2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《解直角三角形之背靠背模型》專項(xiàng)測(cè)試卷（附答案）

第第頁2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《解直角三角形之背靠背模型》專項(xiàng)測(cè)試卷（附答案）學(xué)校:___________班級(jí)：___________姓名：___________考號(hào)：___________閱卷人一、選擇題得分1．在△ABC中，BC=3+1，∠A．3?12 B．32+1 C．2．如圖，在△ABC中，∠B和∠C都是銳角，若∠B=α,A．AB?cosβ=AC?cosC．AB?sinα=AC?sin3．如圖所示，熱氣球的探測(cè)器顯示，從熱氣球A處看一棟樓頂部B處的仰角為30°，看這棟樓底部C處的俯角為60°，熱氣球A處與樓的水平距離為150m，則這棟樓的高度為（）A．503m B．1503m C．4．如圖，港口A在觀測(cè)站O的正東方向，OA=4km，某船從港口A出發(fā)，沿北偏東15°方向航行一段距離后到達(dá)B處，此時(shí)從觀測(cè)站O處測(cè)得該船位于北偏東60°的方向，則該船航行的距離（即AB的長）為（）A．4km B．23km C．22km D．（3+1）km5．如圖，一艘輪船從位于燈塔C的北偏東60°方向，距離燈塔60海里的小島A出發(fā)，沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔C的南偏東45°方向上的B處，這時(shí)輪船B與小島A的距離是（）A．30海里 B．60海里C．120海里 D．（30＋303）海里閱卷人二、填空題得分6．如圖，小明與小華利用三角板測(cè)量教學(xué)樓前雕塑AB的高度．小明在二樓找到一點(diǎn)C，利用三角板測(cè)得雕塑頂端A點(diǎn)的仰角為30°，底部B點(diǎn)的俯角為45°；小華在五樓找到一點(diǎn)D，利用三角板測(cè)得A點(diǎn)的俯角為60°．已知CD為12米，則雕塑AB的高度是．（參考數(shù)值：2≈1.414,7．如圖，A，B兩地間隔著海島，直線距離為100海里，已知B地在A地的北偏東30°的方向上，貨輪從A地出發(fā)向正北方向航行到達(dá)燈塔C處，再從燈塔C沿北偏東75°方向航行到達(dá)B地，則貨輪從A地出發(fā)到達(dá)燈塔8．如圖，河寬CD為1003米，在C處測(cè)得對(duì)岸A點(diǎn)在C點(diǎn)南偏西30°方向、對(duì)岸B點(diǎn)在C點(diǎn)南偏東45°方向，則A、B兩點(diǎn)間的距離是米.（結(jié)果保留根號(hào)）閱卷人三、解答題得分9．已知銳角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，邊角總滿足關(guān)系式：asin（1）如圖1，若a=6,∠B=45°,∠C=75°，求b的值；（2）某公園準(zhǔn)備在園內(nèi)一個(gè)銳角三角形水池ABC中建一座小型景觀橋CD（如圖2所示），若CD⊥AB,AC=14米，AB=10米，sin∠ACB=5310．如圖，A，B兩市相距150km，國家級(jí)風(fēng)景區(qū)中心C位于A市北偏東60°方向上，位于B市北偏西45°方向上.已知風(fēng)景區(qū)是以點(diǎn)C為圓心、50km為半徑的圓形區(qū)域.為了促進(jìn)旅游經(jīng)濟(jì)發(fā)展，有關(guān)部門計(jì)劃修建連接A，B兩市的高速公路，高速公路AB是否穿過風(fēng)景區(qū)？通過計(jì)算加以說明.（參考數(shù)據(jù)：11．如圖，一架無人機(jī)在距離地面高度為14.3米的點(diǎn)A處，測(cè)得地面上點(diǎn)M的俯角為53°，這架無人機(jī)沿仰角為350的方向飛行了56米到達(dá)點(diǎn)B，恰好在地面上點(diǎn)N的正上方，M，N在同一水平線上.求M，N兩點(diǎn)之間的距離.(結(jié)果精確到1米.參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70)12．如圖，為了修建跨江大橋，需要利用數(shù)學(xué)方法測(cè)量江的寬度AB．飛機(jī)上的測(cè)量人員在C處測(cè)得A，B兩點(diǎn)的俯角分別為45°和30°．若飛機(jī)離地面的高度CD為1000m，且點(diǎn)D，A，B在同一水平直線上，試求這條江的寬度AB（結(jié)果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：2≈113．如圖，某防洪大壩的橫截面是梯形ABCD，迎水坡CD的坡角為30°，壩頂AD寬度為2米，壩高AE為4米，背水坡AB的坡度主i=1：1.（1）求該堤壩的橫截面積.（2）為更好應(yīng)對(duì)可能來臨的汛情，防洪指揮部決定加固堤壩，要求壩高不變，壩頂寬度增加1米，背水坡的坡度改為i=1：1.5，求加固后的堤壩的橫截面積.（結(jié)果均保留根號(hào)）14．