備戰(zhàn)2023年高考數(shù)學一輪復習-第7講-余弦定理、正弦定理應用舉例

第7講余弦定理、正弦定理應用舉例1．仰角和俯角在視線和水平線所成的角中，視線在水平線eq\x(\s\up1(01))上方的角叫仰角，在水平線eq\x(\s\up1(02))下方的角叫俯角(如圖①)．2．方位角從正北方向線順時針旋轉到目標方向線的水平角．如B點方位角為α(如圖②)．3．方向角相對于某一正方向的水平角，即從指定方向線到目標方向線的水平角(指定方向線一般是指正北或正南方向，方向角小于90°)．如北偏東α，南偏西α.特別地，若目標方向線與指北或指南方向線成45°角稱為西南方向、東北方向等．(1)北偏東α，即由eq\x(\s\up1(03))指北方向順時針旋轉α到達目標方向(如圖③)；(2)北偏西α，即由eq\x(\s\up1(04))指北方向逆時針旋轉α到達目標方向；(3)南偏西等其他方向角類似．4．坡角與坡度(1)坡角：eq\x(\s\up1(05))坡面與水平面所成的二面角(如圖④，角θ為坡角)．(2)坡度：eq\x(\s\up1(06))坡面的鉛直高度與水平長度之比(如圖④，i為坡度)．坡度又稱為坡比．1．仰角與俯角是相對水平視線而言的，而方位角是相對于正北方向而言的．2．“方位角”與“方向角”的區(qū)別：方位角大小的范圍是[0,2π)，方向角大小的范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).1．兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站北偏東40°，燈塔B在觀察站南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的()A．北偏東10° B．北偏西10°C．南偏東10° D．南偏西10°答案B解析由題可知∠ABC＝50°，A，B，C位置如圖．故選B.2．如圖，D，C，B在地平面同一直線上，DC＝10m，從D，C兩地測得A點的仰角分別為30°和45°，則A點離地面的高AB等于()A．10m B．5eq\r(3)mC．5(eq\r(3)－1)m D．5(eq\r(3)＋1)m答案D解析在直角三角形中，根據(jù)三角函數(shù)的定義得eq\f(AB,tan30°)－eq\f(AB,tan45°)＝10，解得AB＝5(eq\r(3)＋1)(m)．故選D.3．(2021·安徽安慶期末質量監(jiān)測)某快遞公司在我市的三個門店A，B，C分別位于一個三角形的三個頂點處，其中門店A，B與門店C都相距akm，而門店A位于門店C的北偏東50°方向上，門店B位于門店C的北偏西70°方向上，則門店A，B間的距離為()A．akm B．eq\r(2)akmC.eq\r(3)akm D．2akm答案C解析如圖所示，依題意知CA＝CB＝akm，∠ACB＝50°＋70°＝120°，∠A＝∠B＝30°，由正弦定理，得eq\f(AB,sin120°)＝eq\f(a,sin30°)，則AB＝eq\f(asin120°,sin30°)＝eq\r(3)a(km)，即門店A，B間的距離為eq\r(3)akm.故選C.4．一個大型噴水池的中央有一個強力噴水柱，為了測量噴水柱噴出的水柱的高度，某人在噴水柱正西方向的點A測得水柱頂端的仰角為45°，沿點A向北偏東30°前進100m到達點B，在B點測得水柱頂端的仰角為30°，則水柱的高度是________m.答案50解析設水柱的高度是hm，水柱底端為C，則在△ABC中，A＝60°，AC＝hm，AB＝100m，BC＝eq\r(3)hm，根據(jù)余弦定理得(eq\r(3)h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos60°，即h2＋50h－5000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50m.5．一艘輪船從A點沿北偏東70°的方向行駛10海里至海島B，又從B沿北偏東10°的方向行駛10海里至海島C，若此船從A點直接沿直線行駛至海島C，則此船沿________方向行駛________海里至海島C.