中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)題型訓(xùn)練專題03 觀察規(guī)律歸納型（解析版）

專題03觀察規(guī)律歸納型選題介紹本題型在河南省近十年的中招試卷中考了3次，分別為2022年第9題，2019年第10題，2016年第8題。該題一般為選擇題型，分值3分。本題計(jì)算量大，難度系數(shù)中等，得分率較低。本題屬于代數(shù)范疇，考察知識(shí)分為兩類，一、數(shù)字或字母規(guī)律，探索型問題；二、幾何圖形中規(guī)律探索型問題。通過觀察、歸納、類比等活動(dòng)獲得數(shù)學(xué)猜想，并能對(duì)所做出的猜想進(jìn)行驗(yàn)證，能進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的嚴(yán)密的邏輯論證，并有條理的表達(dá)自己的證明。根據(jù)已有的圖像與文字提供的信息，按照以下思維過程解體：①?gòu)奶厥馇闆r入手，探索發(fā)現(xiàn)規(guī)律，②綜合歸納猜想，得出結(jié)論，③驗(yàn)證結(jié)論。真題展現(xiàn)2022年河南中招填空題第9題9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF的中心與原點(diǎn)O重合，AB∥x軸，交y軸于點(diǎn)P，將△OAP繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°，則第2022次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（）A.（3，-1）B.（-1，-3）C.（?3，-1）D.（1，3【答案】B【解析】本題主要考察了歸納推理，平面直角坐標(biāo)系的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)?！驹斀狻拷猓骸哌呴L(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF的中心與原點(diǎn)O重合，∴OA=AB=2，∠BAO=60°，∵AB∥x軸，∴∠APO=90°，∴∠AOP=30°，∴AP=1,OP=3，∴A（1，3）∵將△OAP繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°，可知點(diǎn)A2與點(diǎn)D重合，由360°÷90°=4可知，每4次為一個(gè)循環(huán)，∴2022÷4=505........2，∴點(diǎn)A2022與點(diǎn)A2重合，∵點(diǎn)A2與點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，∴A2（-1，-3）∴第2022次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，-3）故答案為B【總結(jié)】因?yàn)轭}目規(guī)律的獲得在很大程度上依賴于不完全歸納，較難用數(shù)學(xué)語言精確說明歸納推理的過程，所以此類問題常以填空題或選擇題的形式考察。2019年河南中招填空題第10題10．如圖，在△OAB中，頂點(diǎn)O（0，0），A（﹣3，4），B（3，4），將△OAB與正方形ABCD組成的圖形繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°，則第70次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）（10，3） B．（﹣3，10） C．（10，﹣3） D．（3，﹣10）【答案】D【解析】先求出AB＝6，再利用正方形的性質(zhì)確定D（﹣3，10），由于70＝4×17+2，所以第70次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，相當(dāng)于△OAB與正方形ABCD組成的圖形繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)2次，每次旋轉(zhuǎn)90°，此時(shí)旋轉(zhuǎn)前后的點(diǎn)D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，于是利用關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征可出旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)D的坐標(biāo)．【詳解】解：∵A（﹣3，4），B（3，4），∴AB＝3+3＝6，∵四邊形ABCD為正方形，∴AD＝AB＝6，∴D（﹣3，10），∵70＝4×17+2，∴每4次一個(gè)循環(huán)，第70次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，相當(dāng)于△OAB與正方形ABCD組成的圖形繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)2次，每次旋轉(zhuǎn)90°，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，﹣10）．故選：D．【總結(jié)】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)：圖形或點(diǎn)旋轉(zhuǎn)之后要結(jié)合旋轉(zhuǎn)的角度和圖形的特殊性質(zhì)來求出旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)的坐標(biāo)．常見的是旋轉(zhuǎn)特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．2018年河南中招填空題第8題8．如圖，已知菱形OABC的頂點(diǎn)O（0，0），B（2，2），若菱形繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每秒旋轉(zhuǎn)45°，則第60秒時(shí)，菱形的對(duì)角線交點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）A．（1，﹣1）B．（﹣1，﹣1）C．（，0）D．（0，﹣）【答案】B【解析】本題主要考查坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)；菱形的性質(zhì)．根據(jù)菱形的性質(zhì)，可得D點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得D點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】解：菱形OABC的頂點(diǎn)O（0，0），B（2，2），得D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1）．每秒旋轉(zhuǎn)45°，則第60秒時(shí)，得45°×60=2700°，2700°÷360=7.5周，OD旋轉(zhuǎn)了7周半，菱形的對(duì)角線交點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣1，﹣1），故選：B．【總結(jié)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．