2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第2章平面向量2.1.5向量共線的條件與軸上向量坐標(biāo)運(yùn)算教案含解析新人教B版必修4

PAGE1-2.1.5向量共線的條件與軸上向量坐標(biāo)運(yùn)算學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1．駕馭平行向量基本定理并理解兩向量共線的條件及單位向量的含義．(重點(diǎn))2．理解軸上的基向量、向量的坐標(biāo)及其運(yùn)算公式，并解決軸上的相關(guān)問題．(難點(diǎn))1．通過平行向量基本定理及單位向量的學(xué)習(xí)，培育學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理素養(yǎng)．2．借助向量的坐標(biāo)及平行向量基本定理的應(yīng)用，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算及邏輯推理核心素養(yǎng).1．平行向量基本定理(1)平行向量基本定理：假如a＝λb，則a∥b；反之，假如a∥b，且b≠0，則肯定存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使a＝λb.(2)單位向量：給定一個(gè)非零向量a，與a同方向且長度等于1的向量，叫做向量a的單位向量，假如a的單位向量記作a0，由數(shù)乘向量的定義可知：a＝|a|a0或a0＝eq\f(a,|a|).2．軸上向量的坐標(biāo)及其運(yùn)算(1)規(guī)定了方向和長度單位的直線叫做軸．已知軸l，取單位向量e，使e的方向與l同方向．依據(jù)向量平行的條件，對軸上隨意向量a，肯定存在唯一實(shí)數(shù)x，使a＝xe.反過來，隨意給定一個(gè)實(shí)數(shù)x，我們總能作一個(gè)向量a＝xe，使它的長度等于這個(gè)實(shí)數(shù)x的肯定值，方向與實(shí)數(shù)的符號一樣．單位向量e叫做軸l的基向量，x叫做a在l上的坐標(biāo)(或數(shù)量)．(2)x的肯定值等于a的長，當(dāng)a與e同方向時(shí)，x是正數(shù)，當(dāng)a與e反方向時(shí)，x是負(fù)數(shù)．實(shí)數(shù)與軸上的向量建立起一一對應(yīng)關(guān)系．(3)向量相等與兩個(gè)向量的和：設(shè)a＝x1e，b＝x2e，于是：假如a＝b，則x1＝x2；反之，假如x1＝x2，則a＝b；另外，a＋b＝(x1＋x2)e，這就是說，軸上兩個(gè)向量相等的條件是它們的坐標(biāo)相等；軸上兩個(gè)向量和的坐標(biāo)等于兩個(gè)向量的坐標(biāo)的和．(4)向量eq\o(AB,\s\up8(→))的坐標(biāo)常用AB表示，則eq\o(AB,\s\up8(→))＝ABe.eq\o(AB,\s\up8(→))表示向量，而AB表示數(shù)量，且有AB＋BA＝0.(5)軸上向量的坐標(biāo)：在數(shù)軸x上，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為x1，點(diǎn)B的坐標(biāo)為x2，則AB＝x2－x1，即軸上向量的坐標(biāo)等于向量終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo)．(6)數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離公式：在數(shù)軸x上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為x1，點(diǎn)B的坐標(biāo)為x2，則|AB|＝|x2－x1|.思索：在平行向量基本定理中，為什么要求b≠0?[提示]若b＝0，則0∥a，但是λ0＝0，從而a＝λb中的實(shí)數(shù)λ具有不確定性，進(jìn)而不能說存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得a＝λb.1．?dāng)?shù)軸上點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為－1,1,5，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.eq\o(AB,\s\up8(→))的坐標(biāo)是2 B.eq\o(CA,\s\up8(→))＝－3eq\o(AB,\s\up8(→))C.eq\o(CB,\s\up8(→))的坐標(biāo)是4 D.eq\o(BC,\s\up8(→))＝2eq\o(AB,\s\up8(→))C[eq\o(CB,\s\up8(→))的坐標(biāo)為1－5＝－4，故C項(xiàng)不正確．故選C.]2．以下選項(xiàng)中，a與b不肯定共線的是()A．