答案北偏東40°10eq\r(3)解析如圖，因為B在A點北偏東70°，C在B北偏東10°，故∠ABC＝180°－70°＋10°＝120°，又AB＝BC，故∠CAB＝∠ACB＝30°，故C在A北偏東70°－30°＝40°方向．在△ABC中，根據(jù)余弦定理可得AC＝eq\r(102＋102－2×10×10cos120°)＝10eq\r(3).故此輪船沿著北偏東40°方向行駛10eq\r(3)海里至海島C.考向一測量距離問題例1(2022·湖北宜昌月考)幾千年的滄桑沉淀，凝練了黃山清幽秀麗的自然風光和文化底蘊厚重的旅游環(huán)境．自明清以來，文人雅士，群賢畢至，旅人游子，紛至沓來，使黃山成為名噪江南的旅游熱點．如圖，游客從黃山風景區(qū)的景點A處下山至C處有兩種路徑，一種是從A沿直線步行到C，另一種是先從A乘景區(qū)觀光車到B，然后從B沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為50米/分鐘，在甲出發(fā)2分鐘后，乙從A乘觀光車到B，在B處停留20分鐘后，再從B勻速步行到C.假設觀光車勻速直線運行的速度為250米/分鐘，山路AC長為2340米，經測量cosA＝eq\f(24,25)，cosC＝eq\f(3,5).(1)求觀光車路線AB的長；(2)乙出發(fā)多少分鐘后，乙在觀光車上與甲的距離最短？解(1)在△ABC中，因為cosA＝eq\f(24,25)，cosC＝eq\f(3,5)，所以sinA＝eq\f(7,25)，sinC＝eq\f(4,5)，從而sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝eq\f(117,125)，由正弦定理eq\f(AB,sinC)＝eq\f(AC,sinB)，得AB＝eq\f(AC,sinB)×sinC＝eq\f(2340,\f(117,125))×eq\f(4,5)＝2000m，所以觀光車路線AB的長為2000m.(2)假設乙出發(fā)t分鐘后，甲、乙兩游客距離為d，此時甲行走了(100＋50t)m，乙距離A處250tm，由余弦定理得d2＝(100＋50t)2＋(250t)2－2×(100＋50t)×250t×eq\f(24,25)＝1000(41t2－38t＋10)＝1000eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(41\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(19,41)))2＋\f(49,41)))，因為t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2000,250)))，即t∈[0,8]，故當t＝eq\f(19,41)時，甲、乙游客的距離最短．距離問題的解題思路這類實際應用題，實質就是解三角形問題，一般都離不開正弦定理和余弦定理，在解題中，首先要正確地畫出符合題意的示意圖，然后將問題轉化為三角形問題去求解．注意：①基線的選取要恰當準確；②選取的三角形及正、余弦定理要恰當．1．(2021·上海高三模擬)如圖，某景區(qū)欲在兩山頂A，C之間建纜車，需要測量兩山頂間的距離．已知山高AB＝1km，CD＝3km，在水平面上E處測得山頂A的仰角為30°，山頂C的仰角為60°，∠BED＝120°，則兩山頂A，C之間的距離為()A．2eq\r(2)km B．eq\r(10)kmC.eq\r(13)km D．3eq\r(3)km答案C解析由題意知，AB＝1km，CD＝3km，∠AEB＝30°，∠CED＝60°，∠BED＝120°.所以BE＝eq\f(AB,tan30°)＝eq\f(1,\f(\r(3),3))＝eq\r(3)(km)，DE＝eq\f(CD,tan60°)＝eq\f(3,\r(3))＝eq\r(3)(km)．在△BED中，由余弦定理得，BD2＝BE2＋DE2－2×BE×DEcos∠BED＝3＋3－2×eq\r(3)×eq\r(3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝9，所以AC＝eq\r(BD2＋CD－AB2)＝eq\r(9＋3－12)＝eq\r(13)(km)，即兩山頂A，C之間的距離為eq\r(13)km.