備戰(zhàn)2023年高考數(shù)學一輪復習-第1講-函數(shù)的概念及其表示

第1講函數(shù)的概念及其表示第二章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)考向預測核心素養(yǎng)以基本初等函數(shù)為載體，考查函數(shù)的表示法、定義域，分段函數(shù)以及函數(shù)與其他知識的綜合是高考熱點，題型既有選擇題、填空題，又有解答題，中檔偏上難度.數(shù)學抽象、數(shù)學運算01基礎知識回顧一、知識梳理1．函數(shù)的有關概念2．函數(shù)的三要素：定義域、值域、__________．3．函數(shù)的表示法表示函數(shù)的常用方法有：________、________、________．[注意]函數(shù)圖象的特征：與x軸垂直的直線與其最多有一個公共點．利用這個特征可以判斷一個圖形能否作為一個函數(shù)的圖象．對應關系解析法圖象法列表法4．分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域的______子集上，因對應關系不同而分別用幾個____________來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)．[注意]分段函數(shù)是一個函數(shù)，而不是幾個函數(shù)，分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集．不同不同的式子

常用結論1．幾種常見函數(shù)的定義域(1)f(x)為分式型函數(shù)時，定義域為使分母不為零的實數(shù)集合．(2)f(x)為偶次根式型函數(shù)時，定義域為使被開方式非負的實數(shù)的集合．(3)f(x)為對數(shù)式時，函數(shù)的定義域是使真數(shù)為正數(shù)、底數(shù)為正且不為1的實數(shù)集合．(4)若f(x)＝x0，則定義域為{x|x≠0}．(5)f(x)為指數(shù)式時，函數(shù)的定義域是使底數(shù)大于0且不等于1的實數(shù)集合．2．直線x＝a(a是常數(shù))與函數(shù)y＝f(x)的圖象有0個或1個交點．3．判斷兩個函數(shù)相等的依據(jù)是兩個函數(shù)的定義域和對應關系完全一致．√2．(人A必修第一冊P73習題3.1T11改編)函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，則f(x)的定義域是________；值域是________；其中只有唯一的x值與之對應的y值的范圍是________．答案：[－3，0]∪[2，3]

[1，5]

[1，2)∪(4，5]一、思考辨析判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)函數(shù)f(x)＝x2－2x與g(t)＝t2－2t是同一個函數(shù)．(

)(2)若兩個函數(shù)的定義域與值域相同，則這兩個函數(shù)是同一個函數(shù)．(

)(3)函數(shù)f(x)的圖象與直線x＝1最多有一個交點．(

)(4)分段函數(shù)是由兩個或幾個函數(shù)組成的．(

)√××√√√二、易錯糾偏1．(多選)(函數(shù)的概念理解易錯)下列圖形中可以表示以M＝{x|0≤x≤1}為定義域，N＝{y|0≤y≤1}為值域的函數(shù)的圖象是(

)解析：A選項中的值域不滿足，D選項不是函數(shù)的圖象，由函數(shù)的定義可知選項B，C正確．√解析：對于A，函數(shù)f(x)的定義域為R，g(x)的定義域為{x|x≠－1}，f(x)與g(x)的定義域不相同，則不是同一個函數(shù)；對于B，函數(shù)f(x)的定義域為R，g(x)的定義域為R,f(x)與g(x)的定義域相同,f(x)＝|x＋1|＝

對應關系相同，即f(x)與g(x)是同一個函數(shù)；對于C，函數(shù)f(x)的定義域為R，g(x)的定義域為{x|x≠－1}，f(x)與g(x)的定義域不相同，則不是同一個函數(shù)；對于D，函數(shù)f(x)的定義域為R，g(x)的定義域為{x|x≥0}，f(x)與g(x)的定義域不相同，則不是同一個函數(shù)．故選B.3．(忽略抽象函數(shù)定義域致誤)已知函數(shù)f(x＋1)的定義域為[1，3]，則f(2x)的定義域為(

)A．[1，2]B.[1，3]

C.[2，4]

