2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第八章立體幾何初步8.6.2直線與平面垂直課時(shí)作業(yè)新人教A版必修第二冊(cè)

PAGE1-8.6.2直線與平面垂直一、選擇題1．直線l⊥平面α，直線m?α，則l與m不行能()A．平行B．相交C．異面D．垂直解析：若l∥m，則l?α，∵m?α，∴l(xiāng)∥α，這與已知l⊥α沖突，所以直線l與m不行能平行．答案：A2．直線a⊥平面α，b∥α，則a與b的關(guān)系為()A．a(chǎn)⊥b，且a與b相交B．a(chǎn)⊥b，且a與b不相交C．a(chǎn)⊥bD．a(chǎn)與b不肯定垂直解析：∵b∥α，∴b平行于α內(nèi)的某一條直線，設(shè)為b′，∵a⊥α，且b′?α，∴a⊥b′，∴a⊥b，但a與b可能相交，也可能異面．答案：C3．ABCD－A1B1C1D1為正方體，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．AC1⊥BD1解析：正方體中BD∥B1D1，可知選項(xiàng)A正確；由BD⊥AC，BD⊥CC1可得BD⊥平面ACC1；從而BD⊥AC1，即選項(xiàng)B正確；由以上可得AC1⊥B1D1，同理AC1⊥D1C，因此AC1⊥平面CB1D1，即選項(xiàng)C正確；由于四邊形ABC1D1不是菱形，所以AC1⊥BD1不正確．選D.答案：D4．如圖所示，若斜線段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，則AB與平面α所成的角是()A．60°B．45°C．30°D．120°解析：∠ABO即是斜線AB與平面α所成的角，在Rt△AOB中，AB＝2BO，所以cos∠ABO＝eq\f(1,2)，即∠ABO＝60°.答案：A二、填空題5．在三棱錐P－ABC中，最多有________個(gè)直角三角形．解析：不妨設(shè)PA⊥AB，PA⊥AC，則△APB，△PAC為直角三角形，由線面垂直的判定定理，可得PA⊥平面ABC，由線面垂直的定義，可知PA⊥BC，若∠ABC＝90°，則BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB，即∠PBC＝90°，∴△ABC，△PBC為直角三角形，故直角三角形最多有4個(gè)．答案：46．有下列四種說法，正確的序號(hào)是________．①過空間一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直；②已知兩條不重合的直線m，n和平面α，若m⊥n，m⊥α，則n∥α；③a，b，l表示三條不同的直線，α表示平面，若a?α，b?α，l⊥a，l⊥b，則l⊥α；④若直線a不平行于平面α，則直線a垂直于平面α.解析：①正確；對(duì)于②，若直線n?α，也可滿意m⊥n，m⊥α，此時(shí)n∥α不正確；對(duì)于③，只有a，b相交時(shí)，才成立，否則不成立；④明顯錯(cuò)誤，因?yàn)椴黄叫袝r(shí)可以相交，而垂直只是相交的一種特別狀況．故只有①正確．答案：①7．在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝eq\r(2)，BC＝AA1＝1，則BD1與平面A1B1C1D1所成的角的大小為________．解析：如圖所示，連接B1D1，則B1D1是BD1在平面A1B1C1D1上的射影，則∠BD1B1是BD1與平面A1B1C1D1所成的角．在Rt△BD1B1中，tan∠BD1B1＝eq\f(BB1,B1D1)＝eq\f(1,\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，則∠BD1B1＝30°.答案：30°三、解答題8．如圖，在四棱錐S－ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，側(cè)面SAB為等邊三角形，AB＝BC＝2，CD＝SD＝1.求證：SD⊥平面SAB.證明：∵AB∥CD，BC⊥CD，AB＝BC＝2，CD＝1，∴底面ABCD為直角梯形，AD＝eq\r(2－12＋22)＝eq\r(5).∵側(cè)面SAB為等邊三角形，∴SA＝SB＝AB＝2.又SD＝1，∴AD2＝SA2＋SD2，∴SD⊥SA.連接BD，則BD＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5)，∴BD2＝SD2＋SB2，∴SD⊥SB.又SA∩SB＝S，∴SD⊥平面SAB.9．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M是AB上一點(diǎn)，N是A1C的中點(diǎn)，MN⊥平面A1DC.求證：(1)MN∥AD1；(2)M是AB的中點(diǎn)．證明：(1)因?yàn)樗倪呅蜛DD1A1為正方形，所以AD1⊥A1D.又因?yàn)镃D⊥平面ADD1A1，所以CD⊥AD1.因?yàn)锳1D∩CD＝D，所以AD1⊥平面A1DC.又因?yàn)镸N⊥平面A1DC，所以MN∥AD1.(2)連接ON，在△A1DC中，A1O＝OD，A1N＝NC，所以O(shè)N∥CD∥AB.所以O(shè)N∥AM.又由(1)知MN∥OA，所以四邊形AMNO為平行四邊形．所以O(shè)N＝AM.因?yàn)镺N＝eq\f(1,2)AB，所以AM＝eq\f(1,2)AB.所以M是AB的中點(diǎn)．[尖子生題庫]10．如圖所示，已知AB為圓O的直徑，且AB＝4，點(diǎn)D為線段AB上一點(diǎn)，且AD＝eq\f(1,3)DB，點(diǎn)C為圓O上一點(diǎn)，且BC＝eq\r(3)AC.點(diǎn)P在圓O所在平面上的正投影為點(diǎn)D，PD＝DB.(1)求證：CD⊥平面PAB；(2)求直線PC與平面PAB所成的角．解析：(1)證明：連接CO，由3AD＝DB知，點(diǎn)D為AO的中點(diǎn)．又因?yàn)锳B為圓O的直徑，所以AC⊥CB.由eq\r(3)AC＝BC知，∠CAB＝60°，所以△ACO為等邊三角形．故CD⊥AO.因?yàn)辄c(diǎn)P在圓O所在平面上的正投影為點(diǎn)D，所以PD⊥平面ABC，又CD?平面ABC，所以PD⊥CD，由PD?平面PAB，AO?平面PAB，且PD∩AO＝D，得CD⊥平面PAB.(2)由(1)知∠CPD是直線PC與平面PAB所成的角，又△AOC是邊長