故選C.2.(2021·福建寧德第二次質量檢查)海洋藍洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象，被喻為“地球留給人類保留宇宙秘密的最后遺產”，我國擁有世界上最深的海洋藍洞，若要測量如圖所示的藍洞的口徑A，B兩點間的距離，現(xiàn)在珊瑚群島上取兩點C，D，測得CD＝80米，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，則A，B兩點間的距離為________米．答案80eq\r(5)解析∵在△ACD中，∠DCA＝15°，∠ADC＝150°，∴∠DAC＝15°.由正弦定理，得AC＝eq\f(80sin150°,sin15°)＝eq\f(40,\f(\r(6)－\r(2),4))＝40(eq\r(6)＋eq\r(2))(米)，在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，∴∠CBD＝30°，由正弦定理，得eq\f(CD,sin∠CBD)＝eq\f(BC,sin∠BDC)，∴BC＝eq\f(CDsin∠BDC,sin∠CBD)＝eq\f(80sin15°,\f(1,2))＝160sin15°＝40(eq\r(6)－eq\r(2))(米)，在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB＝1600(8＋4eq\r(3))＋1600eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8－4\r(3)))＋2×1600(eq\r(6)＋eq\r(2))×(eq\r(6)－eq\r(2))×eq\f(1,2)＝1600×16＋1600×4＝1600×20，解得AB＝80eq\r(5)(米)，則A，B兩點間的距離為80eq\r(5)米．考向二測量高度問題例2(2021·臨汾模擬)說起延安革命紀念地景區(qū)，可謂是家喻戶曉，它由寶塔山、棗園革命舊址、楊家?guī)X革命舊址、中共中央西北局舊址、延安革命紀念館組成．尤其寶塔山，它可是圣地延安的標志，也是中國革命的搖籃，見證了中國革命的進程，在中國老百姓的心中具有重要地位．如圖，寶塔山的坡度比為eq\r(7)∶3(坡度比即坡面的垂直高度和水平寬度的比)，在山坡A處測得∠CAD＝15°，從A處沿山坡往上前進66m到達B處，在山坡B處測得∠CBD＝30°，則寶塔CD的高為()A．42m B．44mC．46m D．48m答案B解析由題可知∠CAD＝15°，∠CBD＝30°，則∠ACB＝15°，∴BC＝AB＝66，設坡角為θ，則由題可得tanθ＝eq\f(\r(7),3)，則可求得cosθ＝eq\f(3,4)，在△BCD中，∠BDC＝θ＋90°，由正弦定理可得eq\f(CD,sin30°)＝eq\f(BC,sinθ＋90°)，即eq\f(CD,\f(1,2))＝eq\f(66,cosθ)＝eq\f(66,\f(3,4))，解得CD＝44，故寶塔CD的高為44m．故選B.處理高度問題的注意事項(1)在處理有關高度問題時，正確理解仰角、俯角是一個關鍵．(2)在實際問題中，可能會遇到空間與平面(地面)同時研究的問題，這時最好畫兩個圖形，一個空間圖形，一個平面圖形，這樣處理起來既清楚又不容易搞錯．(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空間問題轉化為平面問題．3.(2021·北京市朝陽區(qū)二模)圭表(如圖1)是我國古代一種通過測量正午日影長度來推定節(jié)氣的天文儀器，它包括一根直立的標桿(稱為“表”)和一把呈南北方向水平固定擺放的與標桿垂直的長尺(稱為“圭”)．當正午太陽照射在表上時，日影便會投影在圭面上，圭面上日影長度最長的那一天定為冬至，日影長度最短的那一天定為夏至．