安徽省合肥市2024屆高三下學(xué)期二模數(shù)學(xué)試卷 含解析

第1頁(yè)/共1頁(yè)2024年合肥市高三第二次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)（考試時(shí)間：120分鐘滿(mǎn)分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，務(wù)必將自己的姓名和座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡和試卷上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，務(wù)必擦凈后再選涂其它答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上．寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)全集，集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解不等式得到，進(jìn)而根據(jù)補(bǔ)集和交集求出答案.【詳解】或，，故故選：A2.已知，則（）A. B. C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的運(yùn)算和模長(zhǎng)計(jì)算求出即可.【詳解】，所以，所以，故選：B.3.設(shè)是兩個(gè)平面，是兩條直線(xiàn)，則的一個(gè)充分條件是（）A. B.C. D.與相交【答案】C【解析】【分析】通過(guò)舉反例可判定ABD，利用線(xiàn)面垂直的判定定理及面面平行的判定定理可判定C.【詳解】選項(xiàng)A：當(dāng)滿(mǎn)足時(shí)，可能相交，如圖：用四邊形代表平面，用四邊形代表平面，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：當(dāng)滿(mǎn)足時(shí)，可能相交，如圖：用四邊形代表平面，用四邊形代表平面，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：因?yàn)?，又，所以，故是的一個(gè)充分條件，故C正確；當(dāng)滿(mǎn)足與相交時(shí)，可能相交，如圖：用四邊形代表平面，用四邊形代表平面，故D錯(cuò)誤；故選：C.4.甲、乙兩名乒乓球運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行一場(chǎng)比賽，采用7局4勝制（先勝4局者勝，比賽結(jié)束）．已知每局比賽甲獲勝的概率均為，則甲以4比2獲勝的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意只需前5場(chǎng)甲贏(yíng)3場(chǎng)，再利用獨(dú)立事件的乘法公式求解．【詳解】根據(jù)題意，甲運(yùn)動(dòng)員前5場(chǎng)內(nèi)需要贏(yíng)3場(chǎng)，第6場(chǎng)甲勝，則甲以4比2獲勝的概率為．故選：C．5.常用放射性物質(zhì)質(zhì)量衰減一半所用的時(shí)間來(lái)描述其衰減情況，這個(gè)時(shí)間被稱(chēng)做半衰期，記為（單位：天）．鉛制容器中有甲、乙兩種放射性物質(zhì)，其半衰期分別為．開(kāi)始記錄時(shí)，這兩種物質(zhì)的質(zhì)量相等，512天后測(cè)量發(fā)現(xiàn)乙的質(zhì)量為甲的質(zhì)量的，則滿(mǎn)足的關(guān)系式為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)開(kāi)始記錄時(shí)，甲乙兩種物質(zhì)的質(zhì)量均為1，可得512天后甲，乙的質(zhì)量，根據(jù)題意列出等式即可得答案．【詳解】設(shè)開(kāi)始記錄時(shí)，甲乙兩種物質(zhì)的質(zhì)量均為1，則512天后，甲的質(zhì)量為：，乙的質(zhì)量為：，由題意可得，所以．故選：B．6.已知函數(shù)，若關(guān)于的方程至少有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】作出函數(shù)的圖象，由題意可得的圖象與至少有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，從而得，結(jié)合圖象可得，求解即可．【詳解】因?yàn)?，作出函?shù)的圖象，如圖所示：由此可知函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，，又因?yàn)殛P(guān)于的方程至少有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，所以至少有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即的圖象與至少有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，令，可得；當(dāng)時(shí)，，令，解得，又因?yàn)?，所以，解得．故選:D．7.記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．則面積的最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意及正切與正弦與余弦的關(guān)系，兩角和的正弦公式及余弦公式可得角的大小，再由余弦定理及基本不等式可得的最大值，進(jìn)而求出該三角形的面積的最大值．【詳解】因?yàn)椋傻?，即，整理可得，即，在三角形中，，即?可得；由余弦定理可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，而，所以，所以．