考點(diǎn)19 直線和圓的方程 2023年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講與練（原卷版）

高中數(shù)學(xué)精編資源2/2考點(diǎn)19直線和圓的方程（核心考點(diǎn)講與練）考點(diǎn)考向一、直線與方程1.直線的傾斜角(1)定義：x軸正向與直線向上的方向所成的角叫做這條直線的傾斜角，規(guī)定與x軸平行或重合的直線的傾斜角為零度角.(2)規(guī)定：當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為0；(3)范圍：直線的傾斜角α的取值范圍是[0，π).2.直線的斜率(1)定義：直線y＝kx＋b中的系數(shù)k叫做這條直線的斜率，垂直于x軸的直線斜率不存在.(2)計(jì)算公式：若由A(x1，y1)，B(x2，y2)確定的直線不垂直于x軸，則k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)(x1≠x2).若直線的傾斜角為θ(θ≠eq\f(π,2))，則k＝tan__θ.3.直線方程的五種形式名稱幾何條件方程適用條件斜截式縱截距、斜率y＝kx＋b與x軸不垂直的直線點(diǎn)斜式過一點(diǎn)、斜率y－y0＝k(x－x0)兩點(diǎn)式過兩點(diǎn)eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)與兩坐標(biāo)軸均不垂直的直線截距式縱、橫截距eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不過原點(diǎn)且與兩坐標(biāo)軸均不垂直的直線一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)所有直線兩條直線的位置關(guān)系1.兩條直線平行與垂直的判定(1)兩條直線平行對(duì)于兩條不重合的直線l1，l2，其斜率分別為k1，k2，則有l(wèi)1∥l2?k1＝k2.特別地，當(dāng)直線l1，l2的斜率都不存在時(shí)，l1與l2平行.(2)兩條直線垂直如果兩條直線l1，l2斜率都存在，設(shè)為k1，k2，則l1⊥l2?k1·k2＝－1，當(dāng)一條直線斜率為零，另一條直線斜率不存在時(shí)，兩條直線垂直.2.兩直線相交直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共點(diǎn)的坐標(biāo)與方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解一一對(duì)應(yīng).相交?方程組有唯一解，交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解；平行?方程組無解；重合?方程組有無數(shù)個(gè)解.3.距離公式(1)兩點(diǎn)間的距離公式平面上任意兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式為|P1P2|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2).特別地，原點(diǎn)O(0，0)與任一點(diǎn)P(x，y)的距離|OP|＝eq\r(x2＋y2).(2)點(diǎn)到直線的距離公式平面上任意一點(diǎn)P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).(3)兩條平行線間的距離公式一般地，兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).圓的方程1.圓的定義和圓的方程定義在平面內(nèi)，到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合叫做圓方程標(biāo)準(zhǔn)(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圓心C(a，b)半徑為r一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)充要條件：D2＋E2－4F＞0圓心坐標(biāo)：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))半徑r＝eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系平面上的一點(diǎn)M(x0，y0)與圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之間存在著下列關(guān)系：(1)|MC|＞r?M在圓外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2?M在圓外；(2)|MC|＝r?M在圓上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?M在圓上；(3)|MC|＜r?M在圓內(nèi)，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2?M在圓內(nèi).四、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系1.直線與圓的位置關(guān)系設(shè)圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直線l：Ax＋By＋C＝0，圓心C(a，b)到直線l的距離為d，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x－a）2＋（y－b）2＝r2，,Ax＋By＋C＝0))消去y(或x)，得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程，其判別式為Δ.方法位置關(guān)系幾何法代數(shù)法相交d<rΔ>0相切d＝rΔ＝0相離d>rΔ<02.圓與圓的位置關(guān)系設(shè)兩個(gè)圓的半徑分別為R，r，R＞r，圓心距為d，則兩圓的位置關(guān)系可用下表來表示：位置關(guān)系相離外切相交內(nèi)切內(nèi)含幾何特征d＞R＋rd＝R＋rR－r＜d＜R＋rd＝R－rd＜R－r代數(shù)特征無實(shí)數(shù)解一組實(shí)數(shù)解兩組實(shí)數(shù)解一組實(shí)數(shù)解無實(shí)數(shù)解公切線條數(shù)43210方法技巧1.求傾斜角的取值范圍的一般步驟(1)求出斜率k＝tanα的取值范圍．(2)利用三角函數(shù)的單調(diào)性，借助圖象，確定傾斜角α的取值范圍．求傾斜角時(shí)要注意斜率是否存在．2.已知兩直線的一般方程兩直線方程l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0中系數(shù)A1，B1，C1，A2，B2，C2與垂直、平行的關(guān)系：A1A2＋B1B2＝0?l1⊥l2；A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0?l1∥l2.3.判斷直線與圓的位置關(guān)系常見的方法：(1)幾何法：利用d與r的關(guān)系．(2)代數(shù)法：聯(lián)立方程隨后利用Δ判斷．(3)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交．上述方法中最常用的是幾何法，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法適用于動(dòng)直線問題．4.求圓的弦長的常用方法(1)幾何法：設(shè)圓的半徑為r，弦心距為d，弦長為l，則()2＝r2－d2.(2)代數(shù)方法：運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長公式：設(shè)直線與圓的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝|x1－x2|＝.5.(1)判斷兩圓的位置關(guān)系常用幾何法，即用兩圓圓心距與兩圓半徑和與差之間的關(guān)系，一般不采用代數(shù)法．(2)當(dāng)兩圓相交時(shí)求其公共弦所在直線方程或是公共弦長，只要把兩圓方程相減消掉二次項(xiàng)所得方程就是公共弦所在的直線方程，再根據(jù)其中一個(gè)圓和這條直線就可以求出公共弦長．6.在解決直線與圓的位置關(guān)系時(shí)要充分考慮平面幾何知識(shí)的運(yùn)用，如在直線與圓相交的有關(guān)線段長度計(jì)算中，要把圓的半徑、圓心到直線的距離、直線被圓截得的線段長度放在一起綜合考慮，不要單純依靠代數(shù)計(jì)算，這樣既簡單又不容易出錯(cuò)．考點(diǎn)練考向一直線的傾斜角與斜率一、單選題1．（2022·山東淄博·模擬預(yù)測(cè)）若圓的弦MN的中點(diǎn)為，則直線MN的方程是（