圖2是一個根據(jù)北京的地理位置設計的圭表的示意圖，已知北京冬至正午太陽高度角(即∠ABC)為26.5°，夏至正午太陽高度角(即∠ADC)為73.5°，圭面上冬至線與夏至線之間的距離(即DB的長)為a，則表高(即AC的長)為()A.eq\f(asin53°,2sin47°) B．eq\f(2sin47°,asin53°)C.eq\f(atan26.5°tan73.5°,tan47°) D．eq\f(asin26.5°sin73.5°,sin47°)答案D解析由題可知，∠BAD＝73.5°－26.5°＝47°，在△BAD中，由正弦定理可知，eq\f(BD,sin∠BAD)＝eq\f(AD,sin∠ABD)，即eq\f(a,sin47°)＝eq\f(AD,sin26.5°)，則AD＝eq\f(asin26.5°,sin47°)，又在△ACD中，eq\f(AC,AD)＝sin∠ADC＝sin73.5°，所以AC＝eq\f(asin26.5°sin73.5°,sin47°)，故選D.考向三測量角度問題例3如圖，在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向距A為(eq\r(3)－1)海里的B處有一艘走私船，在A處北偏西75°方向，距A為2海里的C處的緝私船奉命以10eq\r(3)海里/時的速度追截走私船．此時走私船正以10海里/時的速度從B處向北偏東30°方向逃竄，問緝私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的時間(注：eq\r(6)≈2.449)．解設緝私船應沿CD方向行駛t小時，才能最快截獲(在D點)走私船，則有CD＝10eq\r(3)t(海里)，BD＝10t(海里)．在△ABC中，∵AB＝(eq\r(3)－1)海里，AC＝2海里，∠BAC＝45°＋75°＝120°，根據(jù)余弦定理，可得BC＝eq\r(\r(3)－12＋22－2×2×\r(3)－1cos120°)＝eq\r(6)(海里)．根據(jù)正弦定理，可得sin∠ABC＝eq\f(ACsin∠BAC,BC)＝eq\f(2×\f(\r(3),2),\r(6))＝eq\f(\r(2),2).∴∠ABC＝45°，易知CB方向與正北方向垂直，從而∠CBD＝90°＋30°＝120°.在△BCD中，根據(jù)正弦定理，可得sin∠BCD＝eq\f(BDsin∠CBD,CD)＝eq\f(10t·sin120°,10\r(3)t)＝eq\f(1,2)，∴∠BCD＝30°，∠BDC＝30°，∴BD＝BC＝eq\r(6)(海里)，則有10t＝eq\r(6)，t＝eq\f(\r(6),10)≈0.245小時＝14.7分鐘．故緝私船沿北偏東60°方向能最快追上走私船，大約需要14.7分鐘．解決測量角度問題的注意事項(1)首先應明確方位角或方向角的含義．(2)分析題意，分清已知與所求，再根據(jù)題意畫出正確的示意圖，這是最關鍵、最重要的一步．(3)將實際問題轉化為可用數(shù)學方法解決的問題后，注意正弦、余弦定理的“聯(lián)袂”使用．4．(2021·商丘模擬)如圖所示，一艘巡邏船由南向北行駛，在A處測得山頂P在北偏東15°(∠BAC＝15°)的方向，勻速向北航行20分鐘后到達B處，測得山頂P位于北偏東60°的方向，此時測得山頂P的仰角為60°，已知山高為2eq\r(3)千米．(1)船的航行速度是每小時多少千米？(2)若該船繼續(xù)航行10分鐘到達D處，問此時山頂位于D處南偏東多少度的方向？解(1)在△BCP中，由tan∠PBC＝eq\f(PC,BC)，得BC＝eq\f(PC,tan∠PBC)＝2，在△ABC中，由正弦定理，得eq\f(BC,sin∠BAC)＝eq\f(AB,sin∠BCA)，即eq\f(2,sin15°)＝eq\f(AB,sin45°)，所以AB＝2(eq\r(3)＋1)，故船的航行速度是每小時6(eq\r(3)＋1)千米．(2)在△BCD中，BD＝eq\r(3)＋1，BC＝2，∠CBD＝60°，則由余弦定理，得CD＝eq\r(6)，在△BCD中，由正弦定理，得eq\f(CD,sin∠CBD)＝eq\f(BC,sin∠CDB)，即eq\f(\r(6),sin60°)＝eq\f(2,sin∠CDB)，所以sin∠CDB＝eq\f(\r(2),2)，所以山頂位于D處南偏東45°的方向．