中考數(shù)學二輪復習講練測題型九 二次函數(shù)綜合題 類型八 二次函數(shù)與平行四邊形有關的問題（專題訓練）（解析版）

題型九二次函數(shù)綜合題類型八二次函數(shù)與平行四邊形有關的問題（專題訓練）1.（2021·四川南充市·中考真題）如圖，已知拋物線與x軸交于點A（1，0）和B，與y軸交于點C，對稱軸為．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，若點P是線段BC上的一個動點（不與點B，C重合），過點P作y軸的平行線交拋物線于點Q，連接OQ．當線段PQ長度最大時，判斷四邊形OCPQ的形狀并說明理由．（3）如圖2，在（2）的條件下，D是OC的中點，過點Q的直線與拋物線交于點E，且．在y軸上是否存在點F，使得為等腰三角形？若存在，求點F的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）四邊形OCPQ是平行四邊形，理由見詳解；（3）（0，）或（0，1）或（0，-1）【分析】（1）設拋物線，根據(jù)待定系數(shù)法，即可求解；（2）先求出直線BC的解析式為：y=-x+4，設P（x，-x+4），則Q（x，），（0≤x≤4），得到PQ=，從而求出線段PQ長度最大值，進而即可得到結論；（3）過點Q作QM⊥y軸，過點Q作QN∥y軸，過點E作EN∥x軸，交于點N，推出，從而得，進而求出E（5，4），設F（0，y），分三種情況討論，即可求解．【詳解】解：（1）∵拋物線與x軸交于點A（1，0）和B，與y軸交于點C，對稱軸為直線，∴B（4，0），C（0，4），設拋物線，把C（0，4）代入得：，解得：a=1，∴拋物線的解析式為：；（2）∵B（4，0），C（0，4），∴直線BC的解析式為：y=-x+4，設P（x，-x+4），則Q（x，），（0≤x≤4），∴PQ=-x+4-()==，∴當x=2時，線段PQ長度最大=4，∴此時，PQ=CO，又∵PQ∥CO，∴四邊形OCPQ是平行四邊形；（3）過點Q作QM⊥y軸，過點Q作QN∥y軸，過點E作EN∥x軸，交于點N，由（2）得：Q（2，-2），∵D是OC的中點，∴D（0，2），∵QN∥y軸，∴，又∵，∴，∴，∴，即：，設E（x，），則，解得：，（舍去），∴E（5，4），設F（0，y），則，，，①當BF=EF時，，解得：，②當BF=BE時，，解得：或，③當EF=BE時，，無解，綜上所述：點F的坐標為：（0，）或（0，1）或（0，-1）．．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)與平面幾何的綜合，掌握二次函數(shù)的性質以及圖像上點的坐標特征，添加輔助線，構造直角三角形，是解題的關鍵．2.（2021·重慶中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于點，，與y軸交于點C．（1）求該拋物線的解析式；（2）直線l為該拋物線的對稱軸，點D與點C關于直線l對稱，點P為直線AD下方拋物線上一動點，連接PA，PD，求面積的最大值；（3）在（2）的條件下，將拋物線沿射線AD平移個單位，得到新的拋物線，點E為點P的對應點，點F為的對稱軸上任意一點，在上確定一點G，使得以點D，E，F(xiàn)，G為頂點的四邊形是平行四邊形，寫出所有符合條件的點G的坐標，并任選其中一個點的坐標，寫出求解過程．【答案】（1）y=x2-3x-4；（2）8；（3）或或，過程見解析【分析】（1）將，的坐標代入函數(shù)式利用待定系數(shù)法求解即可；（2）先得出拋物線的對稱軸，作PE∥y軸交直線AD于E，設P（m，m2-3m-4），用m表示出△APD的面積即可求出最大面積；

（3）通過平移距離為，轉化為向右平移4個單位，再向下平移4個單位，根據(jù)平移變化得出平移后的拋物線關系式和E的坐標，分DE為對角線、EG為對角線、EF為對角線三種情況進行討論即可．【詳解】解：（1）將A（-1，0），B（4，0）代入y=ax2+bx-4得，解得：，∴該拋物線的解析式為y=x2-3x-4，（2）把x=0代入y=x2-3x-4中得：y=-4，

∴C（0，-4），拋物線y=x2-3x-4的對稱軸l為

∵點D與點C關于直線l對稱，

∴D（3，-4），

∵A（-1，0），設直線AD的解析式為y=kx+b；

∴，解得：，∴直線AD的函數(shù)關系式為：y=-x-1，

設P（m，m2-3m-4），

作PE∥y軸交直線AD于E，

∴E（m，-m-1），

∴PE=-m-1-（m2-3m-4）=-m2+2m+3，∴，∴，∴當m=1時，的面積最大，最大值為：8（3）∵直線AD的函數(shù)關系式為：y=-x-1，∴直線AD與x軸正方向夾角為45°，∴拋物線沿射線AD方向平移平移個單位，相當于將拋物線向右平移4個單位，再向下平移4個單位，∵，，平移后的坐標分別為（3，-4），（8，-4），