a(chǎn)＝5e1－e2，b＝2e2－10e1B．a(chǎn)＝4e1－eq\f(2,5)e2，b＝e1－eq\f(1,10)e2C．a(chǎn)＝e1－2e2，b＝e2－2e1D．a(chǎn)＝3e1－3e2，b＝－2e1＋2e2C[選項(xiàng)A，b＝－2a；選項(xiàng)B，b＝eq\f(1,4)a；選項(xiàng)D，b＝－eq\f(2,3)a.只有選項(xiàng)C中a與b不共線．]3．設(shè)e1，e2不共線，b＝e1＋λe2與a＝2e1－e2共線，則λ＝________.－eq\f(1,2)[由題意可得存在實(shí)數(shù)k，使得b＝ka，則e1＋λe2＝2ke1－ke2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2k＝1,λ＝－k))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝\f(1,2)，,λ＝－\f(1,2).))]軸上向量的坐標(biāo)及其運(yùn)算【例1】已知數(shù)軸上四點(diǎn)A，B，C，D的坐標(biāo)分別是－4，－2，c，d.(1)若AC＝5，求c的值；(2)若|BD|＝6，求d的值；(3)若eq\o(AC,\s\up8(→))＝－3eq\o(AD,\s\up8(→))，求證：3eq\o(CD,\s\up8(→))＝－4eq\o(AC,\s\up8(→)).[思路探究]據(jù)條件表示出兩點(diǎn)所對應(yīng)的向量的坐標(biāo)，然后求解．[解](1)∵AC＝5，∴c－(－4)＝5，∴c＝1.(2)∵|BD|＝6，∴|d－(－2)|＝6，即d＋2＝6或d＋2＝－6，∴d＝4或d＝－8.(3)證明：因?yàn)閑q\o(CD,\s\up8(→))＝eq\o(CA,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))＝－eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))，而eq\o(AC,\s\up8(→))＝－3eq\o(AD,\s\up8(→))，所以eq\o(CD,\s\up8(→))＝－(－3eq\o(AD,\s\up8(→)))＋eq\o(AD,\s\up8(→))＝4eq\o(AD,\s\up8(→))，所以3eq\o(CD,\s\up8(→))＝12eq\o(AD,\s\up8(→))，又－4eq\o(AC,\s\up8(→))＝－4×(－3eq\o(AD,\s\up8(→)))＝12eq\o(AD,\s\up8(→))，故3eq\o(CD,\s\up8(→))＝－4eq\o(AC,\s\up8(→)).正確理解和運(yùn)用軸上向量的坐標(biāo)及長度計(jì)算公式是學(xué)習(xí)其他向量計(jì)算的基礎(chǔ)；解答本題首先利用數(shù)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)，計(jì)算出兩點(diǎn)所對應(yīng)向量的坐標(biāo)，特殊要留意向量坐標(biāo)運(yùn)算公式的依次，還要留意模運(yùn)算中可能會(huì)出現(xiàn)的兩種情形.1．已知數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為x1，x2，求eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(BA,\s\up8(→))的坐標(biāo)和長度．(1)x1＝2，x2＝－5.3；(2)x1＝10，x2＝20.5.[解](1)∵x1＝2，x2＝－5.3，∴AB＝－5.3－2＝－7.3，BA＝2－(－5.3)＝7.3.∴|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝7.3，|eq\o(BA,\s\up8(→))|＝7.3.(2)同理AB＝10.5，BA＝－10.5.|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝10.5，|eq\o(BA,\s\up8(→))|＝10.5.用平行向量基本定理證明幾何問題【例2】已知梯形ABCD中，AB∥DC，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，求證：EF∥AB∥DC.[思路探究]解題時(shí)首先結(jié)合圖形與所證問題，把幾何條件轉(zhuǎn)化為向量條件，然后利用向量的線性運(yùn)算與平行向量基本定理求證．[證明]延長EF到M，使EF＝FM，連接CM，BM，EC，EB，得ECMB，由平形四邊形法則得eq\o(EF,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(EM,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(EB,\s\up8(→))＋eq\o(EC,\s\up8(→)))．