2024-2025學年高中數(shù)學第3章統(tǒng)計案例1回歸分析學案北師大版選修2-3

PAGE1-1.1回來分析1.2相關系數(shù)1.3可線性化的回來分析學習目標核心素養(yǎng)1.了解回來分析的思想和方法．(重點)2．駕馭相關系數(shù)的計算和推斷線性相關的方法．(重點)3．了解常見的非線性回來模型轉化為線性回來模型的方法．(難點)通過對回來分析的學習，培育“邏輯推理”、“數(shù)學抽象”、“數(shù)學運算”的數(shù)學素養(yǎng).1．回來分析設變量y對x的線性回來方程為y＝a＋bx，由最小二乘法知系數(shù)的計算公式為：b＝eq\f(lxy,lxx)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(\x\to(x))\o(\x\to(y)),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x).思索：在回來分析中，通過線性回來方程求出的函數(shù)值肯定是實數(shù)值嗎？為什么？[提示]不肯定是實數(shù)值，例如，人的體重與身高存在肯定的線性關系，但體重除了受身高的影響外，還受其他因素的影響，如飲食狀況，是否喜愛運動等．2．相關系數(shù)(1)相關系數(shù)r的計算假設兩個隨機變量的數(shù)據(jù)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，則變量間線性相關系數(shù)r＝eq\f(lxy,\r(lxxlyy))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)\r(\i\su(i＝1,n,)yi－\x\to(y)2))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(\x\to(x))\o(\x\to(y)),\r(\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)\r(\i\su(i＝1,n,y)\o\al(2,i)－n\x\to(y)2)).(2)相關系數(shù)r與線性相關程度的關系①r的取值范圍為[－1,1]；②|r|值越大，誤差Q越小，變量之間的線性相關程度越高；③|r|值越接近0，誤差Q越大，變量之間的線性相關程度越低．3．相關性的分類①當r>0時，兩個變量正相關；②當r<0時，兩個變量負相關；③當r＝0時，兩個變量線性不相關．4．可線性化的回來分析(1)非線性回來分析對不具有線性相關關系的兩個變量做統(tǒng)計分析，通過變量代換，轉化為線性回來模型．(2)非線性回來方程曲線方程曲線圖形變換公式變換后的線性函數(shù)y＝axb(a＝1，b＞0)(a＝1，b＜0)c＝lnav＝lnxu＝lnyu＝c＋bvy＝aebx(a＞0，b＞0)(a＞0，b＜0)c＝lnau＝lnyu＝c＋bxy＝aeeq\f(b,x)(a＞0，b＞0)(a＞0，b＜0)c＝lnav＝eq\f(1,x)u＝lnyu＝c＋bvy＝a＋blnx(b＞0)(b＜0)v＝lnxu＝y(tǒng)u＝a＋bv1．推斷下列命題是否正確．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)兩個變量的相關系數(shù)r＞0，則兩個變量正相關． ()(2)兩個變量的相關系數(shù)越大，它們的相關程度越強． ()(3)若兩個變量負相關，那么其回來直線的斜率為負． ()[答案](1)√(2)×(3)√2．相關系數(shù)r的取值范圍是()A．[－1,1] B．[－1,0]C．[0,1] D．(－1,1)[答案]A3．下列數(shù)據(jù)x，y符合哪一種函數(shù)模型()x12345678910y22.6933.383.63.844.084.24.3A．y＝2＋eq\f(1,3)x B．y＝2exC．y＝2eeq\s\up12(eq\f(1,x)) D．y＝2＋lnxD[分別將x的值代入解析式推斷知滿意y＝2＋lnx．]4．已知變量x與y正相關，且由觀測數(shù)據(jù)算得樣本平均數(shù)eq\x\to(x)＝3，eq\x\to(y)＝3.5，則由該觀測數(shù)據(jù)算得線性回來方程可能為()A．y＝0.4x＋2.3 B．y＝2x－2.4C．y＝－2x＋9.5 D．y＝－0.3x＋4.4A[本題考查了線性回來方程，由已知變量x與y正相關，解除C，D選項．將點(3,3.5)代入A、B選項的方程中可知，選項A成立，所以選A.]變量間的相關關系及推斷【例1】(1)兩個變量x，y與其線性相關系數(shù)r有下列說法：①若r＞0，則x增大時，y也隨之相應增大；②若r＜0，則x增大時，y也相應增大；③若r＝1或r＝－1，則x與y的關系完全對應(有函數(shù)關系)，在散點圖上各個散點均在一條直線上，其中正確的有()A．①②B．②③C．①③D．①②③(2)有五組變量：①汽車的重量和汽車每消耗1升汽油所行駛的平均路程；②平均日學習時間和平均學習成果；③某人每日吸煙量和其身體健康狀況；④正方形的邊長和面積；⑤汽車的重量和百公里耗油量．其中兩個變量成正相關的是()A．①③B．②④C．②⑤D．④⑤[解](1)依據(jù)兩個變量的相關性與其相關系數(shù)r之間的關系知，①③正確，②錯誤，故選C.(2)其中①③成負相關關系，②⑤成正相關關系，④成函數(shù)關系，故選C.[答案](1)C(1)C(2)C1．線性相關系數(shù)是從數(shù)值上來推斷變量間的線性相關程度，是定量的方法．與散點圖相比較，線性相關系數(shù)要精細得多，須要留意的是線性相關系數(shù)r的肯定值小，只是說明線性相關程度低，但不肯定不相關，可能是非線性相關．2．利用相關系數(shù)r來檢驗線性相關顯著性水平常，通常與0.75作比較，若r>0.75，則線性相關較為顯著，否則為不顯著．1．