一、單項選擇題1．已知A，B兩地間的距離為10km，B，C兩地間的距離為20km，現(xiàn)測得∠ABC＝120°，則A，C兩地間的距離為()A．10km B．10eq\r(3)kmC．10eq\r(5)km D．10eq\r(7)km答案D解析如圖所示，由余弦定理可得AC2＝100＋400－2×10×20×cos120°＝700，∴AC＝10eq\r(7)(km)．2．(2021·馬鞍山模擬)一船自西向東勻速航行，上午10時到達一座燈塔P的南偏西75°，距燈塔68海里的M處，下午2時到達這座燈塔的東南方向N處，則該船航行的速度為()A.eq\f(17\r(2),2)海里/小時 B．34eq\r(6)海里/小時C.eq\f(17\r(6),2)海里/小時 D．34eq\r(2)海里/小時答案C解析如圖所示，在△PMN中，PM＝68海里，∠PNM＝45°，∠MPN＝120°，由正弦定理可得eq\f(68,sin45°)＝eq\f(MN,sin120°)，所以MN＝34eq\r(6)海里，所以該船航行的速度為eq\f(17\r(6),2)海里/小時．3.如圖是隋唐天壇，古叫圜丘，它位于唐長安城明德門遺址東約950米，即今西安市雁塔區(qū)陜西師范大學以南．天壇初建于隋而廢棄于唐末，比北京明清天壇早1000多年，是隋唐王朝近三百年里的皇家祭天之處．某數(shù)學興趣小組為了測得天壇的直徑，在天壇外圍測得AB＝60米，BC＝60米，CD＝40米，∠ABC＝60°，∠BCD＝120°，據(jù)此可以估計天壇的最下面一層的直徑AD大約為(結果精確到1米)(參考數(shù)據(jù)：eq\r(2)≈1.414，eq\r(3)≈1.732，eq\r(5)≈2.236，eq\r(7)≈2.646)()A．39米 B．43米C．49米 D．53米答案D解析在△ACB中，AB＝60米，BC＝60米，∠ABC＝60°，所以AC＝60米，在△CDA中，AD2＝AC2＋CD2－2AC·CD·cos60°＝602＋402－2×60×40×eq\f(1,2)＝2800，所以AD＝20eq\r(7)≈53(米)．故選D.4．(2021·合肥模擬)“湖畔波瀾飛，耕耘戰(zhàn)鼓催”，合肥一六八中學的一草一木都見證了同學們的成長．某同學為了測量瀾飛湖兩側C，D兩點間的距離，除了觀測點C，D外，他又選了兩個觀測點P1，P2，且P1P2＝a，已經測得兩個角∠P1P2D＝α，∠P2P1D＝β，由于條件不足，需要再觀測新的角，則利用已知觀測數(shù)據(jù)和下面三組新觀測的角的其中一組就可以求出C，D間距離的有()①∠DP1C和∠DCP1；②∠P1P2C和∠P1CP2；③∠P1DC和∠DCP1.A．0組 B．1組C．2組 D．3組答案D解析在△P1P2D中，已知P1P2＝a，∠P1P2D＝α，∠P2P1D＝β，可得∠P1DP2，由正弦定理可得P1D，P2D.①中，給出∠DP1C和∠DCP1，由eq\f(CD,sin∠DP1C)＝eq\f(DP1,sin∠DCP1)，可得CD＝eq\f(DP1·sin∠DP1C,sin∠DCP1)，故由①可求得CD；②中，給出∠P1P2C和∠P1CP2，由eq\f(P1P2,sin∠P1CP2)＝eq\f(P1C,sin∠P1P2C)，得P1C＝eq\f(P1P2·sin∠P1P2C,sin∠P1CP2)，由∠P1P2C和∠P1CP2，可得∠P2P1C，減去β可得∠DP1C，在△DP1C中，由余弦定理可得CD，故由②可求得CD；③中條件∠P1DC，利用三角形內角和定理，可化為與①等價問題，也可求得CD.所以可求出C，D間距離的有3組．故選D.5.(2022·山東濟南期末)濟南泉城廣場上的泉標是隸書“泉”字，其造型流暢別致，成了濟南的標志和象征．李明同學想測量泉標的高度，于是他在廣場的A點測得泉標頂端的仰角為60°，他又沿著泉標底部方向前進15.2m，到達B點，又測得泉標頂部仰角為80°.則李明同學求出泉標的高度約為(sin20°≈0.3420，sin80°≈0.9848，結果精確到1m)()A．38m B．50mC．66m D．