即該三角形的面積的最大值為．故選：A．8.已知雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在雙曲線(xiàn)左支上，線(xiàn)段交軸于點(diǎn)，且．設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)滿(mǎn)足：，則雙曲線(xiàn)的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)題設(shè)條件得到，，再利用橢圓上，得到，即可求出結(jié)果.【詳解】如圖，設(shè)，，則直線(xiàn)的方程為，令，得到，所以，，因?yàn)?，所以，得到，故，又，所以，得到，又，所以，得到①，又因?yàn)樵陔p曲線(xiàn)上，所以②，又③，由①②③得到，所以，解得或，又，所以，得到，故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知圓，圓，則（）A.兩圓的圓心距的最小值為1B.若圓與圓相切，則C.若圓與圓恰有兩條公切線(xiàn)，則D.若圓與圓相交，則公共弦長(zhǎng)的最大值為2【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)兩點(diǎn)的距離公式，算出兩圓的圓心距，從而判斷出A項(xiàng)的正誤；根據(jù)兩圓相切、相交的性質(zhì)，列式算出的取值范圍，判斷出B,C兩項(xiàng)的正誤；當(dāng)圓的圓心在兩圓的公共弦上時(shí)，公共弦長(zhǎng)有最大值，從而判斷出D項(xiàng)的正誤．【詳解】根據(jù)題意，可得圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑．對(duì)于A(yíng)，因?yàn)閮蓤A的圓心距，所以A項(xiàng)正確；對(duì)于B，兩圓內(nèi)切時(shí)，圓心距，即，解得．兩圓外切時(shí)，圓心距，即，解得．綜上所述，若兩圓相切，則或，故B項(xiàng)不正確；對(duì)于C，若圓與圓恰有兩條公切線(xiàn)，則兩圓相交，，即，可得，解得且，故C項(xiàng)不正確；對(duì)于D，若圓與圓相交，則當(dāng)圓的圓心在公共弦上時(shí)，公共弦長(zhǎng)等于，達(dá)到最大值，因此，兩圓相交時(shí)，公共弦長(zhǎng)的最大值為2，故D項(xiàng)正確．故選：AD．10.已知等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為，則（）A.B.對(duì)任意成等比數(shù)列C.對(duì)任意，都存在，使得成等差數(shù)列D.若，則數(shù)列遞增的充要條件是【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于A(yíng)：分，兩種情況計(jì)算可判斷A；對(duì)于B：可說(shuō)明不成立判斷B；，分，兩種情況計(jì)算可判斷C；根據(jù)，若是遞增數(shù)列，可求判斷D.【詳解】對(duì)于A(yíng)：當(dāng)時(shí)，，，故成立，當(dāng)時(shí)，，，所以成立，故A正確；對(duì)于B：當(dāng)時(shí)，，所以不成等比數(shù)列，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：當(dāng)時(shí)，，故不成等差數(shù)列，當(dāng)時(shí)，若存在，使成等差數(shù)列，則，則，整理得，所以，所以，所以對(duì)任意，都存在，使得成等差數(shù)列，故C正確；對(duì)于D：，若是遞增數(shù)列，則可得，因?yàn)椋?，可解得，所以若，則數(shù)列遞增的充要條件是，故D正確.故選：ACD.11.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)在上單調(diào)遞減B.函數(shù)為奇函數(shù)C.當(dāng)時(shí)，函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)D.設(shè)數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，則【答案】BCD【解析】【分析】利用三角恒等變換化簡(jiǎn)，再利用正弦函數(shù)單調(diào)性奇偶性判斷ABC，利用裂項(xiàng)相消及累加求和判斷D.【詳解】易知，同理，對(duì)A,先減后增，故A錯(cuò)誤；對(duì)B,為奇函數(shù)，故B正確；對(duì)C,,則在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，即在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，又，，故函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，故C正確；對(duì)D,易知，令，則，，,……..,則，故，故D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)及數(shù)列求和應(yīng)用，關(guān)鍵是利用利用裂項(xiàng)相消及累加求和判斷D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.在的展開(kāi)式中，的系數(shù)為_(kāi)________．【答案】15【解析】【分析】利用的通項(xiàng)公式，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)榈恼归_(kāi)式的通項(xiàng)公為，由，得到，所以的系數(shù)為，故答案為：.13.拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)為為上一點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓與交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，若，則_________．【答案】【解析】【分析】首先得到拋物線(xiàn)焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線(xiàn)方程，設(shè)準(zhǔn)線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，根據(jù)圓的性質(zhì)及拋物線(xiàn)的定義可得為等邊三角形，即可求出，再在中利用余弦定理計(jì)算可得.【詳解】拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)：，設(shè)準(zhǔn)線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，則，依題意、均在軸的左側(cè)，又，所以也在軸的左側(cè)且點(diǎn)在軸上方，又為圓的直徑，所以，即，由拋物線(xiàn)的定義可知，又，所以為等邊三角形，所以，則，所以，所以，，在中.故答案為：.14.已知實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，則的最小值為_(kāi)________．【答案】【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，將所求轉(zhuǎn)化為距離和的最小值，利用幾何關(guān)系求得最值.【詳解】如圖，設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為2，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)為空間任意一點(diǎn)，因?yàn)椋瑒tP在平面所在的平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，表示P與點(diǎn)和點(diǎn)的距離之和，因?yàn)殛P(guān)于平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為D，故，當(dāng)且僅當(dāng)中點(diǎn)即為正方體中心時(shí)等號(hào)成立；表示P與點(diǎn)和點(diǎn)的距離之和，則，當(dāng)且僅當(dāng)在所在直線(xiàn)上時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)為正方體中心時(shí)等號(hào)成立故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查空間中距離最值問(wèn)題，關(guān)鍵是利用空間坐標(biāo)系將所求轉(zhuǎn)化為距離和，并注意等號(hào)成立條件.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，是側(cè)棱的中點(diǎn)，側(cè)面為正三角形，側(cè)面底面．（1）求三棱錐的體積；（2）求與平面所成角的正弦值．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）作出輔助線(xiàn)，得到線(xiàn)線(xiàn)垂直，進(jìn)而得到線(xiàn)面垂直，由中位線(xiàn)得到到平面的距離為，進(jìn)而由錐體體積公式求出答案；（2）證明出，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，進(jìn)而由法向量的夾角余弦值的絕對(duì)值求出線(xiàn)面角的正弦值.【小問(wèn)1詳解】如圖所示，取的中點(diǎn)，連接．因?yàn)槭钦切?，所以．又因?yàn)槠矫娴酌嫫矫妫矫嫫矫?，所以平面，且．又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，到平面的距離為，，所以三棱錐的體積為．【小問(wèn)2詳解】連接，因?yàn)?，所以為等邊三角形，所以，以為原點(diǎn)，所在直線(xiàn)分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以．設(shè)平面的法向量為，則，即，解得，取，則，所以．設(shè)與平面所成角為，則．即與平面所成角的正弦值為．16.已知橢圓的右焦點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為，短軸長(zhǎng)為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)（不與軸重合）與交于兩點(diǎn)，直線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)分別為，記直線(xiàn)的斜率分別為，證明：為定值．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）由題意得，將點(diǎn)代入橢圓的方程可求得的值，進(jìn)而可得橢圓的方程；（2）設(shè)，，，，，聯(lián)立直線(xiàn)和橢圓的方程，可得，，直線(xiàn)的方程為，令，得，同理，由斜率公式計(jì)算即可．【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以，再將點(diǎn)代入得，解得，故橢圓的方程為；【小問(wèn)2詳解】由題意可設(shè)，由可得，易知恒成立，所以，又因?yàn)椋灾本€(xiàn)的方程為，令，則，故，同理，從而，故為定值．17.