課時作業(yè)-第4節(jié)-空間直線、平面的垂直

第4節(jié)空間直線、平面的垂直知識點(diǎn)、方法基礎(chǔ)鞏固練綜合運(yùn)用練應(yīng)用創(chuàng)新練直線與平面垂直的判定與性質(zhì)1,4,911平面與平面垂直的判定與性質(zhì)5求空間角的大小3,7,8綜合問題2,610,12,13,1415,161.(2021·滄州市七校聯(lián)考)如圖所示,已知六棱錐P-ABCDEF的底面是正六邊形,PA⊥平面ABC.則下列結(jié)論不正確的是(D)A.CD∥平面PAFB.DF⊥平面PAFC.CF∥平面PABD.CF⊥平面PAD解析:A中,因為CD∥AF,AF?平面PAF,CD?平面PAF,所以CD∥平面PAF成立;B中,因為六邊形ABCDEF為正六邊形,所以DF⊥AF.又因為PA⊥平面ABCDEF,DF?平面ABCDEF,所以PA⊥DF,又PA∩AF=A,PA?平面PAF,AF?平面PAF,所以DF⊥平面PAF成立;C中,CF∥AB,AB?平面PAB,CF?平面PAB,所以CF∥平面PAB;而D中CF與AD不垂直.故選D.2.(2021·江西南昌模擬)如圖,在四面體ABCD中,已知AB⊥AC,BD⊥AC,那么點(diǎn)D在平面ABC內(nèi)的射影H必在(A)A.直線AB上 B.直線BC上C.直線AC上 D.△ABC內(nèi)部解析:由AB⊥AC,BD⊥AC,又AB∩BD=B,AB?平面ABD,BD?平面ABD,則AC⊥平面ABD,而AC?平面ABC,則平面ABC⊥平面ABD,因此點(diǎn)D在平面ABC內(nèi)的射影H必在平面ABC與平面ABD的交線AB上.故選A.3.已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直,體積為94,底面是邊長為3的正三角形,若P為底面A1B1C1A.5π12 B.πC.π4 D.解析:如圖,取正三角形ABC的中心O,連接OP,則∠PAO是PA與平面ABC所成的角.因為底面邊長為3,所以AD=3×32=3AO=23AD=23×32=1.三棱柱的體積為34×(3)2·AA1=94,解得AA1=3,即OP=AA1=3因為直線與平面所成角的取值范圍是[0,π2所以∠PAO=π34.(2021·山東煙臺二中月考)如圖,在正方形ABCD中,E,F分別是BC,CD的中點(diǎn),G是EF的中點(diǎn),現(xiàn)在沿AE,AF及EF把這個正方形折成一個空間圖形,使B,C,D三點(diǎn)重合,重合后的點(diǎn)記為H,則在這個空間圖形中必有(B)A.AG⊥平面EFH B.AH⊥平面EFHC.HF⊥平面AEF D.HG⊥平面AEF解析:根據(jù)折疊前、后AH⊥HE,AH⊥HF不變,且HE∩HF=H,HE,HF?平面EFH,得AH⊥平面EFH,所以B正確;因為過點(diǎn)A只有一條直線與平面EFH垂直,所以A不正確;由題知AG⊥EF,又EF⊥AH,AG∩AH=A,AG,AH?平面HAG,所以EF⊥平面HAG,又EF?平面AEF,所以平面HAG⊥平面AEF,若過點(diǎn)H作直線垂直于平面AEF,則直線一定在平面HAG內(nèi),所以C不正確;因為HG不垂直于AG,所以HG⊥平面AEF不正確,所以D不正確.故選B.5.(多選題)(2021·山東濟(jì)寧模擬)已知l,m表示兩條不同的直線,α,β表示兩個不同的平面,l⊥α,m?β,則下面四個命題中正確的是(AC)A.若α∥β,則l⊥m B.若α⊥β,則l∥mC.若l∥m,則α⊥β D.