72m答案A解析如圖所示，點C，D分別為泉標的底部和頂端．依題意，∠BAD＝60°，∠CBD＝80°，AB＝15.2m，故∠ADB＝20°.在△ABD中，根據(jù)正弦定理，得eq\f(BD,sin∠BAD)＝eq\f(AB,sin∠ADB)，∴BD＝eq\f(AB·sin∠BAD,sin∠ADB)＝eq\f(15.2·sin60°,sin20°)≈38.5(m)．在Rt△BCD中，CD＝BDsin80°≈38.5·sin80°≈38(m)，即泉城廣場上泉標的高度約為38m.6.如圖，一條河的兩岸平行，河的寬度d＝0.6km，一艘客船從碼頭A出發(fā)勻速駛往河對岸的碼頭B.已知AB＝1km，水的流速為2km/h，若客船從碼頭A駛到碼頭B所用的最短時間為6min，則客船在靜水中的速度為()A．8km/h B．6eq\r(2)km/hC．2eq\r(34)km/h D．10km/h答案B解析設AB與河岸線所成的角為θ，客船在靜水中的速度為vkm/h，由題意知，sinθ＝eq\f(0.6,1)＝eq\f(3,5)，從而cosθ＝eq\f(4,5)，所以由余弦定理得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)v))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)×2))2＋12－2×eq\f(1,10)×2×1×eq\f(4,5)，解得v＝6eq\r(2)(km/h)．7．某人在C點測得塔底O在南偏西80°，塔頂A的仰角為45°，此人沿南偏東40°方向前進10米到達D處，測得塔頂A的仰角為30°，則塔高為()A．15米 B．5米C．10米 D．12米答案C解析如圖，設塔高為h，在Rt△AOC中，∠ACO＝45°，則OC＝OA＝h.在Rt△AOD中，∠ADO＝30°，則OD＝eq\r(3)h.在△OCD中，∠OCD＝120°，CD＝10，OD2＝OC2＋CD2－2OC·CD·cos∠OCD，即(eq\r(3)h)2＝h2＋102－2h×10×cos120°，所以h2－5h－50＝0，解得h＝10或h＝－5(舍去)．故選C.8.某觀察站B在A城的南偏西20°方向，由A出發(fā)的一條公路的走向是南偏東25°.現(xiàn)在B處測得此公路上距B處30km的C處有一人正沿此公路騎車以40km/h的速度向A城駛去，行駛了15min后到達D處，此時測得B與D之間的距離為8eq\r(10)km，則此人到達A城還需要()A．40min B．42minC．48min D．60min答案C解析由題意可知，CD＝40×eq\f(15,60)＝10(km)．cos∠BDC＝eq\f(102＋8\r(10)2－302,2×10×8\r(10))＝－eq\f(\r(10),10)，∴cos∠ADB＝cos(π－∠BDC)＝eq\f(\r(10),10)，∴sin∠ADB＝eq\r(1－cos2∠ADB)＝eq\f(3\r(10),10)，∴sin∠ABD＝sin[π－(∠ADB＋∠BAD)]＝eq\f(2\r(5),5).在△ABD中，由正弦定理得eq\f(AD,sin∠ABD)＝eq\f(BD,sin∠BAD)，∴eq\f(AD,\f(2\r(5),5))＝eq\f(8\r(10),\f(\r(2),2))，∴AD＝32(km)，∴所需時間t＝eq\f(32,40)＝0.8(h)，∴此人還需要0.8h即48min才能到達A城．二、多項選擇題9．(2022·重慶質檢)某人向正東走了xkm后向右轉了150°，然后沿新方向走3km，結果離出發(fā)點恰好eq\r(3)km，那么x的值是()A.eq\r(3) B．2eq\r(3)C．3 D．6答案AB解析如圖，AB＝x，BC＝3，AC＝eq\r(3)，∠ABC＝30°.由余弦定理得3＝x2＋9－2×x×3×cos30°.解得x＝2eq\r(3)或x＝eq\r(3)，故選AB.10.如圖所示，為了測量某湖泊兩側A，B的距離，某同學首先選定了與A，B不共線的一點C，然后給出了以下四種測量方案(△ABC的角A，B，C所對的邊分別記為a，b，c)．其中一定能確定A，B間距離的所有方案為()A．