=2x?1上的一點(diǎn)P作圓C:(x+2)2+A．22 B．23 C．4 【答案】A【分析】利用數(shù)形結(jié)合，結(jié)合對稱性，即可確定點(diǎn)P的位置，即可求解.【詳解】若直線l1,l2關(guān)于直線y=2則PC與y=2x?1垂直，所以PC等于圓心C即PC=變式3．（23-24高二下·云南昆明·期中）已知圓x2+y2+2A．?3 B．1 C．?1 D．3【答案】A【分析】求出圓心并將其代入直線x?【詳解】由x2+y則圓心坐標(biāo)為?1,2，又因?yàn)閳Ax2+y故由圓的對稱性可知：圓心?1,2在直線x?則t=.變式4．（23-24高三下·浙江寧波·階段練習(xí)）過直線y=3x上的點(diǎn)P作圓C:(x+2)2+(A．35,95 B．65,【答案】D【分析】根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系、兩直線的交點(diǎn)等知識求得正確答案.【詳解】圓C:(x直線l1,l2關(guān)于直線y=3所以直線CP的方程為y?4=?由x+3y?10=0y=3.變式5.（23-24高二上·貴州銅仁·期中）已知圓x2?4x+y2?2y【答案】92【分析】空1：由題意得直線2ax+y【詳解】圓x2?4x+y由題意得：直線2ax+y所以4a+b=2，又所以1a+1b=1此時(shí)直線方程為23x+故答案為：92；2變式6.（24-25高二上·上海·課后作業(yè)）已知圓x2+y2+2①圓x2+y2+2x?4y+1=0的圓心是?1,2；②圓【答案】①②③④【分析】根據(jù)圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得出圓心和半徑判斷①②，再根據(jù)直線過圓心得出③，再結(jié)合換元應(yīng)用二次函數(shù)值域判斷④即可.【詳解】對于①②，將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得(x+1)2+(對于③，由已知可得，直線2ax?by+2=0經(jīng)過圓心，所以2a對于④，由③知b=1?a，所以ab=a1?a=?故答案為：①②③④變式7.（23-24高二下·上?！て谥校┮阎本€l:2x+(1)求直線l與圓C相交所得的弦長；(2)求圓C關(guān)于直線l對稱所得的圓的方程．【答案】(1)8(2)x【分析】（1）根據(jù)題意，由點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合勾股定理代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由點(diǎn)關(guān)于直線對稱，即可得到圓心M的坐標(biāo)，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)直線l:2x+y?2=0因?yàn)閳AC:(x?1)2則圓心到直線l的距離為d=則AB=2所以直線l與圓C相交所得的弦長為85（2）設(shè)圓C關(guān)于直線l對稱所得的圓為圓M，由題意可得圓心C與圓心M關(guān)于直線l對稱，設(shè)圓心Mm,n，則n則M?35,6【題型6：點(diǎn)與圓有關(guān)的最值問題】例6．（23-24高二上·遼寧鞍山·期中）若點(diǎn)Px,y在圓x2+【答案】8?2【分析】利用(x?1)2+y2表示點(diǎn)(x,y【詳解】因?yàn)閤2+y圓心為(0,2)，半徑為3，又(x?1)2+y圓心(0,2)與點(diǎn)(1,0)的距離為5，所以點(diǎn)(x,y)與點(diǎn)故(x?1)2故答案為：8?215變式1.（23-24高三上·河南駐馬店·期末）若點(diǎn)Px,y是圓C:xA．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】根據(jù)圓外一定點(diǎn)到圓上一點(diǎn)距離的平方的幾何意義進(jìn)行求解即可.【詳解】圓C:x2+x2+y2表示點(diǎn)因?yàn)镃O=所以x2+y.變式2.（23-24高二上·山東泰安·期中）已知曲線x?1=4?yA．17+2，17?2 B．17C．37，17?2 D．37，【答案】C【分析】首先化簡題給條件x?1=4?y2，得到其為以【詳解】由x?1=4?y此方程表示的曲線為以A(1,0)則x2+y其最大值為PA+2，最小值為PB又B(1,2)，PB=1+4則x2+y?42變式3.