若l⊥m,則α∥β解析:因為l⊥α,α∥β,根據(jù)面面平行的性質(zhì)知l⊥β,又m?β,則l⊥m,故A正確;若α⊥β,l⊥α,則l可能在β內(nèi)或與β平行,則l可能與m相交、平行或異面,故B錯誤;由l∥m,l⊥α可推出m⊥α,又m?β,根據(jù)面面垂直的判定定理可知α⊥β,故C正確;若α,β的交線為m,則l⊥m,推不出α∥β,故D錯誤.故選AC.6.(多選題)如圖,PA垂直于以AB為直徑的圓所在的平面,點(diǎn)C是圓周上異于A,B的任一點(diǎn),則下列結(jié)論中正確的是(AD)A.PC⊥BCB.AC⊥平面PBCC.平面PAB⊥平面PBCD.平面PAC⊥平面PBC解析:由題意,BC⊥AC,若AC⊥平面PBC,可得AC⊥PC,與AC⊥PA矛盾,故B錯誤;BC⊥AC,又PA⊥底面ABC,所以PA⊥BC,AC∩PA=A,AC,PA?平面PAC,則BC⊥平面PAC,又PC?平面PAC,則BC⊥PC,又BC?平面PBC,所以平面PAC⊥平面PBC,故A,D正確;因為BC⊥平面PAC,所以∠PCA為平面PAB與平面PBC所成角的平面角,又∠PCA為銳角,所以平面PAB與平面PBC不垂直,故C錯誤.故選AD.7.若P是△ABC所在平面外一點(diǎn),而△PBC和△ABC都是邊長為2的正三角形,PA=6,那么二面角P-BC-A的大小為.

解析:取BC的中點(diǎn)O,連接OA,OP(圖略),則∠POA為二面角P-BC-A的平面角,OP=OA=3,PA=6,所以△POA為直角三角形,∠POA=90°.答案:90°8.如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=23,CC1=2,則二面角C1-BD-C的大小為.

解析:如圖,取BD的中點(diǎn)O,連接OC,OC1,因為AB=AD=23,所以CO⊥BD,CO=6.因為CD=BC,所以C1D=C1B,所以C1O⊥BD,所以∠C1OC為二面角C1-BD-C的平面角.tan∠C1OC=C1CCO=2所以∠C1OC=30°,即二面角C1-BD-C的大小為30°.答案:30°9.如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中點(diǎn),求證:(1)CD⊥AE;(2)PD⊥平面ABE.證明:(1)因為PA⊥底面ABCD,CD?底面ABCD,所以CD⊥PA.又CD⊥AC,PA∩AC=A,PA?平面PAC,AC?平面PAC,故CD⊥平面PAC,又AE?平面PAC,故CD⊥AE.(2)因為PA=AB=BC,∠ABC=60°,所以PA=AC.因為E是PC的中點(diǎn),所以AE⊥PC.由(1)知CD⊥AE,由于PC∩CD=C,PC?平面PCD,CD?平面PCD,從而AE⊥平面PCD,又PD?平面PCD,故AE⊥PD.易知BA⊥PD,AE∩BA=A,AE?平面ABE,BA?平面ABE,故PD⊥平面ABE.10.如圖所示,在四邊形ABCD中,AB=AD=CD=1,BD=2,BD⊥CD.將四邊形ABCD沿對角線BD折成四面體A′-BCD,使平面A′BD⊥平面BCD,則下列結(jié)論中正確的個數(shù)是(B)①A′C⊥BD;②∠BA′C=90°;③CA′與平面A′BD所成的角為30°;④四面體A′-BCD的體積為13A.0 B.1 C.2 D.3解析:因為AB=AD=CD=1,BD=2,所以AB⊥AD,因為平面A′BD⊥平面BCD,BD⊥CD,平面A′BD∩平面BCD=BD,所以CD⊥平面A′BD,取BD的中點(diǎn)O,連接OA′,OC(圖略),因為A′B=A′D,所以A′O⊥BD.