）A． B． C． D．2.（2021天津市第七中學(xué)月考）已知直線l的方程為，則直線l的傾斜角為（）A．30°B．60°C．120°D．150°3．（2022·天津南開·一模）已知函數(shù)．若函數(shù)的圖象經(jīng)過四個(gè)象限，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C．D．4．（2022·山東濰坊·二模）已知直線，，若，則(

)A． B． C．3 D．－35．（2022·北京豐臺(tái)·二模）已知雙曲線C：（，）的左、右頂點(diǎn)分別為，，左、右焦點(diǎn)分別為，．以線段為直徑的圓與雙曲線C的一條漸近線交于點(diǎn)M，且點(diǎn)M在第一象限，與另一條漸近線平行．若，則的面積是（

）A． B． C． D．二、多選題6．（2022·湖南衡陽·二模）圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長線過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).由此可得，過雙曲線上任意一點(diǎn)的切線，平分該點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線的夾角.請(qǐng)解決下面問題：已知、分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)為在第一象限上的點(diǎn)，點(diǎn)在延長線上，點(diǎn)的坐標(biāo)為，且為的平分線，則下列正確的是（

）A．B．C．點(diǎn)到軸的距離為D．的角平分線所在直線的傾斜角為三、填空題7.（2021年1月新高考八省聯(lián)考卷）若正方形一條對(duì)角線所在直線的斜率為2，則該正方形的兩條鄰邊所在直線的斜率分別為______．8．（2022·廣東潮州·二模）設(shè)函數(shù)，點(diǎn)在圖象上，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)向量，若向量，且是與的夾角，則的最大值是______．四、解答題9．（2022·北京豐臺(tái)·二模）已知橢圓C：經(jīng)過點(diǎn)，P到橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離和為．(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)，R為PQ的中點(diǎn)，作PQ的平行線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，直線AQ與橢圓C交于另一點(diǎn)M，直線BQ與橢圓C交于另一點(diǎn)N，求證：M，N，R三點(diǎn)共線．考向二兩直線的位置關(guān)系1.（2021黑龍江省實(shí)驗(yàn)中高三檢測(cè)）已知直線和互相平行，則實(shí)數(shù)（）A. B. C.或 D.或考向三直線與圓的位置關(guān)系一、單選題1．（2022·河南河南·三模（理））已知，為圓：上兩點(diǎn)，且，點(diǎn)在直線：上，則的最小值為（

）A． B．C． D．2．（2022·全國·模擬預(yù)測(cè)（理））已知圓C：，若直線l：ax－y＋1－a＝0與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C．3 D．3.（2021內(nèi)蒙古赤峰二中高三第一次月考）圓與直線有公共點(diǎn)的充要條件是（）A．或B．C．D．或4.（2022廣西南寧市高三摸底測(cè)試）已知直線與圓相切，則m的值為（）A.3或 B.1或C.0或4 D.或05.（2022年（新高考）數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)）圓x2＋y2＋4x－12y＋1＝0關(guān)于直線ax－by＋6＝0(a>0，b>0)對(duì)稱，則＋的最小值是（）A．2B．C．D．二、多選題6．（2022·遼寧鞍山·二模）已知M為圓C：上的動(dòng)點(diǎn)，P為直線l：上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．直線l與圓C相切 B．直線l與圓C相離C．|PM|的最大值為 D．|PM|的最小值為7．（2022·海南?？凇つM預(yù)測(cè)）已知a>0，圓C：，則（