模擬演練1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長(zhǎng)為1的正方形的兩邊在坐標(biāo)軸上，以它的對(duì)角線為邊作正方形，再以正方形的對(duì)角線為邊作正方形，以此類推、則正方形的頂點(diǎn)的坐標(biāo)是A．， B．， C． D．，【答案】D【解析】由圖形可知，，每一個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離依次是前一個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的倍，同時(shí)，各個(gè)點(diǎn)每次旋轉(zhuǎn)，則八次旋轉(zhuǎn)一周．頂點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，，頂點(diǎn)的恰好在軸的負(fù)半軸上，頂點(diǎn)的坐標(biāo)是，．故選：．【總結(jié)】本題主要考查了點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律探索，正確理解題意找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．2．如圖在平面直角坐標(biāo)系中，若干個(gè)半徑為2個(gè)單位長(zhǎng)度，圓心角為的扇形組成一條連續(xù)的曲線，點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，沿這條曲線向右上下起伏運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在直線上的速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)在弧線上的速度為每秒個(gè)單位長(zhǎng)度，則2019秒時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)第秒運(yùn)動(dòng)到為自然數(shù)）點(diǎn)，觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：，，，，，，，，，，，為，故選：．【總結(jié)】本題考查坐標(biāo)與圖形變化-平移、規(guī)律型問題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)探究規(guī)律的方法，屬于中考?？碱}型．3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，以點(diǎn)A為圓心，OA長(zhǎng)為半徑作圓，交x軸正半軸于點(diǎn)C，點(diǎn)D為上一動(dòng)點(diǎn)，連接BD，以BD為邊，在直線BD的上方作正方形BDEF，若點(diǎn)D從點(diǎn)O出發(fā)，按順時(shí)針方向以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在上運(yùn)動(dòng)，則第2022秒結(jié)束時(shí)，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】先根據(jù)點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)速度求出第2022秒結(jié)束時(shí)點(diǎn)D的位置，再證明，利用全等三角形的性質(zhì)求出FG，OG的長(zhǎng)度，即可求解．【詳解】解：∵，∴，∴的周長(zhǎng)為．，，∴第2022秒結(jié)束時(shí)和第6秒結(jié)束時(shí)，點(diǎn)D的位置相同，正方形BDEF的位置相同．∵，∴點(diǎn)D在x軸下方的圓弧上，且的長(zhǎng)為．連接AD，過點(diǎn)F作x軸的垂線，垂足為G，如下圖所示．設(shè)，則，∴．即．∵，∴．又∵，∴．又∵∴．∴．∴，∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為，故選A．【總結(jié)】本題考查點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律、正方形的性質(zhì)、弧長(zhǎng)的計(jì)算、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)速度求出第2022秒結(jié)束時(shí)點(diǎn)D的位置．4.如圖所示，在中，頂點(diǎn)，，．將與正方形ABCD組成的圖形繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°，則第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（）A.（6，2） B.（﹣2，6） C.（6，﹣2） D.（6，﹣2）【答案】A【解析】先求出BC，再利用正方形的性質(zhì)確定A點(diǎn)坐標(biāo)，由于2020=4×505，所以第2020次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，正方形ABCD回到初始位置，再繼續(xù)旋轉(zhuǎn)3次即可確定結(jié)果．【詳解】解：如圖，∵，，∴，∵四邊形ABCD為正方形，∴，∴．∵每次旋轉(zhuǎn)90°，∴4次為一個(gè)循環(huán)，∵，∴第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)與第3次旋轉(zhuǎn)后的落點(diǎn)相同，如圖，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為（6，2）．故選A．【總結(jié)】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)，正方形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是找出A點(diǎn)坐標(biāo)變化的規(guī)律．5.如圖，小圓的半徑為1，，，，…，依次為同心圓的內(nèi)接正三角形和外切正三角形，由弦和弧圍成的弓形面積記為，由弦和弧圍成的弓形面積記為，…，以此下去，由弦和弧圍成的弓形面積記為，其中的面積為__________．【答案】；【解析】根據(jù)正三角形和圓的關(guān)系可依次求出弓形面積，再根據(jù)弓形面積尋找規(guī)律即可得結(jié)論，【詳解】解：如圖所示，連接，，作OD⊥于點(diǎn)D，則，∵是等邊三角形，∴，∵是圓心角，∴，∵，∴，∴，∴，∵OD⊥于點(diǎn)D，，∴，∴，∴，，，，，∴；故答案：；【總結(jié)】本題考查了正多邊形和圓、垂徑定理、三角形的外接圓與外心、扇形面積的計(jì)算、規(guī)律型,解決本題的關(guān)鍵是通過計(jì)算性質(zhì)規(guī)律.6．如圖所示，正方形的邊長(zhǎng)為2，其面積標(biāo)記為，以為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標(biāo)記為……按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則的值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理以及三角形的面積公式可得出部分、、、的值，根據(jù)面積的變化即可找出變化規(guī)律“”，依此規(guī)律即可解決問題．【詳解】解：如圖所示，是等腰直角三角形，，，，，即等腰直角三角形的直角邊為斜邊的倍，，，，，，，，故選：B．【總結(jié)】本題考查了勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)、正方形的面積以及規(guī)律型中數(shù)字的變化類，根據(jù)面積的變化找出變化規(guī)律“”是解題的關(guān)鍵．