如圖，要在木里縣某林場(chǎng)東西方向的兩地之間修一條公路MN，已知C點(diǎn)周圍200米范圍內(nèi)為原始森林保護(hù)區(qū)，在MN上的點(diǎn)A處測(cè)得C在A的北偏東45°方向上，從A向東走600米到達(dá)B處，測(cè)得C在點(diǎn)B的北偏西60°方向上．（1）MN是否穿過原始森林保護(hù)區(qū)，為什么？（參考數(shù)據(jù)：3≈1.732）（2）若修路工程順利進(jìn)行，要使修路工程比原計(jì)劃提前5天完成，需將原定的工作效率提高25%，則原計(jì)劃完成這項(xiàng)工程需要多少天？15．如圖，在東西方向的海綿線MN上，有A，B兩艘巡邏船和觀測(cè)點(diǎn)D（A，B，D在直線MN上），兩船同時(shí)收到漁船C在海綿停滯點(diǎn)發(fā)出的求救信號(hào)．測(cè)得漁船分別在巡邏船A，B北偏西30°和北偏東45°方向，巡邏船A和漁船C相距120海里，漁船在觀測(cè)點(diǎn)D北偏東15°方向．（說明：結(jié)果取整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：2≈1.41（1）求巡邏船B與觀測(cè)點(diǎn)D間的距離；（2）已知觀測(cè)點(diǎn)D處45海里的范圍內(nèi)有暗礁．若巡邏船B沿BC方向去營救漁船C有沒有觸礁的危險(xiǎn)？并說明理由．閱卷人四、實(shí)踐探究題得分16．如圖（問題背景）如圖1，在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上且滿足∠BAD＝∠ACB，求證：BA2＝BD?BC；（嘗試應(yīng)用）如圖2，在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上且滿足∠BAD＝∠ACB，點(diǎn)E在邊AB上，點(diǎn)G在AB的延長線上，延長ED交CG于點(diǎn)F，若3AD＝2AC，BE＝ED，BG＝2，DF＝1，求BE的長度；（拓展創(chuàng)新）如圖3，在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上（AB≠AD）且滿足∠ACB＝2∠BAD，DH⊥AB垂足為H，若AHAD=79，17．【實(shí)踐課題】測(cè)量湖邊觀測(cè)點(diǎn)A和湖心島上鳥類棲息點(diǎn)P之間的距離．【實(shí)踐工具】皮尺、測(cè)角儀等測(cè)量工具【實(shí)踐活動(dòng)】某班甲小組根據(jù)胡岸地形狀況，在岸邊選取合適的點(diǎn)B．測(cè)量A，B兩點(diǎn)間的距離以及∠PAB和∠PBA，測(cè)量三次取平均值，得到數(shù)據(jù)：AB＝60米，∠PAB＝79°，∠PBA＝64°．畫出示意圖，如圖1：（1）【問題解決】計(jì)算A，P兩點(diǎn)間的距離．（參考數(shù)據(jù)：sin64°≈0.90，sin79°≈0.98，cos79°≈0.19，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）（2）【交流研討】甲小組回班匯報(bào)后，乙小組提出了另一種方案：如圖2，選擇合適的點(diǎn)D，E，F(xiàn)，使得A，D，E在同一條直線上，且AD＝DE，∠DEF＝∠DAP，當(dāng)F，D，P在同一條直線上時(shí)，只需測(cè)量EF即可．乙小組的方案用到了．（填寫正確答案的序號(hào)）①解直角三角形②三角形全等【教師評(píng)價(jià)】甲、乙兩小組的方案都很好，對(duì)于實(shí)際測(cè)量，要根據(jù)現(xiàn)場(chǎng)地形狀況選擇可實(shí)施的方案．參考答案1．【答案】C2．【答案】C3．【答案】C4．【答案】C5．【答案】D6．【答案】8.2米7．【答案】(8．【答案】100+10039．【答案】（1）26；（2）10．【答案】解：高速公路AB不穿過風(fēng)景區(qū).過點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，如圖所示.根據(jù)題意，得：∠CAB=30°，在Rt△CHB∵tan∠CBH=∴CH=BH.設(shè)BH=tkm，則CH=tkm，在Rt△CAH∵tan∠CAH=∴AH=3∵AB=150km，∴3t+t=150∴t=753∵54.75>50，∴高速公路AB不穿過風(fēng)景區(qū).11．【答案】解：如圖，過點(diǎn)A作AC⊥BN于點(diǎn)C，過點(diǎn)M作MD⊥AC于點(diǎn)D.在Rt△AMD中，DM=14.3米，∠DAM=53°，∴AD=DM在Rt△ABC中，AB=56米，∠BAC=35°，∴AC=AB?cos35°≈56×0.82=45.92（米）.∵AC⊥BN，MD⊥AC，MN⊥BN，∴四邊形MDCN是矩形，∴MN=DC=AC?AD=45.92?10.8≈35（米）.答：M，N兩點(diǎn)之間的距離約為35米.12．【答案】解：如圖，∵CE∥DB，∴∠CAD=∠ACE=45°，在Rt△ACD中，∵∠CAD=45°，∴AD=CD=1000米，在Rt△DCB中，∵tan∠CBD=CD∴BD=CD∴AB=BD?AD=10003答：這條江的寬度AB約為732米．13．【答案】（1）解：如下圖所示，作DF⊥BC：