）A．存在3個(gè)不同的a，使得圓C與x軸或y軸相切B．存在2個(gè)不同的a，使得圓C在x軸和y軸上截得的線段相等C．存在2個(gè)不同的a，使得圓C過坐標(biāo)原點(diǎn)D．存在唯一的a，使得圓C的面積被直線平分8．（2022·重慶·二模）已知點(diǎn)，過直線上一點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別為，則（

）A．以線段為直徑的圓必過圓心B．以線段為直徑的圓的面積的最小值為C．四邊形的面積的最小值為4D．直線在軸上的截距的絕對(duì)值之和的最小值為4三、填空題9.（2021浙江省高三高考數(shù)學(xué)預(yù)測(cè)卷（二））已知直線，若直線與直線平行，則實(shí)數(shù)的值為______，動(dòng)直線被圓截得弦長的最小值為______．四、解答題10．（2022·江西南昌·二模（文））在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線C的極坐標(biāo)方程及直線l的直角坐標(biāo)方程；(2)若直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，且，求a.考向四圓與圓的位置關(guān)系1.（2021云南省玉溪市普通高中高三第一次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)）已知圓：截直線所得線段的長度是，則圓與圓：的位置關(guān)系是（）A．內(nèi)切B．相交C．外切D．相離2.（2021江蘇省鹽城市伍佑中學(xué)高三第一次階段考試）已知，分別為圓：與：的直徑，則的取值范圍為________．考向五直線與圓的綜合問題1.過x軸上一點(diǎn)P向圓作圓的切線，切點(diǎn)為A、B，則面積的最小值是（）A．B．C．D．2.（2020北京市北京二中高三12月份月考）動(dòng)點(diǎn)與給定的邊長為1的正方形在同一平面內(nèi)，設(shè)此正方形的頂點(diǎn)為，，，（逆時(shí)針方向），且點(diǎn)到，，的距離分別為，，．若，則點(diǎn)的軌跡是________；點(diǎn)到點(diǎn)的最大距離為________．經(jīng)典真題1.（2020年全國統(tǒng)一高考（新課標(biāo)Ⅲ））在平面內(nèi)，A，B是兩個(gè)定點(diǎn)，C是動(dòng)點(diǎn)，若，則點(diǎn)C的軌跡為（）A.圓 B.橢圓 C.拋物線 D.直線2.（2020年全國統(tǒng)一高考（新課標(biāo)Ⅰ））已知圓，過點(diǎn)（1，2）的直線被該圓所截得的弦的長度的最小值為（）A.1 B.2C.3 D.43.（2020年全國統(tǒng)一高考（新課標(biāo)Ⅲ））若直線l與曲線y=和x2+y2=都相切，則l的方程為（）A.y=2x+1 B.y=2x+ C.y=x+1 D.y=x+4.（2021年全國高考甲卷）拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O．焦點(diǎn)在x軸上，直線l：交C于P，Q兩點(diǎn)，且．已知點(diǎn)，且與l相切．（1）求C，的方程；（2）設(shè)是C上的三個(gè)點(diǎn)，直線，均與相切．判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由．經(jīng)典變式練一、單選題1．（2022·四川·內(nèi)江市教育科學(xué)研究所三模（文））已知拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為A，是拋物線上的點(diǎn).若軸，則以為直徑的圓截直線所得的弦長為(

)A．2 B． C．1 D．2．（2022·江西南昌·二模（文））已知直線與直線垂直，則m=（

）A．-2 B． C．2 D．3．（2022·天津河西·一模）拋物線的準(zhǔn)線與圓相交于A，B兩點(diǎn)，則（

）．A．2 B． C．4 D．4．（2022·遼寧葫蘆島·一模）已知直線恒過定點(diǎn)M，點(diǎn)N在曲線上，若（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則的面積為（

）A． B．2 C． D．5．（2022·安徽·蕪湖一中三模（文））直線平分圓的周長，過點(diǎn)作圓C的一條切線，切點(diǎn)為Q，則（

）A．5 B．4 C．3 D．26．（2022·山西臨汾·三模（理））已知直線l過圓的圓心，且與直線2x＋y－3＝0垂直，則l的方程為（

）A．x－2y＋1＝0 B．x＋2y－1＝0C．2x＋y－2＝0 D．x－2y－1＝0二、多選題7．（2022·江蘇·海安高級(jí)中學(xué)二模）已知直線l過點(diǎn)，點(diǎn)，到l的距離相等，則l的方程可能是(

)A． B．C． D．8．（2022·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）已知直線l過點(diǎn)（3，4），點(diǎn)A（－2，2），B（4，－2）到l的距離相等，則l的方程可能是（

）A．x－2y＋2＝0 B．2x－y－2＝0C．2x＋3y－18＝0 D．2x－3y＋6＝09．（2022·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）已知Р