設平移后的拋物線的解析式為則，解得：，∴平移后y1=x2-11x+20，∴拋物線y1的對稱軸為：，∵P（1，-6），

∴E（5，-10），∵以點D，E，F(xiàn)，G為頂點的四邊形是平行四邊形，分三種情況：設G（n，n2-11n+20），F(xiàn)（，y），①當DE為對角線時，平行四邊形的對角線互相平分∴，∴∴②當EF為對角線時，平行四邊形的對角線互相平分∴，∴∴③當EG為對角線時，平行四邊形的對角線互相平分∴，∴∴∴或或【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)關系式和最值問題，求三角形的面積，以及平移的性質和平行四邊形的性質，注意分類討論的數(shù)學思想．3.（2022·四川眉山）在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點，（點在點的左側），與軸交于點，且點的坐標為．(1)求點的坐標；(2)如圖1，若點是第二象限內拋物線上一動點，求點到直線距離的最大值；(3)如圖2，若點是拋物線上一點，點是拋物線對稱軸上一點，是否存在點使以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)最大為(3)存在，的坐標為或（3，-16）或【分析】（1）把點A的坐標代入，求出c的值即可；（2）過作于點，過點作軸交于點，證明是等腰直角三角形，得，當最大時，最大，，運用待定系數(shù)法求直線解析式為，設，，則，求得PH，再根據(jù)二次函數(shù)的性質求解即可；（3）分①當AC為平行四邊形ANMC的邊，②當AC為平行四邊形AMNC的邊，③當AC為對角線三種情況討論求解即可．(1)（1）∵點在拋物線的圖象上，∴∴，∴點的坐標為；(2)過作于點，過點作軸交于點，如圖：∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵軸，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴當最大時，最大，設直線解析式為，將代入得，∴，∴直線解析式為，設，，則，∴，∵，∴當時，最大為，∴此時最大為，即點到直線的距離值最大；(3)存在．∵∴拋物線的對稱軸為直線，設點N的坐標為（-2，m），點M的坐標為（x，）分三種情況：①當AC為平行四邊形ANMC的邊時，如圖，∵A（-5，0），C（0，5），∴，即解得，x=3.∴∴點M的坐標為（3，-16）②當AC為平行四邊形AMNC的邊長時，如圖，方法同①可得，，∴∴點M的坐標為（-7，-16）；③當AC為對角線時，如圖，∵A（-5，0），C（0，5），∴線段AC的中點H的坐標為，即H（）∴，解得，。∴∴點M的坐標為（-3，8）綜上，點的坐標為：或（3，-16）或．【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，其中涉及到二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，二次函數(shù)圖象與幾何變換，二次函數(shù)的性質，平行四邊形的判定與性質．熟知幾何圖形的性質利用數(shù)形結合是解題的關鍵．4.（2021·重慶中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過A（0，﹣1），B（4，1）．直線AB交x軸于點C，P是直線AB下方拋物線上的一個動點．過點P作PD⊥AB，垂足為D，PE∥x軸，交AB于點E．（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）當△PDE的周長取得最大值時，求點P的坐標和△PDE周長的最大值；（3）把拋物線平移，使得新拋物線的頂點為（2）中求得的點P．M是新拋物線上一點，N是新拋物線對稱軸上一點，直接寫出所有使得以點A，B，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形的點M的坐標，并把求其中一個點M的坐標的過程寫出來．【答案】（1）；（2）t=2時，△PDE周長取得最大值，最大值為，點P的坐標為（2，﹣4）；（3）滿足條件的點M的坐標有（2，﹣4），（6，12），（﹣2，12），過程見解析【分析】（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)表達式即可；（2）先求出直線AB的函數(shù)表達式和點C坐標，設P，其中0<t<4，則E，證明△PDE∽△AOC，根據(jù)周長之比等于相似比可得，根據(jù)二次函數(shù)求最值的方法求解即可；（3）分以下情況①若AB是平行四邊形的對角線；②若AB是平行四邊形的邊，1）當MN∥AB時；2）當NM∥AB時，利用平行四邊形的性質分別進行求解即可．【詳解】解（1）∵拋物線經(jīng)過點A（0，﹣1），點B（4，1），∴，解得，∴該拋物線的函數(shù)表達式為；（2）∵A（0，-1），B（4，1），∴直線AB的函數(shù)表達式為，∴C（2，0），設P，其中0<t<4，∵點E在直線上，PE∥x軸，∴E，∠OCA=∠DEP，∴PE=，∵PD⊥AB，∴∠EDP=∠COA，∴△PDE∽△AOC，∵AO=1，OC=2，∴AC=，∴△AOC的周長為3+，令△PDE的周長為l，則，∴，∴當t=2時，△PDE周長取得最大值，最大值為，此時點P的坐標為（2，﹣4），（3）如圖所示，滿足條件的點M的坐標有（2，﹣4），（6，12），（﹣2，12）．由題意可知，平移后拋物線的函數(shù)表達式為，對稱軸為直線．①若AB是平行四邊形的對角線，當MN與AB互相平分時，四邊形ANBM是平行四邊形，即MN經(jīng)過AB的中點C（2，0），∵點N的橫坐標為2，∴點M的橫坐標為2，∴點M的坐標為（2，-4）；②若AB是平行四邊形的邊，1）MN∥AB時，四邊形ABNM是平行四邊形，∵A（0，-1），B（4，1），點N的橫坐標為2，∴點M的橫坐標為2﹣4=﹣2，∴點M的坐標為（﹣2，12）；2）當NM∥AB時，四邊形ABMN是平行四邊形，∵A（0，-1），B（4，1），點N的橫坐標為2，∴點M的橫坐標為2+4=6，∴點M的坐標為（6，12），綜上，滿足條件的點M的坐標有（2，﹣4），（6，12），（﹣2，12）．【點睛】本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)的表達式、相似三角形的判定與性質、求二次函數(shù)的最值、平行四邊形的性質等知識，解答的關鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質，運用平行四邊形的性質，結合數(shù)形結合和分類討論的思想方法進行探究、推導和計算．5.（2021·湖北中考真題）拋物線交軸于，兩點（在的左邊）．（1）的頂點在軸的正半軸上，頂點在軸右側的拋物線上．①如圖（1），若點的坐標是，點的橫坐標是，直接寫出點，的坐標；②如圖（2），若點在拋物線上，且的面積是12，求點的坐標；（2）如圖（3），是原點關于拋物線頂點的對稱點，不平行軸的直線分別交線段，（不含端點）于，兩點，若直線與拋物線只有一個公共點，求證的值是定值．【答案】（1）①，；②點的坐標是．（2）見解析【分析】（1）①根據(jù)函數(shù)圖象與x軸的交點，令y=0，求出，點E在拋物線上，求出縱坐標為，再根據(jù)平行四邊形的性質，求出；②連，過點作軸垂線，垂足為，過點作，垂足為，設點坐標為，點坐標為，根據(jù)平行四邊形的性質，與點在拋物線上，得到，再由則，列出方程求解；（2）方法一：先求出G、H兩點的橫坐標，再利用求解即可；方法二：先用待定系數(shù)法求出直線與直線l的表達式，根據(jù)直線l與拋物線有唯一的交點，求出點坐標為，點坐標為，再求出結果．【詳解】（1）解：①∵拋物線交軸于，兩點（在的左邊），∴令=0，解得：，，∴，∵點E在拋物線上，點的橫坐標是，∴，∵四邊形ACDE是平行四邊形，∴∴；②設點坐標為，點坐標為．∵四邊形是平行四邊形，∴將沿平移可與重合，點坐標為．∵點在拋物線上，∴．解得，，所以．連，過點作軸垂線，垂足為，過點作，垂足為．則，∵，，∴．∴，解得，（不合題意，舍去）．∴點的坐標是．（2）方法一：證明：依題意，得，，∴設直線解析式為，則，解得．∴直線的解析式為．同理，直線的解析式為．設直線的解析式為．聯(lián)立，消去得．∵直線與拋物線只有一個公共點，∴，．聯(lián)立，且，解得，，同理，得．∵，兩點關于軸對稱，∴．∴．∴的值為．方法二：證明：同方法一得直線的解析式為．設直線的解析式為，與拋物線唯一公共點為．聯(lián)立，消去得，∴．解得．∴直線的解析式為．聯(lián)立，且，解得．∴點坐標為．同理，點坐標為．∵，∴．∴的值為．【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查二次函數(shù)、一次函數(shù)、三角形面積、方程組等知識點，解題的關鍵是學會利用參數(shù)，學會用方程組求兩個函數(shù)圖象的交點坐標，學會把問題轉化為方程解決，屬于壓軸題．6.（2021·廣東中考真題）已知二次函數(shù)的圖象過點，且對任意實數(shù)x，都有．（1）求該二次函數(shù)的解析式；（2）若（1）中二次函數(shù)圖象與x軸的正半軸交點為A，與y軸交點為C；點M是（1）中二次函數(shù)圖象上的動點．問在x軸上是否存在點N，使得以A、C、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形．若存在，求出所有滿足條件的點N的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）存在，或或或【分析】（1）令，解得，可得函數(shù)必過，再結合必過得出，，即可得到，再根據(jù)，可看成二次函數(shù)與一次函數(shù)僅有一個交點，且整體位于的上方，可得，有兩個相等的實數(shù)根，再根據(jù)，可解得的值，即可求出二次函數(shù)解析式．（2）結合（1）求出點C的坐標，設，①當為對角線時，②當為對角線時，③當為對角線時,根據(jù)中點坐標公式分別列出方程組，解方程組即可得到答案．【詳解】解：（1）令，解得，當時，，∴必過，又∵必過，∴，∴，即，即可看成二次函數(shù)與一次函數(shù)僅有一個交點，且整體位于的上方∴，有兩個相等的實數(shù)根∴，∴，∴，∴，，∴．（2）由（1）可知：，，設，①當為對角線時，∴，解得（舍），，∴，即．②當為對角線時，∴，解得（舍），∴，即．③當為對角線時，∴，解得，∴或，∴．綜上所述：N點坐標為或或或．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應用，涉及到二次函數(shù)與不等式組，考查了平行四邊形的存在性問題，利用中點公式，分類討論是解題關鍵．7.（2021·四川中考真題）如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，，．（1）求拋物線的解析式；（2）在第二象限內的拋物線上確定一點P，使四邊形PBAC的面積最大．求出點P的坐標（3）在（2）的結論下，點M為x軸上一動點，拋物線上是否存在一點Q．使點P、B、M、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在．請直接寫出Q點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）（，）；（3）（，）或（，）或（，）【分析】（1）根據(jù)OB=OC=3OA，AC=，利用勾股定理求出OA，可得OB和OC，得到A，B，C的坐標，利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；（2）判斷出四邊形BACP的面積最大時，△BPC的最大面積，過點P作y軸的平行線交BC于點H，求出直線BC的表達式，設點P（x，-x2-2x+3），利用三角形面積公式S△BPC=，即可求出S△BPC面積最小時點P的坐標；（3）分類討論，一是當BP為平行四邊形對角線時，二是當BP為平行四邊形一邊時，利用平移規(guī)律即可求出點Q的坐標．【詳解】解：（1）∵OB=OC=3OA，AC=，∴，即，解得：OA=1，OC=OB=3，∴A（1，0），B（-3，0），C（0，3），代入中，則，解得：，∴拋物線的解析式為；（2）如圖，四邊形PBAC的面積=△BCA的面積+△PBC的面積，而△ABC的面積是定值，故四邊形PBAC的面積最大，只需要△BPC的最大面積即可，過點P作y軸的平行線交BC于點H，∵B（-3，0），C（0，3），設直線BC的表達式為y=mx+n，則，解得：，∴直線BC的表達式為y=x+3，設點P（x，-x2-2x+3），則點H（x，x+3），S△BPC===，∵，故S有最大值，即四邊形PBAC的面積有最大值，此時x=，代入得，∴P（，）；（3）若BP為平行四邊形的對角線，則PQ∥BM，PQ=BM，則P、Q關于直線x=-1對稱，∴Q（，）；若BP為平行四邊形的邊，如圖，QP∥BM，QP=BM，同上可得：Q（，）；如圖，BQ∥PM，BQ=PM，∵點Q的縱坐標為，代入中，解得：或（舍），∴點Q的坐標為（，）；如圖，BP∥QM，BP=QM，∵點Q的縱坐標為，代入中，解得：（舍）或，∴點Q的坐標為（，）；綜上：點Q的坐標為（，）或（，）或（，）．【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的有關性質、一次函數(shù)的性質、平行四邊形的性質，熟練掌握二次函數(shù)的性質是解題的關鍵．8.（2021·湖南中考真題）將拋物線向左平移1個單位，再向上平移4個單位后，得到拋物線．拋物線與軸交于點，，與軸交于點．已知，點是拋物線上的一個動點．

