橢圓雙曲線的焦點三角形

橢圓、雙曲線的焦點三角形汝陽一高高二數(shù)學組學習目標：注重對焦點三角形與圓錐曲線的聯(lián)系，軌跡問題，定值、定點問題的考查；注重考查分析問題問題解決問題的能力；注重考查方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論、轉(zhuǎn)化化歸思想的應(yīng)用的能力，對學生的抽象概括能力、推理論證能力和運算能力都有較高的要求.誘學指導：通過橢圓、雙曲線的基礎(chǔ)知識的學習，同學們對基礎(chǔ)知識及基本技能有所掌握。近幾年來，高考和各地模擬試題對焦點三角形有關(guān)問題的考查越來越普遍，焦點三角形的有關(guān)問題的解題方法與三角形有關(guān)邊角聯(lián)系在一起，并與圓錐曲線或圓的性質(zhì)有著緊密聯(lián)系.合作探究：一、橢圓的焦點三角形的面積：在橢圓

（a>b>0）中，焦點分別為

、

，點P是橢圓上任意一點，則二、雙曲線的焦點三角形的面積在雙曲線

中，焦點分別為

、

，點P是雙曲線上任意一點

，則

三、焦點三角形中的軌跡問題：（一）垂足的軌跡：1.已知雙曲線

的左、右焦點分別為F1、F2，P為雙曲線上任意一點，過F1作∠F1PF2的內(nèi)角平分線l的垂線，設(shè)垂足為M，求點M的軌跡?！痉治觥奎cF1關(guān)于∠F1PF2的角平分線PM的對稱點M′在直線PF2的延長線上，故|F2M′|=|PF1|﹣|PF2|=2a，又OM是△F2F1M′的中位線，故|OM|=a，由此可以判斷出點M的軌跡．【解答】解：點F1關(guān)于∠F1PF2的角平分線PM的對稱點M′在直線PF2的延長線上，故|F2M′|=|PF1|﹣|PF2|=2a，又OM是△F2F1M′的中位線，故|OM|=a，點M的軌跡是以原點為圓心，a為半徑的圓，點M的軌跡方程為x2+y2=a2．【點評】本小題主要考查軌跡方程等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，解答關(guān)鍵是應(yīng)用角分線的性質(zhì)解決問題．

2.

P是以F1，F(xiàn)2為焦點的橢圓上一點，過焦點F2作∠F1PF2外角平分線的垂線，垂足為M，則點M的軌跡是

【分析】P是以F1，F(xiàn)2為焦點的橢圓上一點，過焦點F2作∠F1PF2外角平分線的垂線，垂足為M，延長F2M交F1延長線于Q，可證得PQ=PF2，且M是PF2的中點，由此可求得OM的長度是定值，即可求點M的軌跡的幾何特征【解答】解：由題意，P是以F1，F(xiàn)2為焦點的橢圓上一點，過焦點F2作∠F1PF2外角平分線的垂線，垂足為M，延長F2M交F1延長線于Q，得PQ=PF2，由橢圓的定義知PF1+PF2=2a，故有PF1+PQ=QF1=2a，連接OM，知OM是三角形F1F2Q的中位線∴OM=a，即點M到原點的距離是定值，由此知點M的軌跡是圓【點評】本題考查求軌跡方程，解本題，關(guān)鍵是證出OM是中位線以及利用題設(shè)中所給的圖形的幾何特征求出QF1的長度，進而求出OM的長度，再利用圓的定義得出點M的軌跡是一個圓．本題考查了橢圓的定義，圓的定義，綜合性強，題后應(yīng)注意總結(jié)一下本題求解中的轉(zhuǎn)化思路．（二）切點的軌跡：P是

（a＞0，b＞0）的左支上的一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為左、右焦點，且焦距為2c，△PF1F2的內(nèi)切圓的圓心的橫坐標為（）A．﹣a B．﹣b C．﹣c D．a(chǎn)+b﹣c【分析】充分利用平面幾何圖形的性質(zhì)解題．因從同一點出發(fā)的切線長相等，得PM|=|PN|，|F1M|=|F1D|，|F2N|=|F2D|，再結(jié)合雙曲線的定義得|F1D|﹣|F2D|=﹣2a，從而即可求得△PF1F2的內(nèi)心的橫坐標．【解答】記△PF1F2的內(nèi)切圓圓心為C，邊PF1、PF2、F1F2上的切點分別為M、N、D，易見C、D橫坐標相等，|PM|=|PN|，|F1M|=|F1D|，|F2N|=|F2D|，由|PF2|﹣|PF1|=2a，即：|PM|+|MF1|﹣（|PN|+|NF2|）=﹣2a，得|MF1|﹣|NF2|=﹣2a即|F1D|﹣|F2D|=﹣2a，記C的橫坐標為x0，則D（x0，0），于是：x0+c﹣（c﹣x0）=﹣2a，得x0=﹣a，則內(nèi)切圓的圓心的橫坐標為﹣a．故選A．【點評】本題主要考查了雙曲線的定義、雙曲線的應(yīng)用及轉(zhuǎn)化問題的能力，屬于中檔題．

當堂訓練：隨堂檢測：小結(jié)1.求解圓錐曲線中的面積問題一般會利用余弦定理來求解，在解圓錐曲線的問題中，有