又平面A′BD⊥平面BCD,平面A′BD∩平面BCD=BD,A′O?平面A′BD,所以A′O⊥平面BCD.又因為BD⊥CD,所以O(shè)C不垂直于BD.假設(shè)A′C⊥BD,因為OC為A′C在平面BCD內(nèi)的射影,所以O(shè)C⊥BD,矛盾,故①錯誤;因為CD⊥BD,平面A′BD⊥平面BCD,且平面A′BD∩平面BCD=BD,所以CD⊥平面A′BD,又A′B?平面A′BD,所以CD⊥A′B.因為A′B=A′D=1,BD=2,所以A′B⊥A′D,又CD∩A′D=D,CD,A′D?平面A′CD,所以A′B⊥平面A′CD,又A′C?平面A′CD,所以A′B⊥A′C,故②正確;∠CA′D為直線CA′與平面A′BD所成的角,∠CA′D=45°,故③錯誤;VA'BCD=VCA'BD=11.(多選題)(2021·福建泉州質(zhì)檢)如圖,在下列四個正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G均為所在棱的中點(diǎn),過E,F,G作正方體的截面,則在各個正方體中,直線BD1與平面EFG垂直的是(ABC)解析:如圖,在正方體中,E,F,G,M,N,Q均為所在棱的中點(diǎn),且六點(diǎn)共面,直線BD1與平面EFMNQG垂直,并且A項,B項,C項中的平面與這個平面重合.對于D項中的圖形,由于E,F分別為AB,A1B1的中點(diǎn),所以EF∥BB1,故∠B1BD1為異面直線EF與BD1所成的角,且tan∠B1BD1=2,即∠B1BD1不是直角,故BD1與平面EFG不垂直.故選ABC.12.(2021·湖北黃岡質(zhì)檢)如圖,PA⊥圓O所在的平面,AB是圓O的直徑,C是圓O上一點(diǎn),E,F分別是點(diǎn)A在PB,PC上的射影,給出下列結(jié)論:①AF⊥PB;②EF⊥PB;③AF⊥BC;④AE⊥平面PBC.其中正確結(jié)論的序號是.

解析:①由于PA⊥平面ABC,BC?平面ABC,因此PA⊥BC,又AC⊥BC,PA∩AC=A,PA?平面PAC,AC?平面PAC,因此BC⊥平面PAC,AF?平面PAC,所以BC⊥AF,由于PC⊥AF,BC∩PC=C,BC?平面PBC,PC?平面PBC,因此AF⊥平面PBC,又PB?平面PBC,所以AF⊥PB,故①正確;②因為AE⊥PB,AF⊥PB,AE∩AF=A,AE?平面AEF,AF?平面AEF,所以PB⊥平面AEF,又EF?平面AEF,因此EF⊥PB,故②正確;③在①中已證明AF⊥平面PBC,BC?平面PBC,所以AF⊥BC,故③正確;④若AE⊥平面PBC,由①知AF⊥平面PBC,由此可得出AF∥AE,這與AF,AE有公共點(diǎn)A矛盾,故AE⊥平面PBC不成立,故④錯誤.故正確的結(jié)論為①②③.答案:①②③13.如圖,在直三棱柱ABCA1B1C1中,AC=BC=1,∠ACB=90°,D是A1B1的中點(diǎn),F在BB1上.(1)求證:C1D⊥平面AA1B1B;(2)在下列給出的三個條件中選取哪兩個條件可使AB1⊥平面C1DF?并證明你的結(jié)論.①F為BB1的中點(diǎn);②AB1=3;③AA1=2.(1)證明:因為ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以A1C1=B1C1=1,且∠A1C1B1=90°,又D是A1B1的中點(diǎn),所以C1D⊥A1B1.因為AA1⊥平面A1B1C1,C1D?平面A1B1C1,所以AA1⊥C1D,又A1B1∩AA1=A1,A1B1?平面AA1B1B,AA1?