下列兩變量中具有相關關系的是()A．正方體的體積與邊長B．人的身高與體重C．勻速行駛車輛的行駛距離與時間D．球的半徑與體積B[選項A中正方體的體積為邊長的立方，有固定的函數(shù)關系；選項C中勻速行駛車輛的行駛距離與時間成正比，也是函數(shù)關系；選項D中球的體積是eq\f(4,3)π與半徑的立方相乘，有固定函數(shù)關系．只有選項B中人的身高與體重具有相關關系．]線性回來方程【例2】某班5名學生的數(shù)學和物理成果如下表： 學生學科ABCDE數(shù)學成果(x)8876736663物理成果(y)7865716461(1)畫出散點圖；(2)求物理成果y對數(shù)學成果x的線性回來方程；(3)一名學生的數(shù)學成果是96，試預料他的物理成果．[解](1)散點圖如圖．(2)eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)×(88＋76＋73＋66＋63)＝73.2，eq\x\to(y)＝eq\f(1,5)×(78＋65＋71＋64＋61)＝67.8.eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do6(i＝1))xiyi＝88×78＋76×65＋73×71＋66×64＋63×61＝25054.eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do6(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝882＋762＋732＋662＋632＝27174.所以b＝eq\f(\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xiyi－5\o(\x\to(x))\o(\x\to(y)),\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))x\o\al(2,i)－5\x\to(x)2)＝eq\f(25054－5×73.2×67.8,27174－5×73.22)≈0.625.a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)≈67.8－0.625×73.2＝22.05.所以y對x的回來直線方程是y＝22.05＋0.625x.(3)x＝96，則y＝0.625×96＋22.05≈82，即可以預料他的物理成果是82.求回來直線方程的基本步驟2．從某居民區(qū)隨機抽取10個家庭，獲得第i個家庭的月收入xi(單位：千元)與月儲蓄yi(單位：千元)的數(shù)據(jù)資料，算得eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do6(i＝1))xi＝80，eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do6(i＝1))yi＝20，eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do6(i＝1))xiyi＝184，eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do6(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝720.(1)求家庭的月儲蓄y對月收入x的線性回來方程y＝bx＋a；(2)推斷變量x與y之間是正相關還是負相關；(3)若該居民區(qū)某家庭月收入為7千元，預料該家庭的月儲蓄．[解](1)由題意知n＝10，eq\x\to(x)＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do6(i＝1))xi＝eq\f(80,10)＝8，eq\x\to(y)＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do6(i＝1))yi＝eq\f(20,10)＝2.又eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do6(i＝1))xeq\o\al(2,i)－neq\x\to(x)2＝720－10×82＝80，eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do6(i＝1))xiyi－neq\o(\x\to(x))eq\o(\x\to(y))＝184－10×8×2＝24，由此可得b＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do6(i＝1))xiyi－n\o(\x\to(x))\o(\x\to(y)),\o(∑,\s\up6(n),\s\do6(i＝1))x\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)＝eq\f(24,80)＝0.3，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)＝2－0.3×8＝－0.4，故所求回來方程為y＝0.3x－0.4.(2)由于變量y的值隨x的值增加而增加(b＝0.3>0)，故x與y之間是正相關．(3)將x＝7代入回來方程可以預料該家庭的月儲蓄為y＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．可線性化的回來分析[探究問題]1．如何解答非線性回來問題？[提示]非線性回來問題有時并不給出閱歷公式．這時我們可以畫出已知數(shù)據(jù)的散點圖，把它與學過的各種函數(shù)(冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等)圖像作比較，選擇一種跟這些散點擬合得最好的函數(shù)，然后采納適當?shù)淖兞孔儞Q，把問題化為線性回來分析問題，使之得到解決．