樹(shù)人中學(xué)高三（1）班某次數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)（滿(mǎn)分150分）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：性別參加考試人數(shù)平均成績(jī)標(biāo)準(zhǔn)差男3010016女209019在按比例分配分層隨機(jī)抽樣中，已知總體劃分為2層，把第一層樣本記為，其平均數(shù)記為，方差記為；把第二層樣本記為，其平均數(shù)記為，方差記為；把總樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為，方差記為．（1）證明：；（2）求該班參加考試學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差（精確到1）；（3）假設(shè)全年級(jí)學(xué)生的考試成績(jī)服從正態(tài)分布，以該班參加考試學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別作為和的估計(jì)值．如果按照的比例將考試成績(jī)從高分到低分依次劃分為四個(gè)等級(jí)，試確定各等級(jí)的分?jǐn)?shù)線(xiàn)（精確到1）．附：．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）平均數(shù)為96分，標(biāo)準(zhǔn)差為18分；（3）將定為等級(jí)，定為等級(jí)，定為等級(jí)，定為等級(jí)．【解析】【分析】（1）利用平均數(shù)及方差公式即可求解；（2）利用平均數(shù)及方差公式，結(jié)合標(biāo)準(zhǔn)差公式即可求解；（3）根據(jù)（2）的結(jié)論及正態(tài)分布的特點(diǎn)即可求解.【小問(wèn)1詳解】，同理．所以.【小問(wèn)2詳解】將該班參加考試學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)記為，方差記為，則，所以又，所以．即該班參加考試學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)為96分，標(biāo)準(zhǔn)差約為18分．【小問(wèn)3詳解】由（2）知，所以全年級(jí)學(xué)生的考試成績(jī)服從正態(tài)分布，所以．．故可將定為等級(jí)，定為等級(jí)，定為等級(jí)，定為等級(jí)．18.已知曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)為．（1）求直線(xiàn)的方程；（2）證明：除點(diǎn)外，曲線(xiàn)在直線(xiàn)的下方；（3）設(shè)，求證：．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析；（3）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，得到，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫(xiě)出切線(xiàn)方程；（2）令，二次求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合特殊點(diǎn)函數(shù)值，得到所以，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，得到證明；（3）求導(dǎo)得到的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)圖象得到，不妨令，結(jié)合曲線(xiàn)在點(diǎn)的切線(xiàn)方程為，得到，轉(zhuǎn)化為證明，又，只要證，令，求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合特殊點(diǎn)函數(shù)值得到答案.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋?，所以直線(xiàn)的方程為：，即小問(wèn)2詳解】令，則，令，則，由，解得，由，解得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，所以除切點(diǎn)之外，曲線(xiàn)在直線(xiàn)的下方．【小問(wèn)3詳解】由，解得，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，當(dāng)時(shí)，．因?yàn)?，則，不妨令．因?yàn)榍€(xiàn)在點(diǎn)的切線(xiàn)方程為，設(shè)點(diǎn)在切線(xiàn)上，有，故，由（1）知時(shí)，，則，即，要證：，只要證：，只要證：，又，只要證：，令，則，易證在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以在上單調(diào)遞減，所以成立，所以原命題成立．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是利用函數(shù)在零點(diǎn)處的切線(xiàn)方程，得到，且，從而只需證明，再勾股函數(shù)進(jìn)行求解.19.在數(shù)學(xué)中，廣義距離是泛函分析中最基本的概念之一．對(duì)平面直角坐標(biāo)系中兩個(gè)點(diǎn)和，記，稱(chēng)為點(diǎn)與點(diǎn)之間的“距離”，其中表示中較大者．（1）計(jì)算點(diǎn)和點(diǎn)之間的“距離”；（2）設(shè)是平面中一定點(diǎn)，．我們把平面上到點(diǎn)的“距離”為的所有點(diǎn)構(gòu)成的集合叫做以點(diǎn)為圓心，以為半徑的“圓”．求以原點(diǎn)為圓心，以為半徑的“圓”的面積；（3）證明：對(duì)任意點(diǎn)．【