D.[2，6]解析：因為函數(shù)f(x＋1)的定義域為[1，3]，所以函數(shù)f(x)的定義域為[2，4]．要求f(2x)的定義域，只需2≤2x≤4，解得1≤x≤2.√02核心考點共研考點一函數(shù)的定義域(多維探究)復習指導：學習用集合與對應的語言來刻畫函數(shù)，了解構成函數(shù)的要素，會求一些簡單函數(shù)的定義域．√√求函數(shù)定義域的兩種方法方法解讀適合題型直接法構造使解析式有意義的不等式(組)求解已知函數(shù)的具體解析式，求f(x)的定義域方法解讀適合題型轉移法若y＝f(x)的定義域為(a，b)，則解不等式a<g(x)<b即可求出y＝f(g(x))的定義域已知f(x)的定義域，求f(g(x))的定義域若y＝f(g(x))的定義域為(a，b)，則求出g(x)在(a，b)上的值域即得f(x)的定義域已知f(g(x))的定義域，求f(x)的定義域[提醒]

定義域是一個集合，要用集合或區(qū)間表示，若用區(qū)間表示數(shù)集，不能用“或”連接，而應該用并集符號“∪”連接．√已知函數(shù)的定義域求參數(shù)的取值范圍，通常是根據(jù)已知的定義域將問題轉化為方程或不等式恒成立的問題，然后求得參數(shù)的值或范圍．√

√3．(2022·寧夏銀川一中第一次月考)已知函數(shù)y＝f(x)的定義域是[－2，3]，則y＝f(2x－1)的定義域是________．考點二函數(shù)的解析式(自主練透)復習指導：在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù)．1．已知函數(shù)f(x)滿足f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，則f(x)＝________．方法二(配湊法)：因為f(2x＋1)＝4x2－6x＋5＝(2x＋1)2－10x＋4＝(2x＋1)2－5(2x＋1)＋9，所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．答案：x2－5x＋9(x∈R)2．已知f(x)是二次函數(shù)且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，則f(x)＝________．解析：設f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝2，得c＝2，f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2－ax2－bx－2＝x－1，即2ax＋a＋b＝x－1，3．定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)＝2f(x)．若當0≤x≤1時，f(x)＝x(1－x)，則當－1≤x≤0時，f(x)＝________．求函數(shù)解析式的四種方法考點三分段函數(shù)(多維探究)復習指導：通過具體實例，了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應用．【答案】

(1)－5－6

關于分段函數(shù)求值問題的解題思路(1)求函數(shù)值：先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求值，當出現(xiàn)f(f(a))的形式時，應從內到外依次求值．(2)求自變量的值：先假設所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應自變量的值，切記要代入檢驗．√A．(－∞，－1]B.(0，＋∞)C．(－1，0)D.(－∞，0)【解析】

(2)因為f(x)＝所以函數(shù)f(x)的圖象如圖所示．由圖可知，當x＋1≤0且2x≤0時，函數(shù)f(x)為減函數(shù)，故f(x＋1)＜f(2x)轉化為x＋1＞2x.此時x≤－1.√當2x＜0且x＋1＞0時，f(2x)＞1，f(x＋1)＝1，滿足f(x＋1)＜f(2x)．此時－1＜x＜0.綜上，不等式f(x＋1)＜f(2x)的解集為(－∞，－1]∪(－1，0)＝(－∞，0)解有關分段函數(shù)不等式問題，要按照分段函數(shù)的“分段”進行分類討論，從而將問題轉化為簡單的不等式組來解．解析：當m≥2時，m2－1＝3，所以m＝2或m＝－2(舍去)；當0<m<2時，log2m＝3，所以m＝8(舍去)．答案：－12．已知函數(shù)f(x)＝

若a[f(a)－f(－a)]>0，則實數(shù)a的取值范圍為________．解析：由題意知，a≠0，當a>0時，不等式a[f(a)－f(－a)]>0可化為a2＋a－3a>0，解得a>2.當a<0時，不等式a[f(a)－f(－a)]>0可化為－a2－2a<0，解得a<－2.綜上所述，a的取值范圍為(－∞，－2)∪(2，＋∞)．答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)考點四函數(shù)的新定義問題(綜合研析)復習指導：能從函數(shù)的新定義中得到函數(shù)的概念或性質，求解有關問題．

(多選)(2022·廣東深圳3月模擬)在平面直角坐標系中，橫坐標、縱坐標均為整數(shù)的點稱為整點，若函數(shù)f(x)的圖象恰好經(jīng)過n(n∈N*)個整點，則稱函數(shù)f(x)為n階整點函數(shù)．下列函數(shù)是一階整點函數(shù)的是(