（1）求拋物線的表達式；（2）如圖1，點在線段上方的拋物線上運動（不與，重合），過點作，垂足為，交于點．作，垂足為，求的面積的最大值；（3）如圖2，點是拋物線的對稱軸上的一個動點，在拋物線上，是否存在點，使得以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出所有符合條件的點的坐標；若不存在，說明理由．【答案】（1）；（2）的面積最大值為；（3）點的坐標為或或．【分析】（1）由題意易得平移后的拋物線的表達式為，然后把點A的坐標代入求解即可；（2）由（1）及題意易得，則有△AOC是等腰直角三角形，∠CAO=∠ACO=45°，進而可得直線AC的解析式為，設點，則，然后可得△AED和△PEF都為等腰直角三角形，過點F作FT⊥PD于點，則有，由三角形面積公式可得，要使面積最大則PE的值為最大即可，最后問題可求解；（3）由題意可知當以點A、P、C、Q為頂點的四邊形是平行四邊形時，則可分①當以AC為平行四邊形的邊時，②當以AC為平行四邊形的對角線時，然后利用等腰直角三角形、平行四邊形的性質及中點坐標公式分類進行求解即可．【詳解】解：（1）由題意得：平移后的拋物線的表達式為，則把點代入得：，解得：，∴拋物線的表達式為，即為；（2）由（1）可得拋物線的表達式為，則有，∴，∴△AOC是等腰直角三角形，∴∠CAO=∠ACO=45°，∵，∴∠AED=∠CAO=45°，∴∠AED=∠PEF=45°，∵，∴△PEF是等腰直角三角形，過點F作FT⊥PD于點，如圖所示：