測量∠A，∠C，b B．測量a，b，∠CC．測量∠A，∠B，a D．測量a，b，∠B答案ABC解析對于A，在△ABC中，∠B＝π－(∠A＋∠C)，所以sinB＝sin(A＋C)．由正弦定理得eq\f(b,sinA＋C)＝eq\f(c,sinC)，所以c＝eq\f(bsinC,sinA＋C)；對于B，由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcosC，所以c＝eq\r(a2＋b2－2abcosC)；對于C，在△ABC中，∠C＝π－(∠A＋∠B)，所以sinC＝sin(A＋B)，由正弦定理得eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinA＋B)，所以c＝eq\f(asinA＋B,sinA)；對于D，由余弦定理cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，解得的c可能有兩個值．故一定能確定A，B間距離的所有方案為A，B，C.11.(2021·江蘇徐州二模)如圖，某校測繪興趣小組為測量河對岸直塔AB(A為塔頂，B為塔底)的高度，選取與B在同一水平面內的兩點C與D(B，C，D不在同一直線上)，測得CD＝s.測繪興趣小組利用測角儀可測得的角有∠ACB，∠ACD，∠BCD，∠ADB，∠ADC，∠BDC，則根據(jù)下列各組中的測量數(shù)據(jù)可計算出塔AB的高度的是()A．s，∠ACB，∠BCD，∠BDCB．s，∠ACB，∠BCD，∠ACDC．s，∠ACB，∠ACD，∠ADCD．s，∠ACB，∠BCD，∠ADC答案ACD解析對于A，已知s，∠ACB，∠BCD，∠BDC，在△BCD中，利用三角形內角和為180°可求得∠CBD＝180°－∠BDC－∠BCD，利用正弦定理eq\f(CD,sin∠CBD)＝eq\f(BC,sin∠BDC)，可求得BC，在△ABC中，AB⊥BC，由tan∠ACB＝eq\f(AB,BC)，即可求得AB；對于B，在△BCD中，已知一邊CD，一角∠BCD，無法求解三角形，在△ABC中，已知兩角∠ABC＝90°，∠ACB，無法求解三角形，在△ACD中，已知一邊CD，一角∠ACD，無法求解三角形；對于C，在△ACD中，已知一邊CD，兩角∠ACD，∠ADC，由三角形內角和可求得∠CAD，由正弦定理可求得AC，在△ABC中，已知兩角∠ACB，∠ABC＝90°，一邊AC，利用sin∠ACB＝eq\f(AB,AC)，可求得AB；對于D，在△ABC中，已知兩角∠ABC＝90°，∠ACB，由tan∠ACB＝eq\f(AB,BC)，可用AB表示BC，由sin∠ACB＝eq\f(AB,AC)，可用AB表示AC，在△ACD中，已知∠ADC，邊CD，AB表示AC，利用余弦定理可用AB表示AD，在Rt△ABD中，利用勾股定理可用AB表示BD，在△BCD中，已知∠BCD，CD，AB表示BD，AB表示BC，利用余弦定理可建立關于AB的方程，即可求解AB.故選ACD.12．一艘輪船航行到A處時看燈塔B在A的北偏東75°，距離為12eq\r(6)海里，燈塔C在A的北偏西30°，距離為12eq\r(3)海里，該輪船由A沿正北方向繼續(xù)航行到D處時再看燈塔B在其南偏東60°方向．下面結論正確的有()A．AD＝24B．CD＝12C．∠CDA＝60°或∠CDA＝120°D．∠CDA＝60°答案ABD解析如圖，在△ABD中，∠B＝45°，由eq\f(AD,sin45°)＝eq\f(AB,sin60°)＝eq\f(12\r(6),\f(\r(3),2))＝24eq\r(2)，AD＝24，A正確；在△ACD中，由余弦定理得CD2＝AC2＋AD2－2AC×ADcos30°＝(12eq\r(3))2＋242－2×12eq\r(3)×24×eq\f(\r(3),2)＝144，∴CD＝12，B正確；由正弦定理得eq\f(CD,sin30°)＝eq\f(AC,sin∠CDA)，sin∠CDA＝eq\f(\r(3),2)，故∠CDA＝60°或∠CDA＝120°，因為AD>AC，故∠CDA為銳角，所以∠CDA＝60°，D正確，C錯誤．三、填空題13.