（2024·山東棗莊·一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A?3,0,B1,0,A．34 B．40 C．44 D．48【答案】C【分析】借助點(diǎn)到直線的距離公式與圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)距離的最值計(jì)算即可得.【詳解】設(shè)Px,=2x即PA2+PB2等價(jià)于點(diǎn)又PQ≥即PA2.變式4.（23-24高二上·山東菏澤·階段練習(xí)）在Rt△AOB中，∠BOA=90°，OA=8，OB=6，點(diǎn)P為它的內(nèi)切圓C上任一點(diǎn)，求點(diǎn)P到頂點(diǎn)【答案】8872【分析】如圖所示，以O(shè)為原點(diǎn)，OA所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系xOy，然后表示出三角形內(nèi)切圓的方程，設(shè)Px【詳解】如圖所示，以O(shè)為原點(diǎn)，OA所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系xOy，則A8,0，B0,6，內(nèi)切C的半徑

∴圓心坐標(biāo)為2,2．∴內(nèi)切圓C的方程為x?2設(shè)Px則d=3x∵點(diǎn)Px,y在圓上，∴d=3×4?4∵點(diǎn)Px,y是圓C上的任意點(diǎn)，∴當(dāng)x=0時(shí)，dmax=88；當(dāng)x故答案為：88，72變式5.（22-23高二上·重慶·期末）已知圓心為C的圓經(jīng)過點(diǎn)A1,1和B2,?2，且圓心C在直線(1)求圓心為C的圓的一般方程；(2)已知P2,1，Q為圓C上的點(diǎn)，求PQ【答案】(1)x(2)最大值為34+5，最小值為【分析】（1）直接設(shè)圓心坐標(biāo)并建立CA=（2）利用圓的性質(zhì)及兩點(diǎn)坐標(biāo)公式計(jì)算即可.【詳解】（1）∵圓心C在直線l:x?y+1=0則CA2∴圓心C坐標(biāo)為C?3,?2，則圓C的方程為x其一般方程為x2（2）由（1）知圓C的方程為x+3∴PC2=2+3∴PQ的最大值為PC+r=變式6.（2023高二上·全國·專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程x?22+【答案】最大值為7+43，最小值為【分析】根據(jù)方程x?22+y2【詳解】方程x?22+x2又圓心到原點(diǎn)的距離為2?02所以x2+y2的最大值為即x2+y2的最大值為變式7.（23-24高二上·福建龍巖·期中）已知圓C的半徑為2，且圓心在直線y=x上，點(diǎn)A2,4在圓C上，點(diǎn)B(1)求圓C的圓心坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)D在圓C上，求BD的最大值與最小值.【答案】(1)4,4(2)最大值為25+2，最小值為【分析】（1）設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(x（2）先求圓外B點(diǎn)到圓心的距離d，則可知：d?【詳解】（1）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：C:由題意得：b=a(2?即：圓C的圓心坐標(biāo)：4,4.（2）由題意得:BC=所以：BC?2=2所以：BD最大值為：：25+2，最小值為：【方法技巧與總結(jié)】圓上的點(diǎn)到直接距離最值:1.把圓化成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程找出圓心和半徑r2.利用點(diǎn)到直線到距離公式求圓心到直線的距離3.判斷位置關(guān)系【題型7：直線與圓有關(guān)的最值問題】例7．（23-24高二下·山西呂梁·階段練習(xí)）已知P是圓O:x2A．0,22?1 C．0,22+1 【答案】A【分析】根據(jù)題意，得到l過定點(diǎn)Q2,?2，得到點(diǎn)P在圓O上，且OQ【詳解】因?yàn)橹本€(2+λ)x由2x?y?6=0x又因?yàn)辄c(diǎn)P在圓O上，且OQ=2又由圓O:x2+y當(dāng)OQ⊥l時(shí)，點(diǎn)P到l的距離最大，最大距離為22所以直線l的斜率為1，此時(shí)2+λ=1+λ當(dāng)直線l與圓O相交時(shí)，點(diǎn)P到l的距離最小，最小距離為0，故點(diǎn)P到l的距離的取值范圍為0,22.