∴，∴，∴要使面積最大則PE的值為最大即可，設直線AC的解析式為，代入點A、C的坐標得：，解得：，∴直線AC的解析式為，設點，則，∴，∵-1＜0，開口向下，∴當時，PE有最大值，即為，∴△PEF面積的最大值為；（3）存在以點A、P、C、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，理由如下：由（2）可得，，∠CAO=∠ACO=45°，拋物線的對稱軸為直線，∴，∠CAO=∠ADQ=45°，①當以AC為平行四邊形的邊時，如圖所示：

過點P作PG⊥l于點G，∵四邊形APQC是平行四邊形，∴，AC∥PQ，∴∠ADQ=∠PQG=45°，∴△PQG是等腰直角三角形，∴，∴點P的橫坐標為-4，∴；②當以AC為平行四邊形的邊時，如圖所示：

同理①可得點P的橫坐標為2，∴；③當以AC為平行四邊形的對角線時，如圖所示：

∵四邊形AQCP是平行四邊形，∴，設點，∴由中點坐標公式可得：，∴，∴；綜上所述：當以點A、P、C、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，點的坐標為或或．【點睛】本題主要考查平行四邊形的性質、二次函數(shù)的綜合及等腰直角三角形的性質與判定，熟練掌握平行四邊形的性質、二次函數(shù)的綜合及等腰直角三角形的性質與判定是解題的關鍵．9.（2021·海南中考真題）已知拋物線與x軸交于兩點，與y軸交于C點，且點A的坐標為、點C的坐標為．