由于AB∥DC，所以eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(DC,\s\up8(→))共線且同向，依據(jù)平行向量基本定理，存在正實(shí)數(shù)λ，使eq\o(AB,\s\up8(→))＝λeq\o(DC,\s\up8(→)).由三角形法則得eq\o(EB,\s\up8(→))＝eq\o(EA,\s\up8(→))＋eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(EC,\s\up8(→))＝eq\o(ED,\s\up8(→))＋eq\o(DC,\s\up8(→))且eq\o(ED,\s\up8(→))＋eq\o(EA,\s\up8(→))＝0，∴eq\o(EF,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(EB,\s\up8(→))＋eq\o(EC,\s\up8(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(EA,\s\up8(→))＋eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(ED,\s\up8(→))＋eq\o(DC,\s\up8(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(DC,\s\up8(→)))＝eq\f(1＋λ,2)eq\o(DC,\s\up8(→))，∴eq\o(EF,\s\up8(→))∥eq\o(DC,\s\up8(→)).由于E，D不共點(diǎn)，∴EF∥DC∥AB.1．用平行向量基本定理證明直線平行或三點(diǎn)共線時(shí)，關(guān)鍵是把一個(gè)向量用有關(guān)向量線性表示，同時(shí)有機(jī)地結(jié)合向量的線性運(yùn)算及圖形完成證明．2．用向量法證明幾何問題的一般步驟是：首先用向量表示幾何關(guān)系，然后進(jìn)行向量運(yùn)算，得到新的適合題目要求的向量關(guān)系，最終將向量關(guān)系還原為幾何關(guān)系．2．已知e，f為兩個(gè)不共線的向量，若四邊形ABCD滿意eq\o(AB,\s\up8(→))＝e＋2f，eq\o(BC,\s\up8(→))＝－4e－f，eq\o(CD,\s\up8(→))＝－5e－3f.(1)將eq\o(AD,\s\up8(→))用e，f表示；(2)證明四邊形ABCD為梯形．[解](1)依據(jù)向量求和的多邊形法則，有eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))＝(e＋2f)＋(－4e－f)＋(－5e－3f)＝(1－4－5)e＋(2－1－3)f＝－8e－2f.(2)證明：因?yàn)閑q\o(AD,\s\up8(→))＝－8e－2f＝2(－4e－f)＝2eq\o(BC,\s\up8(→))，即eq\o(AD,\s\up8(→))＝2eq\o(BC,\s\up8(→)).所以eq\o(AD,\s\up8(→))∥eq\o(BC,\s\up8(→))，且eq\o(AD,\s\up8(→))的長度為eq\o(BC,\s\up8(→))的長度的2倍，所以在四邊形ABCD中，AD∥BC，且AD≠BC，所以四邊形ABCD為梯形.平行向量基本定理的應(yīng)用[探究問題]1.在平行向量基本定理中，為什么要求“b≠0”[提示]若b＝0，則λ不唯一，另外b相對于a而言是一個(gè)度量標(biāo)準(zhǔn)，度量標(biāo)準(zhǔn)不能為0.2．如何證明A、B、C三點(diǎn)共線？[提示]只需構(gòu)造兩個(gè)向量eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))，并證明eq\o(AB,\s\up8(→))＝λeq\o(AC,\s\up8(→))即可．【例3】如圖所示，已知在ABCD中，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N在BD上，且3BN＝BD.求證：M，N，C三點(diǎn)共線．[思路探究]利用向量的運(yùn)算法則將eq\o(MC,\s\up8(→))，eq\o(MN,\s\up8(→))兩向量分別用eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AD,\s\up8(→))表示出來，再利用平行向量基本定理判定eq\o(MC,\s\up8(→))，eq\o(MN,\s\up8(→))共線，從而證明M，N，C三點(diǎn)共線．