全優(yōu)課堂·數(shù)學(xué)·選擇性必修第三冊(人教A版)·課件 7.3.2 離散型隨機(jī)變量的方差

第七章隨機(jī)變量及其分布7.3離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征7.3.2離散型隨機(jī)變量的方差學(xué)習(xí)目標(biāo)素養(yǎng)要求1.理解離散型隨機(jī)變量的方差的概念、意義及性質(zhì)數(shù)學(xué)抽象2.會根據(jù)簡單離散型隨機(jī)變量的分布列求方差數(shù)學(xué)運(yùn)算3.會利用離散型隨機(jī)變量的方差解決簡單的實(shí)際問題數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算自學(xué)導(dǎo)引(1)設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為方差離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差(2)意義：離散型隨機(jī)變量的方差D(X)是一個數(shù)值，是隨機(jī)變量X的一個數(shù)字特征，反映隨機(jī)變量取值的離散程度．Xx1x2…xnPp1p2…pn標(biāo)準(zhǔn)差1．離散型隨機(jī)變量的方差和樣本方差之間有何關(guān)系？提示：(1)離散型隨機(jī)變量的方差即為總體的方差，它是一個常數(shù)，不隨樣本的變化而變化．(2)樣本方差則是隨機(jī)變量，它是隨樣本不同而變化的．2．服從兩點(diǎn)分布的隨機(jī)變量的方差是什么？提示：若X服從兩點(diǎn)分布，則D(X)＝p(1－p)．D(aX＋b)＝__________．a(chǎn)2D(X)離散型隨機(jī)變量的性質(zhì)1．辨析記憶(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)離散型隨機(jī)變量的方差越大，

隨機(jī)變量越穩(wěn)定． (

)(2)若a是常數(shù)，

則D(a)＝0．

(

)(3)離散型隨機(jī)變量的方差反映了隨機(jī)變量偏離于期望的平均程度．

(

)(4)若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，且成功的概率p＝0.5,則D(X)＝0.25. (

)【答案】(1)×

(2)√

(3)√

(4)√2．(教材改編題)已知隨機(jī)變量X的分布列為則D(X)等于

(

)A．0.7

B．0.61

C．－0.3

D．0【答案】B【解析】E(X)＝－1×0.5＋0×0.3＋1×0.2＝－0.3，∴D(X)＝(－1＋0.3)2×0.5＋(0＋0.3)2×0.3＋(1＋0.3)2×0.2＝0.61．X－101P0.50.30.2【答案】C4．(教材改編題)設(shè)隨機(jī)變量X的方差D(X)＝1，則D(2X＋1)的值為________．【答案】4【解析】D(2X＋1)＝22D(X)＝4×1＝4．課堂互動(1)(2024年成都期中)若隨機(jī)變量X

的可能取值為1，2，3，4，且P(X＝k)＝λk(k＝1，2，3，4)，則D(X)＝ (

)A．1

B．2 C．3

D．4題型1求離散型隨機(jī)變量的方差求離散型隨機(jī)變量X的方差的步驟(1)根據(jù)題意，寫出X的所有可能取值；(2)求出X取每個值對應(yīng)的概率；(3)寫出X的分布列；(4)由方差的定義求出D(X)．1．(2024年海南聯(lián)考)編號為1，2，3的三位學(xué)生隨意入座編號為1，2，3的三個座位，每位學(xué)生坐一個座位，設(shè)與座位編號相同的學(xué)生的人數(shù)是ξ，求E(ξ)和D(ξ)．解：ξ的所有可能取值為0，1，3，ξ＝0表示三位同學(xué)全坐錯了，有2種情況，即編號為1，2，3的座位上分別坐了編號為2，3，1或3，1，2的學(xué)生，(1)(多選)若隨機(jī)變量X的分布列為題型2離散型隨機(jī)變量方差的性質(zhì)已知隨機(jī)變量Y＝aX＋b(a，b∈R)且E(Y)＝10，D(Y)＝4，則a與b的值可以分別為