（1）求該拋物線的函數(shù)表達式；（2）如圖1，若該拋物線的頂點為P，求的面積；（3）如圖2，有兩動點在的邊上運動，速度均為每秒1個單位長度，它們分別從點C和點B同時出發(fā)，點D沿折線按方向向終點B運動，點E沿線段按方向向終點C運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動．設運動時間為t秒，請解答下列問題：①當t為何值時，的面積等于；②在點運動過程中，該拋物線上存在點F，使得依次連接得到的四邊形是平行四邊形，請直接寫出所有符合條件的點F的坐標．【答案】（1）；（2）的面積為；（3）①當或時，；②點F的坐標為或．【分析】（1）直接將兩點坐標代入解析式中求出a和c的值即可；（2）先求出頂點和B點坐標，再利用割補法，將所求三角形面積轉化為與其相關的圖形的面積的和差關系即可，如圖，；（3）①先求出BC的長和E點坐標，再分兩種情況討論，當點D在線段上運動時的情況和當點D在線段上運動情況，利用面積已知得到關于t的一元二次方程，解t即可；②分別討論當點D在線段上運動時的情況和當點D在線段上的情況，利用平行四邊形的性質和平移的知識表示出F點的坐標，再代入拋物線解析式中計算即可．【詳解】（1）∵拋物線經(jīng)過兩點，解得該地物線的函數(shù)表達式為（2）∵拋物線，∴拋物線的頂點P的坐標為．，令，解得：，點的坐標為．如圖4-1，連接，則的面積為．（3）①∵在中，．當動點E運動到終點C時，另一個動點D也停止運動．，∴在中，．當運動時間為t秒時，，如圖4-2，過點E作軸，垂足為N，則．．．∴點E的坐標為．下面分兩種情形討論：i．當點D在線段上運動時，．此時，點D的坐標為．當時，．解得（舍去），．．ii．如圖4-3，當點D在線段上運動時，，．．當時，解得．又，．綜上所述，當或時，②如圖4-4，當點D在線段上運動時，；∵，當四邊形ADFE為平行四邊形時，AE可通過平移得到EF，∵A到D橫坐標加1，縱坐標加，∴，∴，化簡得：，∴，∴，∴;如圖4-5，當點D在線段上運動時，AE可通過平移得到EF，∵，∵A到D橫坐標加，縱坐標不變，∴，∴∴，因為，∴，∴，綜上可得，F(xiàn)點的坐標為或．【點睛】本題綜合考查了拋物線的圖像與性質、相似三角形的判定與性質、已知頂點坐標求三角形面積、平行四邊形的判定與性質、平移的性質、勾股定理等內容，解決本題的關鍵是牢記相關概念與公式，本題對學生的綜合思維能力、分析能力以及對學生的計算能力都要求較高，考查了學生利用平面直角坐標系解決問題的能力，本題蘊含了數(shù)形結合與分類討論的思想方法等．10.（2020?齊齊哈爾）綜合與探究在平面直角坐標系中，拋物線y=12x2+bx+c經(jīng)過點A（﹣4，0），點M為拋物線的頂點，點B在y軸上，且OA＝OB，直線AB與拋物線在第一象限交于點C（2，6），如圖求拋物線的解析式；（2）直線AB的函數(shù)解析式為，點M的坐標為），cos∠ABO＝；連接OC，若過點O的直線交線段AC于點P，將△AOC的面積分成1：2的兩部分，則點P的坐標為；（3）在y軸上找一點Q，使得△AMQ的周長最?。唧w作法如圖②，作點A關于y軸的對稱點A'，連接MA'交y軸于點Q，連接AM、AQ，此時△AMQ的周長最?。埱蟪鳇cQ的坐標；（4）在坐標平面內是否存在點N，使以點A、O、C、N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．【分析】（1）將點A、C的坐標代入拋物線表達式即可求解；（2）點A（﹣4，0），OB＝OA＝4，故點B（0，4），即可求出AB的表達式；OP將△AOC的面積分成1：2的兩部分，則AP=13AC或（3）△AMQ的周長＝AM+AQ+MQ＝AM+A′M最小，即可求解；（4）分AC是邊、AC是對角線兩種情況，分別求解即可．【解析】（1）將點A、C的坐標代入拋物線表達式得：12×16?4b+c=01故直線AB的表達式為：y=12x（2）點A（﹣4，0），OB＝OA＝4，故點B（0，4），由點A、B的坐標得，直線AB的表達式為：y＝x+4；則∠ABO＝45°，故cos∠ABO=2對于y=12xOP將△AOC的面積分成1：2的兩部分，則AP=13AC或則yPyC=1故點P（﹣2，2）或（0，4）；故答案為：y＝x+4；（﹣2，﹣2）；22（3）△AMQ的周長＝AM+AQ+MQ＝AM+A′M最小，點A′（4，0），設直線A′M的表達式為：y＝kx+b，則4k+b=0?2k+b=?2，解得k=故直線A′M的表達式為：y=13x令x＝0，則y=?43，故點Q（0，（4）存在，理由：設點N（m，n），而點A、C、O的坐標分別為（﹣4，0）、（2，6）、（0，0），①當AC是邊時，點A向右平移6個單位向上平移6個單位得到點C，同樣點O（N）右平移6個單位向上平移6個單位得到點N（O），即0±6＝m，0±6＝n，解得：m＝n＝±6，故點N（6，6）或（﹣6，﹣6）；②當AC是對角線時，由中點公式得：﹣4+2＝m+0，6+0＝n+0，解得：m＝﹣2，n＝6，故點N（﹣2，6）；綜上，點N的坐標為（6，6）或（﹣6，﹣6）或（﹣2，6）．11.（2020?蘇州）如圖，二次函數(shù)y＝x2+bx的圖象與x軸正半軸交于點A，平行于x軸的直線l與該拋物線交于B、C兩點（點B位于點C左側），與拋物線對稱軸交于點D（2，﹣3）．（1）求b的值；（2）設P、Q是x軸上的點（點P位于點Q左側），四邊形PBCQ為平行四邊形．過點P、Q分別作x軸的垂線，與拋物線交于點P'（x1，y1）、Q'（x2，y2）．若|y1﹣y2|＝2，求x1、x2的值．【分析】（1）拋物線的對稱軸為x＝2，即12（2）求出點B、C的坐標分別為（1，﹣3）、（3，﹣3），則BC＝2，而四邊形PBCQ為平行四邊形，則PQ＝BC＝2，故x2﹣x1＝2，即可求解．【解析】（1）直線與拋物線的對稱軸交于點D（2，﹣3），故拋物線的對稱軸為x＝2，即12故拋物線的表達式為：y＝x2﹣4x；（2）把y＝﹣3代入y＝x2﹣4x并解得x＝1或3，故點B、C的坐標分別為（1，﹣3）、（3，﹣3），則BC＝2，∵四邊形PBCQ為平行四邊形，∴PQ＝BC＝2，故x2﹣x1＝2，又∵y1＝x12﹣4x1，y2＝x22﹣4x2，|y1﹣y2|＝2，故|（x12﹣4x1）﹣（x22﹣4x2）＝2，|x1+x2﹣4|＝1．∴x1+x2＝5或x1+x2＝﹣3，由x2?x由x2?x12.（2020?重慶）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+2（a≠0）與y軸交于點C，與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），且A點坐標為（?2，0），直線BC的解析式為y=?