變式1．（2024·北京門頭溝·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，記d為點(diǎn)Pcosθ，sinθ到直線kx?A．2 B．3 C．4 D．6【答案】A【分析】由直線方程得到其過定點(diǎn)A(3,4)，而Pcosθ，sinθ可看成單位圓上的一點(diǎn)，故可將求點(diǎn)P【詳解】由直線l:kx?y?3而由Pcosθ，sinθ知，點(diǎn)于是求點(diǎn)Pcosθ，sin

如圖知當(dāng)直線l與圓相交時(shí)，Pcosθ，sinθ到直線要使點(diǎn)P到直線l距離最大，需使圓心O(0,0)到直線l又因直線l過定點(diǎn)A(3,4)，故當(dāng)且僅當(dāng)l⊥OA時(shí)距離最大，（若直線l與OA不垂直，則過點(diǎn)O作直線l此時(shí)|OA|=5，故點(diǎn)P到直線l距離的最大值為dmax=|OA.變式2.（23-24高二上·江蘇南京·開學(xué)考試）已知圓C：x?32+y?42=1，直線2x?y?12=0上點(diǎn)P，過點(diǎn)P作圓C的兩條切線PA【答案】19【分析】根據(jù)勾股定理可得PBmin【詳解】四邊形PACB的面積S=當(dāng)CP與直線垂直時(shí)，此時(shí)CP取最小值，故最小值為6?4?124+1又半徑r=1，所以PBmin=20?1=故答案為：19變式3．（23-24高二上·江蘇南京·開學(xué)考試）設(shè)圓C1：x2+y2?10x+4y+25=0與圓C2：x2+y2A．22+3 B．3?22 C．6【答案】D【分析】分析發(fā)現(xiàn)兩圓心C1和C2的連線恰好垂直于直線y=x+1，從而得出當(dāng)M與C【詳解】因?yàn)閳AC1：x2+圓C2：x2所以C1和C2的圓心坐標(biāo)分別為5,?2、3,0，半徑r1所以直線C1C2的斜率k所以直線C1C2所以當(dāng)M與C1和C2共線時(shí)最小，此時(shí)又此時(shí)MC1=所以MA+MB最小值為變式4．（多選）（23-24高二上·江蘇南京·開學(xué)考試）已知圓O:x2+yA．直線l1，lB．直線l1與圓OC．直線l2與圓O截得弦長為D．l【答案】ACD【分析】根據(jù)l1∥l2?A1【詳解】A．由?cos2θ?sinB．圓O:x2+y2=4的圓心為0,0，半徑為2，所以圓心到直線lC．直線l2到圓心的距離為0+0?1所以直線l2與圓O截得弦長為2D．∵sinθcosθCD．變式5．（24-25高三上·河北邢臺·開學(xué)考試）已知實(shí)數(shù)a,b滿足a2+b【答案】7【分析】依題意可得a?12+b+12=2，從而得到點(diǎn)a,b在圓x【詳解】因?yàn)閍2+b所以點(diǎn)a,b在圓x?12+又3?ba+1=?b?3a又?1?12+3+1由圖可知，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，b?3a??1取得最值，設(shè)過點(diǎn)P?1,3即kx?y+k+3=0，則d即b?3a??1的最大值為所以3?ba+1故答案為：7變式6．（2023·江西上饒·模擬預(yù)測）直線2x?sinθ+y【答案】2【分析】先求出圓心到直線的距離，再利用垂徑定理與勾股定理建立關(guān)系即可得到答案.【詳解】由已知，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+(y?圓心到直線2x?sinθ+y所以弦長為2r2?所以1≤54sin當(dāng)4sin2θ+1=5即故答案為：22變式7．（24-25高三上·北京·開學(xué)考試）已知直線x?y+m=0與圓C:x2+【答案】0（答案不唯一）【分析】根據(jù)題意，利用直線與圓的位置關(guān)系和圓的弦長公式，列出不等式，求得實(shí)數(shù)m取值范圍，進(jìn)而得到答案.【詳解】由圓C:x2+y因?yàn)橹本€x?y+m=0解得3?10又由“直線x?y+m=0可得“直線x?y+m=0則滿足2r2?d2可得d=?2?1+m12綜上可得，3?10<m即實(shí)數(shù)m的取值范圍為3?10所以一個(gè)實(shí)數(shù)m的為可以為0.故答案為：0（答案不唯一）.一、單選題1．（23-24高二下·湖北武漢·期中）若圓C的圓心為1,2，且被x軸截得弦長為4，則圓C的方程為（