其一般步驟為：2．已知x和y之間的一組數(shù)據(jù)，則下列四個函數(shù)中，模擬效果最好的為哪一個？x123y35.9912.01①y＝3×2x－1;②y＝log2x；③y＝4x;④y＝x2.[提示]視察散點圖中樣本點的分布規(guī)律可推斷樣本點分布在曲線y＝3×2x－1旁邊，所以模擬效果最好的為①.【例3】某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值如下表：身高x(cm)60708090100110體重y(kg)6.137.909.9912.1515.0217.50身高x(cm)120130140150160170體重y(kg)20.9226.8631.1138.8547.2555.05(1)試建立y與x之間的回來方程；(2)假如一名在校男生身高為168cm，預料他的體重約為多少？思路探究：先由散點圖確定相應的擬合模型，再通過對數(shù)變換將非線性相關轉化為線性相關的兩個變量來求解．[解](1)依據(jù)表中的數(shù)據(jù)畫出散點圖，如下：由圖看出，這些點分布在某條指數(shù)型函數(shù)曲線y＝c1ec2x的四周，于是令z＝lny，列表如下：x60708090100110z1.812.072.302.502.712.86x120130140150160170z3.043.293.443.663.864.01作出散點圖，如下：由表中數(shù)據(jù)可求得z與x之間的回來直線方程為eq\o(z,\s\up6(^))＝0.693＋0.020x，則有y＝e0.693＋0.020x.(2)由(1)知，當x＝168時，y＝e0.693＋0.020×168≈57.57，所以在校男生身高為168cm，預料他的體重約為57.57kg.兩個變量不具有線性關系，不能干脆利用線性回來方程建立兩個變量的關系，可以通過變換的方法轉化為線性回來模型，如y＝c1eeq\s\up8(c2x)，我們可以通過對數(shù)變換把指數(shù)關系變?yōu)榫€性關系，令z＝lny，則變換后樣本點應當分布在直線z＝bx＋a(a＝lnc1，b＝c2)的四周．3．在一次抽樣調查中測得樣本的5個樣本點，數(shù)據(jù)如下表：x0.250.5124y1612521試建立y與x之間的回來方程．[解]作出變量y與x之間的散點圖如圖所示．由圖可知變量y與x近似地呈反比例函數(shù)關系．設y＝eq\f(k,x)，令t＝eq\f(1,x)，則y＝kt.由y與x的數(shù)據(jù)表可得y與t的數(shù)據(jù)表：t4210.50.25y1612521作出y與t的散點圖如圖所示．由圖可知y與t呈近似的線性相關關系．又eq\x\to(t)＝1.55，eq\x\to(y)＝7.2，eq\i\su(i＝1,5,t)iyi＝94.25，eq\i\su(i＝1,5,t)eq\o\al(2,i)＝21.3125，b＝eq\f(\i\su(i＝1,5,t)iyi－5\o(\x\to(t))\o(\x\to(y)),\i\su(i＝1,5,t)\o\al(2,i)－5\x\to(t)2)＝eq\f(94.25－5×1.55×7.2,21.3125－5×1.552)≈4.1344，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(t)＝7.2－4.1344×1.55≈0.8，∴y＝4.1344t＋0.8.所以y與x的回來方程是y＝eq\f(4.1344,x)＋0.8.1．回來分析是對具有相關關系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種常用方法．2．推斷變量之間的線性相關關系，一般用散點圖，但在作圖中，由于存在誤差，有時很難推斷這些點是否分布在一條直線的旁邊，從而就很難推斷兩個變量之間是否具有線性相關關系，此時就必需利用線性相關系數(shù)來推斷．3．回來直線y＝a＋bx過點(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))，其中eq\x\to(x)＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi，eq\x\to(y)＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))yi.4．相關系數(shù)r可以定量地反映出變量間的相關程度，明確的給出有無必要建立兩變量間的線性回來方程.1．下列結論正確的是()①函數(shù)關系是一種確定性關系；②相關關系是一種非確定性關系；③回來分析是對具有函數(shù)關系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種方法；④回來分析是對具有相關關系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種常用方法．A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④C[函數(shù)關系和相關關系的區(qū)分是前者是確定性關系，后者是非確定性關系，故①②正確；回來分析是對具有相關關系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種方法，故③錯誤，④正確．]2．下表是x和y之間的一組數(shù)據(jù)，則y關于x的線性回來方程必過點()x1234y1357A．(2,3) B．(1.5,4)C．(2.5,4) D．(2.5,5)C[線性回來方程必過樣本點的中心(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))，即(2.5,4)，故選C.]3．調查了某地若干戶家庭的年收入x(單位：萬元)和年飲食支出y(單位：萬元)，調查顯示年收入