（1）求拋物線的解析式；（2）過點A作AD∥BC，交拋物線于點D，點E為直線BC上方拋物線上一動點，連接CE，EB，BD，DC．求四邊形BECD面積的最大值及相應點E的坐標；（3）將拋物線y＝ax2+bx+2（a≠0）向左平移2個單位，已知點M為拋物線y＝ax2+bx+2（a≠0）的對稱軸上一動點，點N為平移后的拋物線上一動點．在（2）中，當四邊形BECD的面積最大時，是否存在以A，E，M，N為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．【分析】（1）利用直線BC的解析式求出點B、C的坐標，則y＝ax2+bx+2＝a（x+2）（x﹣32）＝ax2﹣22a﹣6a，即﹣6a＝2，解得：a=（2）四邊形BECD的面積S＝S△BCE+S△BCD=12×EF×OB+12（3）分AE是平行四邊形的邊、AE是平行四邊形的對角線兩種情況，分別求解即可．【解析】（1）直線BC的解析式為y=?23x+2，令y＝0，則x＝3故點B、C的坐標分別為（32，0）、（0，2）；則y＝ax2+bx+2＝a（x+2）（x﹣32）＝a（x2﹣22x﹣6）＝ax2﹣22即﹣6a＝2，解得：a=1故拋物線的表達式為：y=?13x2+2（2）如圖，過點B、E分別作y軸的平行線分別交CD于點H，交BC于點F，∵AD∥BC，則設直線AD的表達式為：y=?23（x+2聯(lián)立①②并解得：x＝42，故點D（42，?10由點C、D的坐標得，直線CD的表達式為：y=?2當x＝32時，yBC=?23x+2＝﹣2，即點H（3設點E（x，?13x2+2則四邊形BECD的面積S＝S△BCE+S△BCD=12×EF×OB+12×（xD﹣xC）×BH=12×（?13x2+22∵?22＜0，故S有最大值，當x=322時，S的最大值為（3）存在，理由：y=?13x2+223x+2=?13（x?2則新拋物線的表達式為：y=?13x2點A、E的坐標分別為（?2，0）、（322，52）；設點M（2，m），點N（n，s），s=?①當AE是平行四邊形的邊時，點A向右平移522個單位向上平移52個單位得到E，同樣點M（N）向右平移5即2±52則s=?13n2+8故點N的坐標為（722，?112）或（②當AE是平行四邊形的對角線時，由中點公式得：?2+322s=?13n2故點N的坐標（?22，綜上點N的坐標為：（722，?112）或（?32213.（2020?湖州）如圖，已知在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝﹣x2+bx+c（c＞0）的頂點為D，與y軸的交點為C．過點C的直線CA與拋物線交于另一點A（點A在對稱軸左側），點B在AC的延長線上，連結OA，OB，DA和DB．（1）如圖1，當AC∥x軸時，①已知點A的坐標是（﹣2，1），求拋物線的解析式；②若四邊形AOBD是平行四邊形，求證：b2＝4c．（2）如圖2，若b＝﹣2，BCAC【分析】（1）①先確定出點C的坐標，再用待定系數(shù)法即可得出結論；②先確定出拋物線的頂點坐標，進而得出DF=b24，再判斷出△（2）先判斷出拋物線的頂點坐標D（﹣1，c+1），設點A（m，﹣m2﹣2m+c）（m＜0），判斷出△AFD≌△BCO（AAS），得出AF＝BC，DF＝OC，再判斷出△ANF∽△AMC，得出ANAM=FNCM=AFAC=BCDN=94，F(xiàn)N=9【解析】（1）①∵AC∥x軸，點A（﹣2，1），∴C（0，1），將點A（﹣2，1），C（0，1）代入拋物線解析式中，得?4?2b+c=1c=1∴b=?2c=1∴拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣2x+1；②如圖1，過點D作DE⊥x軸于E，交AB于點F，∵AC∥x軸，∴EF＝OC＝c，∵點D是拋物線的頂點坐標，∴D（b2，c+∴DF＝DE﹣EF＝c+b24∵四邊形AOBD是平行四邊形，∴AD＝BO，AD∥OB，∴∠DAF＝∠OBC，∵∠AFD＝∠BCO＝90°，∴△AFD≌△BCO（AAS），∴DF＝OC，∴b2即b2＝4c；（2）如圖2，∵b＝﹣2．∴拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣2x+c，∴頂點坐標D（﹣1，c+1），假設存在這樣的點A使四邊形AOBD是平行四邊形，設點A（m，﹣m2﹣2m+c）（m＜0），過點D作DE⊥x軸于點E，交AB于F，∴∠AFD＝∠EFC＝∠BCO，∵四邊形AOBD是平行四邊形，∴AD＝BO，AD∥OB，∴∠DAF＝∠OBC，∴△AFD≌△BCO（AAS），∴AF＝BC，DF＝OC，過點A作AM⊥y軸于M，交DE于N，∴DE∥CO，∴△ANF∽△AMC，∴ANAM∵AM＝﹣m，AN＝AM﹣NM＝﹣m﹣1，∴?m?1?m∴m=?5∴點A的縱坐標為﹣（?52）2﹣2×（?5∵AM∥x軸，∴點M的坐標為（0，c?54），N（﹣1，c∴CM＝c﹣（c?54）∵點D的坐標為（﹣1，c+1），∴DN＝（c+1）﹣（c?54）∵DF＝OC＝c，∴FN＝DN﹣DF=9∵FNCM∴94∴c=3∴c?5∴點A縱坐標為14∴A（?52，∴存在這樣的點A，使四邊形AOBD是平行四邊形．14.（2020?黔東南州）已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C（0，﹣3），頂點D的坐標為（1，﹣4）．（1）求拋物線的解析式．（2）在y軸上找一點E，使得△EAC為等腰三角形，請直接寫出點E的坐標．（3）點P是x軸上的動點，點Q是拋物線上的動點，是否存在點P、Q，使得以點P、Q、B、D為頂點，BD為一邊的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點P、Q坐標；若不存在，請說明理由．【分析】（1）根據(jù)拋物線的頂點坐標設出拋物線的解析式，再將點C坐標代入求解，即可得出結論；（2）先求出點A，C坐標，設出點E坐標，表示出AE，CE，AC，再分三種情況建立方程求解即可；（3）利用平移先確定出點Q的縱坐標，代入拋物線解析式求出點Q的橫坐標，即可得出結論．