）A．x2+yC．x2+y【答案】A【分析】根據(jù)題意作出圖形，利用垂徑定理可求得BD，繼而求出圓的半徑，寫出圓的方程.【詳解】

如圖，過點(diǎn)C作CD⊥AB于D，依題意，BD=12從而，圓的半徑為：BC=故所求圓的方程為：(x?1)2.2．（24-25高三上·江蘇南通·階段練習(xí)）已知直線ax+by+1=0與圓xA．與a有關(guān)，與b有關(guān) B．與a有關(guān)，與b無關(guān)C．與a無關(guān)，與b有關(guān) D．與a無關(guān)，與b無關(guān)【答案】A【分析】先求得圓的圓心坐標(biāo)為(?1,0)和半徑為1，結(jié)合題意圓心到直線的距離等于半徑，即?a【詳解】圓x+12+y2因?yàn)橹本€ax+by+1=0則圓心到直線的距離等于半徑，即?a化簡得a2?2a.3．（23-24高二下·河南·階段練習(xí)）若直線x+y+2=0與圓MA．2 B．4 C．22 【答案】D【分析】由圓心到直線的距離等于半徑列方程即可得解.【詳解】依題意，a+a+22=22故選:C.4．（2024·遼寧丹東·二模）過坐標(biāo)原點(diǎn)O作圓C:x2A．2 B．2 C．22 【答案】D【分析】由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程作出圓的圖形，易得切點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)之間距離公式計(jì)算即得.【詳解】

如圖，由圓C:所以切點(diǎn)為A2,0，B0,2，故.5．（2024·河南南陽·模擬預(yù)測）若圓C:(x?aA．12 B．1 C．32【答案】A【分析】由題設(shè)，將圓心坐標(biāo)代入直線方程即可求解.【詳解】由題意得圓心a,4a在直線則3a?4a.6．（23-24高三上·浙江嘉興·期末）已知直線l:3x+y?1=0與圓A．π2 B．2π3 C．3π4【答案】C【分析】求得圓心為O到直線l:【詳解】因?yàn)閳A心為O到直線l:3x所以AB=2r所以∠OAB=∠OBA=π7．（23-24高二上·廣東深圳·期末）若直線l:mx+ny?1=0圓xA．3 B．2 C．22 【答案】C【分析】原點(diǎn)O在圓上，到切線的最大距離等于圓的直徑.【詳解】圓x2+y2+2直線l:原點(diǎn)O在圓上，所以原點(diǎn)O到直線l距離的最大值為1+1=2.8．（23-24高二上·上?！て谀┮阎獔AC:x2+y2?2xA．?13 B．13 【答案】C【分析】圓心C(1,0)，半徑r=2，直線l恒過定點(diǎn)P(0,3)，當(dāng)直線l與PC垂直時(shí)，圓心C到直線【詳解】因?yàn)閳AC的方程為：x2+y所以圓心為C(1,0)，半徑r直線l:y=kx當(dāng)直線l與PC垂直時(shí)，圓心C到直線l的距離最大，由斜率公式得直線PC的斜率為：3?00?1由垂直關(guān)系的斜率公式得：k?(?3)=?1，解得k．二、多選題9．（24-25高二上·廣西·開學(xué)考試）對于直線l:m?2A．l過定點(diǎn)(2,3)B．C的半徑為9C．l與C可能相切D．l被C截得的弦長最小值為2【答案】CC【分析】根據(jù)含參直線方程求定點(diǎn)坐標(biāo)判斷A；把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程求得圓的半徑判斷B；判斷直線過的定點(diǎn)在圓內(nèi)判斷C；當(dāng)l與點(diǎn)2,3和圓心3,2的連線垂直時(shí)，l被C截得的弦長最小，計(jì)算可求弦長的最小值判斷D.【詳解】m?2x+由x?2=0?2x+y+1=0，得圓C:x2由(2?3)2+(3?2)2=2<9所以l與C相交，不會(huì)相切，故C不正確；當(dāng)l與點(diǎn)2,3和圓心3,2的連線垂直時(shí)，l被C截得的弦長最小.因?yàn)辄c(diǎn)2,3和圓心3,2連線的斜率為3?22?3=?1，所以?m此時(shí)l的方程為x?y+1=0，因?yàn)閳A心3,2到直線l所以弦長為29?C.10．（23-24高二下·福建廈門·期末）已知直線x+y?4=0與圓O：xA．1 B．2 C．3 D．4【答案】DD【分析】根據(jù)直線與圓相交或相切，則圓心到直線的距離d≤【詳解】圓x2+y2=由于直線x+y?4=0則?42≤r由于32D.11．（23-24高二