如圖，某工程中要將一長為100m，傾斜角為75°的斜坡改造成傾斜角為30°的斜坡，并保持坡高不變，則坡底需加長________m.答案100eq\r(2)解析設坡底需加長xm，由正弦定理得eq\f(100,sin30°)＝eq\f(x,sin45°)，解得x＝100eq\r(2)(m)．14．甲船在A處觀察到乙船在它北偏東60°的方向，兩船相距a海里，乙船正在向北行駛，若甲船的速度是乙船的eq\r(3)倍，則甲船應取北偏東θ方向前進，才能盡快追上乙船，此時θ＝________.答案30°解析如圖所示，∠CAB＝60°－θ，∠B＝120°，設甲船追上乙船時乙船行駛的距離為x，則BC＝x，AC＝eq\r(3)x.在△ABC中，根據(jù)正弦定理eq\f(BC,sin∠CAB)＝eq\f(AC,sinB)，即eq\f(x,sin60°－θ)＝eq\f(\r(3)x,sin120°)，得sin(60°－θ)＝eq\f(1,2)，又60°－θ為銳角，所以60°－θ＝30°，得θ＝30°.15.(2021·長郡中學高三月考)《易經》中記載著一種幾何圖形——八卦圖，圖中正八邊形代表八卦，中間的圓代表陰陽太極圖，圖中八塊面積相等的曲邊梯形代表八卦田．某中學開展勞動實習，去測量當?shù)匕素蕴锏拿娣e．如圖，現(xiàn)測得正八邊形的邊長為8m，代表陰陽太極圖的圓的半徑為2m，則每塊八卦田的面積為________m2.答案16eq\r(2)＋16－eq\f(π,2)解析由圖可知，正八邊形分割成8個全等的等腰三角形，頂角為eq\f(360°,8)＝45°，設等腰三角形的腰長為a，由正弦定理可得eq\f(a,sin\f(135°,2))＝eq\f(8,sin45°)，解得a＝8eq\r(2)sineq\f(135°,2)，所以三角形的面積S＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8\r(2)sin\f(135°,2)))2sin45°＝32eq\r(2)·eq\f(1－cos135°,2)＝16(eq\r(2)＋1)(m2)，則每塊八卦田面積為16(eq\r(2)＋1)－eq\f(1,8)×π×22＝16eq\r(2)＋16－eq\f(π,2)(m2)．16.(2021·聊城模擬)如圖是某商業(yè)小區(qū)的平面設計圖，初步設計該小區(qū)為半徑是200米，圓心角是120°的扇形AOB.O為南門位置，C為東門位置，小區(qū)里有一條平行于AO的小路CD，若OD＝eq\f(200\r(6),3)米，則圓弧eq\o\ac(AC,\s\up15(︵))的長為________米．答案50π解析連接OC，因為CD∥OA，所以∠DCO＝∠COA，∠CDO＝180°－∠DOA＝180°－120°＝60°，在△OCD中，由正弦定理可得eq\f(OD,sin∠DCO)＝eq\f(OC,sin∠CDO)，所以eq\f(\f(200\r(6),3),sin∠DCO)＝eq\f(200,\f(\r(3),2))，解得sin∠DCO＝eq\f(\f(200\r(6),3)×\f(\r(3),2),200)＝eq\f(\r(2),2)，因為∠DCO＝∠COA，且0°<∠COA<120°，所以∠DCO＝∠COA＝45°，故圓弧eq\o\ac(AC,\s\up15(︵))的長為eq\f(45°,360°)×2π×200＝50π(米)．四、解答題17.(2022·山西晉城監(jiān)測)如圖，點A，B，C在同一水平面上，AC＝4，CB＝6.現(xiàn)要在點C處搭建一個觀測站CD，點D在頂端．(1)原計劃CD為鉛垂線方向，α＝45°，求CD的長；(2)搭建完成后，發(fā)現(xiàn)CD與鉛垂線方向有偏差，并測得β＝30°，α＝53°，求CD2(結果精確到1)．(參考數(shù)據(jù)：sin97°≈1，cos53°≈0.6)解(1)∵CD為鉛垂線方向，點D在頂端，∴CD⊥AB.又α＝45°，∴CD＝AC＝4.(2)在△ABD中，α＋β＝53°＋30°＝83°，AB＝AC＋CB＝4＋6＝10，∴∠ADB＝180°－83°＝97°，由eq\f(AD,sinβ)＝eq\f(AB,sin∠ADB)得AD＝eq\f(A