【解析】（1）∵拋物線的頂點為（1，﹣4），∴設拋物線的解析式為y＝a（x﹣1）2﹣4，將點C（0，﹣3）代入拋物線y＝a（x﹣1）2﹣4中，得a﹣4＝﹣3，∴a＝1，∴拋物線的解析式為y＝a（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3；（2）由（1）知，拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，則x2﹣2x﹣3＝0，∴x＝﹣1或x＝3，∴B（3，0），A（﹣1，0），令x＝0，則y＝﹣3，∴C（0，﹣3），∴AC=10設點E（0，m），則AE=m∵△ACE是等腰三角形，∴①當AC＝AE時，10=∴m＝3或m＝﹣3（點C的縱坐標，舍去），∴E（0，3），②當AC＝CE時，10=∴m＝﹣3±10，∴E（0，﹣3+10）或（0，﹣3?③當AE＝CE時，m2∴m=?4∴E（0，?4即滿足條件的點E的坐標為（0，3）、（0，﹣3+10）、（0，﹣3?10）、（0，（3）如圖，存在，∵D（1，﹣4），∴將線段BD向上平移4個單位，再向右（或向左）平移適當?shù)木嚯x，使點B的對應點落在拋物線上，這樣便存在點Q，此時點D的對應點就是點P，∴點Q的縱坐標為4，設Q（t，4），將點Q的坐標代入拋物線y＝x2﹣2x﹣3中得，t2﹣2t﹣3＝4，∴t＝1+22或t＝1﹣22，∴Q（1+22，4）或（1﹣22，4），分別過點D，Q作x軸的垂線，垂足分別為F，G，∵拋物線y＝x2﹣2x﹣3與x軸的右邊的交點B的坐標為（3，0），且D（1，﹣4），∴FB＝PG＝3﹣1＝2，∴點P的橫坐標為（1+22）﹣2＝﹣1+22或（1﹣22）﹣2＝﹣1﹣22，即P（﹣1+22，0）、Q（1+22，4）或P（﹣1﹣22，0）、Q（1﹣22，4）．15.（2020?遂寧）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過A（1，0），B（3，0），C（0，6）三點．（1）求拋物線的解析式．（2）拋物線的頂點M與對稱軸l上的點N關于x軸對稱，直線AN交拋物線于點D，直線BE交AD于點E，若直線BE將△ABD的面積分為1：2兩部分，求點E的坐標．（3）P為拋物線上的一動點，Q為對稱軸上動點，拋物線上是否存在一點P，使A、D、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【分析】（1）設拋物線解析式為：y＝a（x﹣1）（x﹣3），把點C坐標代入解析式，可求解；（2）先求出點M，點N坐標，利用待定系數(shù)法可求AD解析式，聯(lián)立方程組可求點D坐標，可求S△ABD=1（3）分兩種情況討論，利用平行四邊形的性質可求解．【解析】（1）∵拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過A（1，0），B（3，0），∴設拋物線解析式為：y＝a（x﹣1）（x﹣3），∵拋物線y＝a（x﹣1）（x﹣3）（a≠0）的圖象經(jīng)過點C（0，6），∴6＝a（0﹣1）（0﹣3），∴a＝2，∴拋物線解析式為：y＝2（x﹣1）（x﹣3）＝2x2﹣8x+6；（2）∵y＝2x2﹣8x+6＝2（x﹣2）2﹣2，∴頂點M的坐標為（2，﹣2），∵拋物線的頂點M與對稱軸l上的點N關于x軸對稱，∴點N（2，2），設直線AN解析式為：y＝kx+b，由題意可得：0=k+b2=2k+b解得：k=2b=?2∴直線AN解析式為：y＝2x﹣2，聯(lián)立方程組得：y=2x?2y=2x解得：x1=1y∴點D（4，6），∴S△ABD=1設點E（m，2m﹣2），∵直線BE將△ABD的面積分為1：2兩部分，∴S△ABE=13S△ABD＝2或S△ABE=23∴12×2×（2m﹣2）＝2或∴m＝2或3，∴點E（2，2）或（3，4）；（3）若AD為平行四邊形的邊，∵以A、D、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形，∴AD＝PQ，∴xD﹣xA＝xP﹣xQ或xD﹣xA＝xQ﹣xP，∴xP＝4﹣1+2＝5或xP＝2﹣4+1＝﹣1，∴點P坐標為（5，16）或（﹣1，16）；若AD為平行四邊形的對角線，∵以A、D、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形，∴AD與PQ互相平分，∴xA∴xP＝3，∴點P坐標為（3，0），綜上所述：當點P坐標為（5，16）或（﹣1，16）或（3，0）時，使A、D、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形．16.（2020?甘孜州）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y＝kx+3分別交x軸、y軸于A，B兩點，經(jīng)過A，B兩點的拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸的正半軸相交于點C（1，0）．（1）求拋物線的解析式；（2）若P為線段AB上一點，∠APO＝∠ACB，求AP的長；（3）在（2）的條件下，設M是y軸上一點，試問：拋物線上是否存在點N，使得以A，P，M，N為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．【分析】（1）利用待定系數(shù)法解決問題即可．（2）求出AB，OA，AC，利用相似三角形的性質求解即可．（3）分兩種情形：①PA為平行四邊形的邊時，點M的橫坐標可以為±2，求出點M的坐標即可解決問題．②當AP為平行四邊形的對角線時，點M″的橫坐標為﹣4，求出點M″的坐標即可解決問題．【解析】（1）由題意拋物線經(jīng)過B（0，3），C（1，0），∴c=3?1+b+c=0解得b=?2c=3∴拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣2x+3（2）對于拋物線y＝﹣x2﹣2x+3，令y＝0，解得x＝﹣3或1，∴A（﹣3，0），∵B（0，3），C（1，0），∴OA＝OB＝3OC＝1，AB＝32，∵∠APO＝∠ACB，∠PAO＝∠CAB，∴△PAO∽△CAB，∴APAC∴AP4∴AP＝22．（3）由（2）可知，P（﹣1，2），AP＝22，①當AP為平行四邊形的邊時，點N的橫坐標為2或﹣2，∴N（﹣2，3），N′（2，﹣5），②當AP為平行四邊形的對角線時，點N″的橫坐標為﹣4，∴N″（﹣4，﹣5），綜上所述，滿足條件的點N的坐標為（﹣2，3）或（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）．17.（2020?聊城）如圖，二次函數(shù)y═ax2+bx+4的圖象與x軸交于點A（﹣1，0），B（4，0），與y軸交于點C，拋物線的頂點為D，其對稱軸與線段BC交于點E，垂直于x軸的動直線l分別交拋物線和線段BC于點P和點F，動直線l在拋物線的對稱軸的右側（不含對稱軸）沿x軸正方向移動到B點．