[證明]設(shè)eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(AD,\s\up8(→))＝b，則eq\o(BD,\s\up8(→))＝eq\o(BA,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))＝－a＋b，eq\o(BN,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BD,\s\up8(→))＝－eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b，eq\o(MB,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)a，eq\o(BC,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))＝b，∴eq\o(MC,\s\up8(→))＝eq\o(MB,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)a＋b，eq\o(MN,\s\up8(→))＝eq\o(MB,\s\up8(→))＋eq\o(BN,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋b))，∴eq\o(MN,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)eq\o(MC,\s\up8(→))，∴eq\o(MN,\s\up8(→))∥eq\o(MC,\s\up8(→))，又M為公共點(diǎn)，∴M、N、C三點(diǎn)共線．平行向量基本定理的兩個(gè)方面的應(yīng)用：(1)一個(gè)向量可以由另一個(gè)向量線性表示，則可以判定兩向量平行，進(jìn)而證明三點(diǎn)共線，三角形相像，兩線段平行以及用來推斷圖形的形態(tài)等．(2)若兩向量平行，則一個(gè)向量可以由另一個(gè)非零向量線性表示，可以用來求參數(shù)，它是軸上向量坐標(biāo)化的依據(jù)．3．設(shè)兩個(gè)非零向量e1，e2不共線，已知eq\o(AB,\s\up8(→))＝2e1＋ke2，eq\o(CB,\s\up8(→))＝e1＋3e2，eq\o(CD,\s\up8(→))＝2e1－e2.問：是否存在實(shí)數(shù)k，使得A，B，D三點(diǎn)共線，若存在，求出k的值；若不存在，說明理由．[解]設(shè)存在k∈R，使得A，B，D三點(diǎn)共線，∵eq\o(DB,\s\up8(→))＝eq\o(CB,\s\up8(→))－eq\o(CD,\s\up8(→))＝(e1＋3e2)－(2e1－e2)＝－e1＋4e2.又∵A，B，D三點(diǎn)共線，∴eq\o(AB,\s\up8(→))＝λeq\o(DB,\s\up8(→))，∴2e1＋ke2＝λ(－e1＋4e2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＝－λ，,k＝4λ，))∴k＝－8，所以存在k＝－8，使得A，B，D三點(diǎn)共線．(老師用書獨(dú)具)1．向量共線定理的兩個(gè)作用(1)證明線段平行，但要留意向量共線時(shí)，兩向量所在的線段可能平行，也可能共線．(2)證明點(diǎn)共線，當(dāng)兩向量共線，且有公共點(diǎn)時(shí)，則表示向量的線段必在同一條直線上，從而向量的起點(diǎn)、終點(diǎn)必共線．2．證明三點(diǎn)共線的等價(jià)命題向量共線定理是證明三點(diǎn)共線的重要工具，即三點(diǎn)共線問題通常轉(zhuǎn)化為向量共線問題．如圖A、B、C三點(diǎn)共線，則eq\o(AB,\s\up8(→))＝λeq\o(AC,\s\up8(→))，任取直線AC外一點(diǎn)P，則eq\o(PB,\s\up8(→))－eq\o(PA,\s\up8(→))＝λ(eq\o(PC,\s\up8(→))－eq\o(PA,\s\up8(→)))，所以eq\o(PB,\s\up8(→))＝λeq\o(PC,\s\up8(→))＋(1－λ)eq\o(PA,\s\up8(→))，由此可推出三點(diǎn)共線的等價(jià)命題：A、B、C三點(diǎn)共線等價(jià)于eq\o(PB,\s\up8(→))＝λeq\o(PC,\s\up8(→))＋μeq\o(PA,\s\up8(→))(λ、μ∈R且λ＋μ＝1).1．設(shè)e1，e2是兩個(gè)單位向量，則下列結(jié)論中正確的是()A．e1＝e2 B．e1∥e2C．|e1|＝|e2| D．以上都不對C[單位向量的模都等于1個(gè)單位，故C項(xiàng)正確．]2.如圖所示，已知eq\o(OA,\s\up8(→))′＝3eq\o(OA,\s\up8(→))，eq\o(A′B′,\s\up8(→))＝3eq\o(AB,\s\up8(→))，則向量eq\o(OB,\s\up8(→))與eq\o(OB′,\s\up8(→))的關(guān)系為()A．共線B．同向C．共線且同向D．共線、同向，且eq\o(OB′,\s\up8(→))的長度是eq\o(OB,\s\up8(→))的3倍D[由題意，知eq\f(OA,OA