(

)A．a(chǎn)＝10，b＝3

B．a(chǎn)＝3，b＝10C．a(chǎn)＝5，b＝6

D．a(chǎn)＝－5，b＝14X01P0.2m【答案】(1)CD

(2)5【解析】(1)因?yàn)?.2＋m＝1，所以m＝0.8.由兩點(diǎn)分布，知E(X)＝0.8，D(X)＝0.8×0.2＝0.16.因?yàn)閅＝aX＋b(a，b∈R)，E(Y)＝10，D(Y)＝4，所以aE(X)＋b＝0.8a＋b＝10，a2D(X)＝0.16a2＝4，解得a＝5，b＝6或a＝－5，b＝14．方差的計算需要一定的運(yùn)算能力，公式的記憶不能出錯，注意方差性質(zhì)的應(yīng)用，如D(aX＋b)＝a2D(X)，這樣處理既避免了求隨機(jī)變量aX＋b的分布列，又避免了復(fù)雜的計算．2．已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為(2024年汕頭期中)某短視頻軟件經(jīng)過幾年的快速發(fā)展，深受人們的喜愛，該軟件除了有娛樂屬性外，也可通過平臺推送廣告．某公司為了宣傳新產(chǎn)品，現(xiàn)有以下兩種宣傳方案：方案一：投放該平臺廣告，據(jù)市場調(diào)研，其收益X分別為0元，20萬元，40萬元，且P(X＝20)＝0.3，期望E(X)＝30．方案二：投放傳統(tǒng)廣告，據(jù)市場調(diào)研，其收益Y分別為10萬元，20萬元，30萬元，其概率依次為0.3，0.4，0.3．題型3隨機(jī)變量方差的實(shí)際應(yīng)用(1)請寫出方案一的分布列，并求方差D(X)；(2)請你根據(jù)所學(xué)的統(tǒng)計知識給出建議，該公司宣傳應(yīng)該投放哪種廣告？并說明你的理由．解：(1)設(shè)P(X＝0)＝a，P(X＝40)＝b，依題意得a＋b＋0.3＝1①，又E(X)＝0×a＋20×0.3＋40b＝30②，由①②解得a＝0.1，b＝0.6．∴X的分布列為X02040P0.10.30.6則D(X)＝(0－30)2×0.1＋(20－30)2×0.3＋(40－30)2×0.6＝180.(2)由題得Y的分布列為則E(Y)＝10×0.3＋20×0.4＋30×0.3＝20，D(Y)＝(10－20)2×0.3＋(20－20)2×0.4＋(30－20)2×0.3＝60．由E(X)>E(Y)可知采用平臺廣告投放期望收益較大，又D(X)>D(Y)，說明平臺廣告投放的風(fēng)險較高．綜上所述，如果公司期望高收益，選擇平臺廣告；如果公司期望收益穩(wěn)定，選擇傳統(tǒng)廣告．Y102030P0.30.40.3離散型隨機(jī)變量的均值與方差在決策中的應(yīng)用(1)比較均值：離散型隨機(jī)變量的均值反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平，

因此，

在實(shí)際決策問題中，

需先計算均值，看一下誰的平均水平高；(2)在均值相等的情況下計算方差：方差反映了離散型隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度，通過計算方差，分析一下誰的水平發(fā)揮相對穩(wěn)定；(3)下結(jié)論：依據(jù)均值和方差的意義得出結(jié)論．3．(2024年南平期末)某公司舉辦公司員工聯(lián)歡晩會，為活躍氣氛，計劃舉行摸獎活動，有兩種方案：方案一：不放回從裝有2個紅球和4個白球的箱子中隨機(jī)摸出3個球，每摸出一紅球獎勵100元；方案二：有放回從裝有2個紅球和4個白球的箱子中隨機(jī)摸出3個球，每摸出一紅球獎勵100元，分別用隨機(jī)變量X，Y

表示某員工按方案一和方案二抽獎的獲獎金額．(1)求隨機(jī)變量X

的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)用統(tǒng)計知識分析，為使公司員工獲獎金額相對均衡，應(yīng)選擇哪種方案？請說明理由．素養(yǎng)訓(xùn)練1．(題型2)若離散型隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差為8，則2X－1的標(biāo)準(zhǔn)差為

(

)A．8 B．15C．16 D．32【答案】C【答案】ABC【答案】D5．(題型3)已知甲、乙兩家工廠生產(chǎn)的燈泡的壽命X和Y(單位：時)的分布列如下表所示：X90010001100P0.10.80.1Y95010001050P0.30.40.3試問哪家工廠生產(chǎn)的燈泡質(zhì)量較好？解：由期望的定義，得E(X)＝900×0.1＋1000×0.8＋1100×0.1＝1000，E(Y)＝950×0.3＋1000×0.4＋1050×0.3＝1000．由方差的定義，得D(X)＝(900－1000)2×0.1＋(1000－1000)2×0.8＋(1100－1000)2×0