2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)課時(shí)分層作業(yè)4等差數(shù)列的性質(zhì)含解析北師大版必修5

PAGE1-課時(shí)分層作業(yè)(四)(建議用時(shí)：60分鐘)[基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練]一、選擇題1．已知等差數(shù)列{an}中，a2＋a4＝6，則a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝()A．30 B．15C．5eq\r(6) D．10eq\r(6)B[因?yàn)閿?shù)列{an}為等差數(shù)列，所以a2＋a4＝6＝2a3，得a3＝3，所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝5a3＝15.]2．等差數(shù)列{an}中，a2＋a5＋a8＝9，那么關(guān)于x的方程：x2＋(a4＋a6)x＋10＝0()A．無實(shí)根B．有兩個(gè)相等實(shí)根C．有兩個(gè)不等實(shí)根D．不能確定有無實(shí)根A[由于a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，即3a所以a5＝3，方程為x2＋6x＋10＝0，無實(shí)數(shù)解．]3．在等差數(shù)列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，則2a10－a12()A．20 B．22C．24 D．28C[由a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝(a4＋a12)＋(a6＋a10)＋a8＝5a8解得a8＝24，且a8＋a12＝2a10,2a10－a12＝a8＝24.]4．由公差d≠0的等差數(shù)列a1，a2，…，an組成一個(gè)新的數(shù)列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…，下列說法正確的是()A．新數(shù)列不是等差數(shù)列B．新數(shù)列是公差為d的等差數(shù)列C．新數(shù)列是公差為2d的等差數(shù)列D．新數(shù)列是公差為3d的等差數(shù)列C[∵(an＋1＋an＋3)－(an＋an＋2)＝(an＋1－an)＋(an＋3－an＋2)＝2d，∴數(shù)列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…是公差為2d的等差數(shù)列．]5．設(shè){an}是遞增等差數(shù)列，前三項(xiàng)的和為12，前三項(xiàng)的積為48，則它的首項(xiàng)是()A．1 B．2C．4 D．6B[由題意得a1＋a2＋a3＝3a2＝12，故a2＝4，(a2－d)·a2·(a2＋d)＝4(4－d)(4＋d)＝48.因?yàn)閐＞0，故d＝2，a1＝a2－d二、填空題6．在等差數(shù)列{an}中，a9＝8，a12≥23，則公差d的取值范圍為________．[5，＋∞)[由題意得a12＝a9＋3d，即8＋3d≥23，解得d≥5.]7．在等差數(shù)列{an}中，公差d＝2，a1＋a3＋a5＝27，a2＋a4＋a6＝________.33[依據(jù)數(shù)列{an}為等差數(shù)列，得a1＋a3＋a5＝3a3所以a3＝9，又d＝2，所以a4＝11.所以a2＋a4＋a6＝3a4＝3×11＝33.]8．若數(shù)列{an}滿意2an＝an＋1＋an－1，且a15＝8，a60＝20，則a75＝________.24[因?yàn)?an＝an＋1＋an－1，所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列，故45d＝a60－a15＝12，即d＝eq\f(4,15)，a75＝a60＋15d＝20＋15×eq\f(4,15)＝24.]三、解答題9．首項(xiàng)為a1，公差為d的正整數(shù)的等差數(shù)列{an}滿意下列兩個(gè)條件：(1)a3＋a5＋a7＝93；(2)滿意an>100的n的最小值是15，試求公差d和首項(xiàng)a1的值．[解]因?yàn)閍3＋a5＋a7＝93，所以3a5＝93，所以a5＝31，所以an＝a5＋(n－5)d>100，所以n>eq\f(69,d)＋5.因?yàn)閚的最小值是15，所以14≤eq\f(69,d)＋5<15，所以6eq\f(9,10)<d≤7eq\f(2,3)，又d為正整數(shù)，所以d＝7，a1＝a5－4d＝3.10．(1)已知{an}是等差數(shù)列，且a1－a4＋a8－a12＋a15＝2，求a3＋a13的值；(2)已知在等差數(shù)列{an}中，若a49＝80，a59＝100，求a79.[解](1)∵{an}是等差數(shù)列，∴a1＋a15＝a4＋a12＝a3＋a13＝2a8又∵a1－a4＋a8－a12＋a15＝2，∴a8＝2，即a3＋a13＝2a8＝2×2＝4.(2)∵{an}是等差數(shù)列，可設(shè)公差為d.由a59＝a49＋10d，知10d＝100－80，解得d＝2.又∵a79＝a59＋20d，∴a79＝100＋20×2＝140.[實(shí)力提升練]1．?dāng)?shù)列{an}滿意3＋an＝an＋1且a2＋a4＋a6＝9，則log6(a5＋a7＋a9)的值是()A．－2 B．－eq\f(1,2)C．2 D．eq\f(1,2)C[∵an＋1－an＝3，∴{an}為等差數(shù)列，且d＝3.a2＋a4＋a6＝9＝3a4，∴a4a5＋a7＋a9＝3a7＝3(a4＋3d∴l(xiāng)og6(a5＋a7＋a9)＝log636＝2.]2．等差數(shù)列的前三項(xiàng)依次是x－1，x＋1,2x＋3，則其通項(xiàng)公式為()A．a(chǎn)n＝2n－5 B．a(chǎn)n＝2n－3C．a(chǎn)n＝2n－1 D．a(chǎn)n＝2n＋1B[∵x－1，x＋1,2x＋3是等差數(shù)列的前三項(xiàng)，∴2(x＋1)＝x－1＋2x＋3，解得x＝0.∴a1＝x－1＝－1，a2＝1，a3＝3，∴d＝2，∴an＝－1＋(n－1)·2＝2n－3.]3．?dāng)?shù)列{an}滿意遞推關(guān)系an＝3an－1＋3n－1(n∈N＋，n≥2)，a1＝5，則使得數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an＋m,3n)))為等差數(shù)列的實(shí)數(shù)m的值為________．－eq\f(1,2)[a1＝5，a2＝3×5＋32－1＝23，a3＝3×23＋33－1＝95，依題意得eq\f(5＋m,3)，eq\f(23＋m,32)，eq\f(95＋m,33)成等差數(shù)列，∴2·eq\f(23＋m,32)＝eq\f(5＋m,3)＋eq\f(95＋m,33)，∴m＝－eq\f(1,2).]4．在如下數(shù)表中，已知每行、每列中的數(shù)都成等差數(shù)列．第1列第2列第3列…第1行123…第2行246…第3行369………………那么位于表中的第n行第n＋1列的數(shù)是________．n2＋n[視察可知，第n行的數(shù)構(gòu)成以n為首項(xiàng)，n為公差的等差數(shù)列，所以第n行第n＋1列的數(shù)是n＋[(n＋1)－1]×n＝n2＋n.]5．已知無窮等差數(shù)列{an}，首項(xiàng)a1＝3，公差d＝－5，依次取出項(xiàng)的序號被4除余3的項(xiàng)組成數(shù)列{bn}．(1)求b1和b2；(2)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；(3)數(shù)列{bn}中的第110項(xiàng)是數(shù)列{an}中的第幾項(xiàng)？[解](1)由題意，等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝3＋(n－1)(－5)＝8－5n，設(shè)數(shù)列{bn}的第n項(xiàng)是數(shù)列{an}的第m項(xiàng)，則滿意m＝4n－1，n∈N＋，所以b1＝a3＝8－5×3＝－7，b2＝a7＝8－5×7＝－27.(2)由(1)知bn＋1－bn＝a4(n＋1)－1－a4n－1＝4d＝－20，所