（1）求出二次函數(shù)y＝ax2+bx+4和BC所在直線的表達式；（2）在動直線l移動的過程中，試求使四邊形DEFP為平行四邊形的點P的坐標；（3）連接CP，CD，在動直線l移動的過程中，拋物線上是否存在點P，使得以點P，C，F(xiàn)為頂點的三角形與△DCE相似？如果存在，求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由．【分析】（1）由題意得出方程組，求出二次函數(shù)的解析式為y＝﹣x2+3x+4，則C（0，4），由待定系數(shù)法求出BC所在直線的表達式即可（2）證DE∥PF，只要DE＝PF，四邊形DEFP即為平行四邊形，由二次函數(shù)解析式求出點D的坐標，由直線BC的解析式求出點E的坐標，則DE=154，設點P的橫坐標為t，則P的坐標為：（t，﹣t（3）由平行線的性質得出∠CED＝∠CFP，當∠PCF＝∠CDE時，△PCF∽△CDE，則PFCE【解析】（1）將點A（﹣1，0），B（4，0），代入y═ax2+bx+4，得：0=a?b+40=16a+4b+4解得：a=?1b=3∴二次函數(shù)的表達式為：y＝﹣x2+3x+4，當x＝0時，y＝4，∴C（0，4），設BC所在直線的表達式為：y＝mx+n，將C（0，4）、B（4，0）代入y＝mx+n，得：4=n0=4m+n解得：m=?1n=4∴BC所在直線的表達式為：y＝﹣x+4；（2）∵DE⊥x軸，PF⊥x軸，∴DE∥PF，只要DE＝PF，四邊形DEFP即為平行四邊形，∵y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x?32）2∴點D的坐標為：（32，25將x=32代入y＝﹣x+4，即y=?3∴點E的坐標為：（32，5∴DE=25設點P的橫坐標為t，則P的坐標為：（t，﹣t2+3t+4），F(xiàn)的坐標為：（t，﹣t+4），∴PF＝﹣t2+3t+4﹣（﹣t+4）＝﹣t2+4t，由DE＝PF得：﹣t2+4t=15解得：t1=32（不合題意舍去），t2當t=52時，﹣t2+3t+4＝﹣（52）2+3×∴點P的坐標為（52，21（3）存在，理由如下：如圖2所示：由（2）得：PF∥DE，∴∠CED＝∠CFP，又∵∠PCF與∠DCE有共同的頂點C，且∠PCF在∠DCE的內部，∴∠PCF≠∠DCE，∴只有∠PCF＝∠CDE時，△PCF∽△CDE，∴PFCE∵C（0，4）、E（32，5∴CE=(由（2）得：DE=154，PF＝﹣t∴CF=t∴?t∵t≠0，∴154解得：t=16當t=165時，﹣t2+3t+4＝﹣（165）2+3×∴點P的坐標為：（165，8418.（2020?常德）如圖，已知拋物線y＝ax2過點A（﹣3，94（1）求拋物線的解析式；（2）已知直線l過點A，M（32，0）且與拋物線交于另一點B，與y軸交于點C，求證：MC2（3）若點P，D分別是拋物線與直線l上的動點，以OC為一邊且頂點為O，C，P，D的四邊形是平行四邊形，求所有符合條件的P點坐標．【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可解決問題．（2）構建方程組確定點B的坐標，再利用平行線分線段成比例定理解決問題即可．（3）如圖2中，設P（t，14t2【解析】（1）把點A（﹣3，94）代入y＝ax2得到94∴a=1∴拋物線的解析式為y=14x（2）設直線l的解析式為y＝kx+b，則有94解得k=?1∴直線l的解析式為y=?12x令x＝0，得到y(tǒng)=3∴C（0，34由y=14x2y=?∴B（1，14如圖1中，過點A作AA1⊥x軸于A1，過B作BB1⊥x軸于B1，則BB1∥OC∥AA1，∴BMMC=M∴BMMC即MC2＝MA?MB．（3）如圖2中，設P（t，14t2∵OC為一邊且頂點為O，C，P，D的四邊形是平行四邊形，∴PD∥OC，PD＝OC，∴D（t，?12t∴|14t2﹣（?12t+整理得：t2+2t﹣6＝0或t2+2t＝0，解得t＝﹣1?7或﹣1+∴P（﹣1?7，2+72）或（﹣1+19.（2020·遼寧鐵嶺?中考真題）如圖，拋物線與軸相交于點和點，與軸相交于點，作直線．（1）求拋物線的解析式；（2）在直線上方的拋物線上存在點，使，求點的坐標；（3）在（2）的條件下，點的坐標為，點在拋物線上，點在直線上，當以為頂點的四邊形是平行四邊形時，請直接寫出點的坐標．【答案】（1）；（2）點坐標為；（3），【解析】【分析】（1）將A、C點坐標分別代入拋物線中，聯(lián)立即可求得a和c的值，從而求出拋物線解析式；（2）過點作軸交拋物線于點，則，過點作交拋物線于點，設，借助，即可求得t的值，從而求得D點坐標；（3）先求出直線BC的解析式，設，分DF為邊和DF為對角線兩種情況討論，表示出M點坐標，代入拋物線中求得n的值，即可得出N點坐標．【詳解】解：（1）：拋物線經(jīng)過點，解得∴拋物線的解析式為（2）過點作軸交拋物線于點，則過點作交拋物線于點過點作于點，則設點的橫坐標為，則∵點是與軸的交點，解得的坐標為，解得（舍去），∴點的縱坐標為：則點坐標為（3）設直線BC的解析式為：，將C（0,3），B（4，0）分別代入得，，解得，∴直線BC的解析式為：，設，①當FD為平行四邊形的邊時，如圖，當N點在M點左側時，則即整理得，即,故，解得：，此時；同理當N點在M點右側時可得，故，解得，此時；①當FD為平行四邊形的對角線時，則,即故，整理得，該方程無解．綜上所述：，．【點睛】本題考查二次函數(shù)綜合，分別考查了求二次函數(shù)解析式，相似三角形的性質，和二次函數(shù)與平行四邊形問題．（1）中直接代入點的坐標即可，難度不大；（2）中能正確作輔助線，構造相似三角形是解題關鍵；（3）中能分類討論是解題關鍵，需注意平行四邊形對邊平行且相等，可借助這一點結合圖象表示M點坐標．20.（2020·四川綿陽?中考真題）如圖，拋物線過點A（0，1）和C，頂點為D，直線AC與拋物線的對稱軸BD的交點為B（，0），平行于y軸的直線EF與拋物線交于點E，與直線AC交于點F，點F的橫坐標為，四邊形BDEF為平行四邊形．（1）求點F的坐標及拋物線的解析式；（2）若點P為拋物線上的動點，且在直線AC上方，當△PAB面積最大時，求點P的坐標及△PAB面積的最大值；（3）在拋物線的對稱軸上取一點Q，同時在拋物線上取一點R，使以AC為一邊且以A，C，Q，R為頂點的四邊形為平行四邊形，求點Q和點R的坐標．【答案】（1）（，﹣）；y＝﹣x2+2x+1（2）（，）；（