由題意背水坡AB的坡度i=1：1可知，BE=AE=DF=4米，EF=AD=2米，

∵∠C=30°，

∴FC=DFtan30°=43米，

∴BC=DE+EF+FC=6+43米，

∴堤壩的橫截面積=（AD+BC）·AE（2）解：壩頂延長至G，作GQ⊥BC，

由題意可知AG=1米，GQ=AE=4米，

∵背水坡的坡度i=1：1.5，

∴HQ=1.5GQ=6米，

∵QF=QE+EF=GD=AG+AD=3米，F(xiàn)C=43米，

∴HC=HQ+QF+FC=12+43米，

∴加固后的堤壩的橫截面積=（GD+HC）·AE2=（14．【答案】（1）解：理由如下：如圖，過C作CH⊥AB于H．設(shè)CH=x，由已知有∠EAC=45°，∠FBC=60°，則∠CAH=45°，∠CBA=30°．在Rt△ACH中，AH=CH=x，在Rt△HBC中，tan∠HBC=CH∴HB=CH∵AH+HB=AB，∴x+3x=600，解得x=6001+∴MN不會(huì)穿過森林保護(hù)區(qū)．（2）解：設(shè)原計(jì)劃完成這項(xiàng)工程需要y天，則實(shí)際完成工程需要（y﹣5）天．根據(jù)題意得：1y?5=（1+25%）×解得：y=25．經(jīng)檢驗(yàn)知：y=25是原方程的根．答：原計(jì)劃完成這項(xiàng)工程需要25天．15．【答案】（1）解：如圖，過點(diǎn)C作CE⊥MN于點(diǎn)E∴∠CEA=∠CEB=90°，∴AE=12∴CE=BE=∴AB=AE+BE=60+60∵∠ACD=∠ACE+∠DCE=45°=∠ABC，∠CAD=∠BAC∴ΔACD～ΔABC∴即AD解得AD=120BD=AB?AD=60+603所以，巡邏船B與觀測(cè)點(diǎn)D間的距離約為76海里；（2）解：沒有觸礁危險(xiǎn)，理由如下如圖，過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F∴∠BFD=90°∵∠ABC=45°∴ΔBDF是等腰直角三角形∴DF=2∵54>45∴沒有觸礁危險(xiǎn)16．【答案】解：（問題背景）證明：∵∠BAD＝∠ACB，∠B＝∠B，∴△BAD～△BCA，∴BABC∴BA2＝BD?BC；（嘗試應(yīng)用）解：由（1）可得△BAD～△BCA，又∵3AD＝2AC∴BABC設(shè)BD=4x，則BA=6x，BC=9x，如解圖2，過F點(diǎn)作FM//AG，交BC于M點(diǎn)，∴∠ABD＝∠FMD，∵BE＝ED，∴∠ABD＝∠EDB，又∵∠MDF＝∠EDB，∴∠MDF＝∠FMD，∴MF＝DF＝1，由FM//AG可得△BED～△MFD，△CMF～△CBG，∴BDMD=BE由∵BG＝2，MF＝DF＝1，∴CM=1∴MD=CD?CM=5x?9∴BDMD∴BE=8FM=8；（拓展創(chuàng)新）解：延長BC到G，使CG=AC，過C點(diǎn)作CM⊥AG垂足為M，∴∠CAG＝∠G，∴∠ACB＝∠CAG+∠G=2∠CAG＝2∠G，∵∠ACB＝2∠BAD，∴∠BAD=∠CAG＝∠G，∵cos∠BAD=∴cos∠CAG＝cos∠G=∴AG=2AM=14∵ADAC=∴AD又∵∠B=∠B，∠BAD＝∠G，∴△BAD～△BGA，∴BDAB設(shè)BD=2x，AD=9y，則AB=3x，AH=7y，BH=3x?7y，在Rt△AHD中，HD在Rt△BHD中，HD∴?5x解關(guān)于x的方程得：x1=3y，當(dāng)x=3y時(shí)，AB=AD=9y不合題意舍去；當(dāng)x