7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0，2），以O(shè)A為邊在右側(cè)作等邊三角形，過點(diǎn)作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)，以為邊在右側(cè)作等邊三角形，再過點(diǎn)作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)，以為邊在右側(cè)作等邊三角形……按此規(guī)律繼續(xù)作下去，得到等邊三角形，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0，2），以O(shè)A為邊在右側(cè)作等邊三角形，過點(diǎn)作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)，得點(diǎn)的縱坐標(biāo)是2×；根據(jù)以為邊在右側(cè)作等邊三角形，過點(diǎn)作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)，得點(diǎn)的縱坐標(biāo)是2×；以此類推，得點(diǎn)的縱坐標(biāo)是，從而得到答案．【詳解】解：∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0，2），以O(shè)A為邊在右側(cè)作等邊三角形，過點(diǎn)作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)，∴∠=90°-60°=30°，=OA=2，∴＝＝2×，即點(diǎn)的縱坐標(biāo)是2×，以為邊在右側(cè)作等邊三角形，過點(diǎn)作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)，∴∠=90°-60°=30°，＝＝2×，∴＝＝2××，點(diǎn)的縱坐標(biāo)是2××，即2×()2，以為邊在右側(cè)作等邊三角形，同理，得點(diǎn)的縱坐標(biāo)是2×，按此規(guī)律繼續(xù)作下去，得點(diǎn)的縱坐標(biāo)是2×，即，故選：C．【總結(jié)】本題考查了圖形和數(shù)字規(guī)律的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握直角坐標(biāo)系、等邊三角形、垂線、圖形和數(shù)字規(guī)律、含30°角的直角三角形的性質(zhì)，從而完成求解．8．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，將點(diǎn)向上平移1個(gè)單位，再向右平移2個(gè)單位，得到點(diǎn)；將點(diǎn)向上平移2個(gè)單位，再向右平移4個(gè)單位，得到點(diǎn)；將點(diǎn)向上平移4個(gè)單位，再向右平移8個(gè)單位，得到點(diǎn)，按照這個(gè)規(guī)律，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】先求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再?gòu)奶厥獾揭话闾骄砍鲆?guī)律，然后利用規(guī)律即可解決問題．【詳解】解：點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐為標(biāo)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，按這個(gè)規(guī)律平移得到點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，故選B．【總結(jié)】本題考查坐標(biāo)與圖形變化-平移、規(guī)律型問題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)探究規(guī)律的方法，屬于中考?？碱}型．9．如下圖，動(dòng)點(diǎn)P在平面直角坐標(biāo)系中按圖中箭頭所示方向運(yùn)動(dòng)，第1次從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)（1，1），第2次接著運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)（2，0），第3次接著運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)（3，2），…，按這樣的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，經(jīng)過第2019次運(yùn)動(dòng)后，動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（

）A．（2019，1） B．（2019，0） C．（2019，2） D．（2019，0）【答案】C【解析】根據(jù)已知提供的數(shù)據(jù)從橫縱坐標(biāo)分別分析得出橫坐標(biāo)為運(yùn)動(dòng)次數(shù)，縱坐標(biāo)為1，0，2，0，每4次一輪這一規(guī)律，進(jìn)而求出即可．【詳解】根據(jù)動(dòng)點(diǎn)P在平面直角坐標(biāo)系中按圖中箭頭所示方向運(yùn)動(dòng)，第1次從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)(1,1)，第2次接著運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)(2，0)，第3次接著運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)(3，2)，∴第4次運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)(4，0)，第5次接著運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)(5，1)，…，∴橫坐標(biāo)為運(yùn)動(dòng)次數(shù)，經(jīng)過第2019次運(yùn)動(dòng)后，動(dòng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2019，縱坐標(biāo)為1，0，2，0，每4次一輪，∴經(jīng)過第2019次運(yùn)動(dòng)后，動(dòng)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為：2019÷4=504余3，故縱坐標(biāo)為四個(gè)數(shù)中第三個(gè)，即為2，∴經(jīng)過第2019次運(yùn)動(dòng)后，動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)是：(2019，2)，故選：C．【總結(jié)】此題主要考查坐標(biāo)的變化，解題的關(guān)鍵是熟知坐標(biāo)變化的規(guī)律．10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，由跳動(dòng)至點(diǎn)，依次跳動(dòng)至點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)…根據(jù)這個(gè)規(guī)律，則點(diǎn)的坐標(biāo)是（