)A．f(x)＝sin2x B.g(x)＝x3C．h(x)＝ D.φ(x)＝lnx√√【解析】

對于函數(shù)f(x)＝sin2x，它的圖象(圖略)只經(jīng)過一個整點(0，0)，所以它是一階整點函數(shù)；對于函數(shù)g(x)＝x3，它的圖象(圖略)經(jīng)過整點(0，0)，(1，1)，…，所以它不是一階整點函數(shù)；對于函數(shù)h(x)＝

它的圖象(圖略)經(jīng)過整點(0，1)，(－1，3)，…，所以它不是一階整點函數(shù)；對于函數(shù)φ(x)＝lnx，它的圖象(圖略)只經(jīng)過一個整點(1，0)，所以它是一階整點函數(shù)．(1)函數(shù)新定義問題的一般形式是由命題者先給出一個新的概念、新的運算法則，或者給出一個抽象函數(shù)的性質等，然后讓學生按照這種“新定義”去解決相關的問題．(2)解決函數(shù)新定義問題的關鍵是緊扣新定義，學會語言的翻譯和新舊知識的轉化，可以培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象的核心素養(yǎng)．解析：由條件(1)，得f(x)是R上的奇函數(shù)，由條件(2)，得f(x)是R上的單調遞減函數(shù)．對于①，f(x)＝sinx在R上不單調，故不是“優(yōu)美函數(shù)”；對于②，f(x)＝－2x3既是奇函數(shù)，又在R上單調遞減，故是“優(yōu)美函數(shù)”；對于③，f(x)＝1－x不是奇函數(shù)，故不是“優(yōu)美函數(shù)”．答案：②03課后達標檢測√2．(2022·安徽合肥模擬)若二次函數(shù)g(x)滿足g(1)＝1，g(－1)＝5且圖象過原點，則g(x)的解析式為(

)A．g(x)＝2x2－3x B.g(x)＝3x2－2xC．g(x)＝3x2＋2x D.g(x)＝－3x2－2x解析：設g(x)＝ax2＋bx(a≠0)，可得

解得a＝3，b＝－2，所以二次函數(shù)g(x)的解析式為g(x)＝3x2－2x.√√√√解析：對于A，f(x)的定義域為{x|x≠0}，g(x)的定義域為{x|x>0}，兩個函數(shù)的定義域不相同，不是相等函數(shù)；對于B，f(x)的定義域為R，g(x)的定義域為{x|x≥0}，兩個函數(shù)的定義域不相同，不是相等函數(shù)；對于C，g(x)＝

＝x(x∈R)，兩函數(shù)的定義域和對應關系相同，是相等函數(shù)；對于D，g(x)＝logaax＝x，x∈R，兩個函數(shù)的定義域和對應關系相同，是相等函數(shù)．5.(2022·日照高三第一次適應性聯(lián)考)老舍在《濟南的冬天》中寫到“濟南的冬天是沒有風聲的，濟南的冬天是響晴的，濟南真得算個寶地．”濟南市某一天內的氣溫Q(t)(單位：℃)與時刻t(單位：時)之間的關系如圖所示，令C(t)表示時間段[0，t]內的溫差(即時間段[0，t]內最高溫度與最低溫度的差)，下列圖象能表示C(t)與t之間的函數(shù)關系的是(

)√解析：由題意C(t)，從0到4逐漸增大，從4到8不變，從8到12逐漸增大，從12到20不變，從20到24又逐漸增大，從4到8不變，是常數(shù)，該常數(shù)為2，只有D滿足．√解析：因為y＝－x2＋x，在(－∞，0]上單調遞增，

y＝ln(x＋1)在(0，＋∞)上單調遞增，又因為f(0)＝0，所以f(x)在R上單調遞增，又不等式f(6－x2)>f(5x)，所以6－x2>5x，解得－6<x<1.解析：因為f(1)＝2，且f(1)＋f(a)＝0，所以f(a)＝－2<0，故a≤0.依題知a＋1＝－2，解得a＝－3.答案：－39．若f(x)對于任意實數(shù)x恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1，則f(1)＝________．解析：令x＝1，得2f(1)－f(－1)＝4，①令x＝－1，得2f(－1)－f(1)＝－2，②聯(lián)立①②得，f(1)＝2.答案：2解①得x≤－1，解②得x≥1，故不等式的解集為(－∞，－1]∪[1，＋∞)．答案：5

(－∞，－1]∪[1，＋∞)[B綜合應用]11．(2022·浙江杭州學軍中學期中)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy(x，y∈R)，f(1)＝3，則f(－3)＝(

)A．3B.8C.