平面AA1B1B,所以C1D⊥平面AA1B1B.(2)解:選①③能證明AB1⊥平面C1DF.證明如下:如圖,連接A1B,所以DF∥A1B,在△ABC中,AC=BC=1,∠ACB=90°,則AB=2,又AA1=2,則A1B⊥AB1,所以DF⊥AB1.因為C1D⊥平面AA1B1B,AB1?平面AA1B1B,所以C1D⊥AB1.因為DF∩C1D=D,DF?平面C1DF,C1D?平面C1DF,所以AB1⊥平面C1DF.14.(2021·陜西西安中學(xué)八模)如圖所示,AB是圓柱的母線,BD是圓柱底面圓的直徑,C是底面圓周上一點(diǎn),且AB=BC=2,∠CBD=45°,求直線BD與平面ACD所成角的大小.解:取AC的中點(diǎn)E,連接BE,DE.由題意知AB⊥平面BCD,CD?平面BCD,故AB⊥CD.又BD是底面圓的直徑,所以∠BCD=90°,即CD⊥BC.因為AB∩BC=B,AB,BC?平面ABC,所以CD⊥平面ABC,又因為BE?平面ABC,所以CD⊥BE.因為AB=BC=2,AB⊥BC,所以BE⊥AC且BE=2,又AC∩CD=C,AC,CD?平面ACD,所以BE⊥平面ACD,所以∠BDE即為直線BD與平面ACD所成的角,又BD=2BC=22,所以sin∠BDE=BEBD=222所以∠BDE=30°,即直線BD與平面ACD所成的角為30°.15.(2021·吉林一中模擬)已知在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=∠BAD=π2(1)當(dāng)x=2時:①證明:EF⊥平面ABE;②求二面角D-BF-E的余弦值;(2)三棱錐D-BFC的體積是否可能等于幾何體ABE-DCF體積的49(1)①證明:在直角梯形ABCD中,因為∠ABC=∠BAD=π2故DA⊥AB,BC⊥AB,因為EF∥BC,故EF⊥AB,所以在折疊后的幾何體中,有EF⊥AE,EF⊥BE,而AE∩BE=E,AE?平面ABE,BE?平面ABE,故EF⊥平面ABE.②解:如圖,在平面AEFD中,過D作DG⊥EF交EF于點(diǎn)G.在平面DBF中,過D作DH⊥BF交BF于點(diǎn)H,連接GH.因為平面AEFD⊥平面EBCF,平面AEFD∩平面EBCF=EF,DG?平面AEFD,故DG⊥平面EBCF,因為BF?平面EBCF,故DG⊥BF,而DG∩DH=D,DG?平面DGH,DH?平面DGH,故BF⊥平面DGH,又GH?平面DGH,故GH⊥BF,所以∠DHG為二面角D-BF-E的平面角,在平面AEFD中,因為AE⊥EF,DG⊥EF,故AE∥DG,又在直角梯形ABCD中,EF∥BC且EF=12故EF∥AD,故四邊形AEGD為平行四邊形,故DG=AE=2,GF=1,在Rt△BEF中,tan∠BFE=23因為∠BFE為三角形的內(nèi)角,故sin∠BFE=213故GH=1·sin∠BFE=213故tan∠DHG=2213=因為∠DHG為三角形的內(nèi)角,故cos∠DHG=1414所以二面角D-BF-E的余弦值為1414(2)解:若三棱錐D-BFC的體積等于幾何體ABE-DCF體積的49則VBADFE+VD即VBADFE=由(1)的證明可知,DG⊥平面EBCF,同理可證BE⊥平面AEFD,AE=DG.故VBADFE=13·BE·S1而VDBFC=13·DG·S△BCF=13·AE在直角梯形ABCD中,過D作BC的垂線,與EF,BC分別交于M,N,則FM2=x4,故FM=所以FE=x2所以S1=12(x2+2+2)·x=12所以VBADFE=13·(4-x)·1=16·(4-x)·(x又S△BCF=12