高中數(shù)學(xué)講義（人教B版2019必修三）第01講711角的推廣

7.1.1角的推廣TOC\o"13"\h\u題型1任意角的概念 3◆類型1概念辨析 3◆類型2時(shí)鐘旋轉(zhuǎn)的角度問題 4題型2象限角與集合間的基本關(guān)系 8◆類型1象限角的判定 8◆類型2象限角與集合的關(guān)系 14題型3終邊相同角 16題型4n倍角與n分角所在的象限 24題型5區(qū)域角的表示 28◆類型1一個(gè)區(qū)域型 29◆類型2兩個(gè)區(qū)域型 31題型6終邊對稱角的表示 34知識(shí)點(diǎn)一.任意角1.任意角的定義：定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形.構(gòu)成要素：始邊、頂點(diǎn)、終邊表示：常用大寫字母A,B,C等表示臘字母α,β,γ等表示；特別的，當(dāng)角作為變量時(shí)，常用字母x表示.2．角的表示：如圖，OA是角α的始邊，OB是角α的終邊，O是角α的頂點(diǎn)．角α可記為“角α”或“∠α”或簡記為“α”．3．角的分類：名稱定義圖示正角按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角負(fù)角按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角零角一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)形成的角知識(shí)點(diǎn)二.角的加法與減法設(shè)α，β是任意兩個(gè)角，－α為角α的相反角．(1)α＋β：把角α的終邊旋轉(zhuǎn)角β.(2)α－β：α－β＝α＋(－β)．知識(shí)點(diǎn)三.象限角把角放在平面直角坐標(biāo)系中，使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，就說這個(gè)角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限．知識(shí)點(diǎn)四.象限角的集合表示象限角集合表示第一象限角Z第二象限角Z第三象限角Z第四象限角Z知識(shí)點(diǎn)五.非象限角的集合表示角的終邊位置集合表示軸的非負(fù)半軸軸的非正半軸軸上軸非負(fù)半軸軸非正半軸軸上知識(shí)點(diǎn)六.終邊相同的角所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個(gè)周角的和．題型1任意角的概念【方法總結(jié)】判定角的概念問題的關(guān)鍵與技巧1.關(guān)鍵：正確理解象限角與銳角、直角、鈍角、平角、周角等概念.2.技巧：判斷一種說法正確需要證明，而判斷一種說法錯(cuò)誤只需要舉出反例即可.◆類型1概念辨析【例題11】平面直角坐標(biāo)系中，取角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，角的始邊為x軸的非負(fù)半軸，下列說法正確的是（

）A．第一象限角一定不是負(fù)角B．三角形的內(nèi)角是第一象限角或第二象限角C．第二象限角必大于第一象限角D．鈍角的終邊在第二象限【答案】D【分析】根據(jù)象限角與角的定義逐個(gè)選項(xiàng)辨析即可.【詳解】－330°角是第一象限角，且是負(fù)角，故A錯(cuò)誤；三角形的內(nèi)角可能為90°，90°角不是第一象限角或第二象限角，故B錯(cuò)誤；α＝390°為第一象限角，β＝120°為第二象限角，此時(shí)α＞β，故C錯(cuò)誤；鈍角是大于90°且小于180°的角，它的終邊在第二象限，故D正確．故選：D．【變式11】1.下列結(jié)論：①三角形的內(nèi)角必是第一、二象限角；②始邊相同而終邊不同的角一定不相等；③小于90°的角為銳角；④鈍角比第三象限角小；⑤小于180°的角是鈍角、直角或銳角．其中正確的結(jié)論為________(填序號)．【答案】②【解析】①90°的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故①不正確；②始邊相同而終邊不同的角一定不相等，故②正確；③小于90°的角可以是零角，也可以是負(fù)角，故③不正確；④鈍角大于－100°的角，而－100°的角是第三象限角，故④不正確；⑤0°角或負(fù)角小于180°，但它既不是鈍角，也不是直角或銳角，故⑤不正確．【變式11】2．（多選）（2022春·海南省直轄縣級單位·高一海南二中?？计谥校┫铝忻}錯(cuò)誤的是（

）A．小于90°的角一定是銳角 B．終邊相同的角一定相等C．銳角是第一象限角 D．直角是第一象限角【答案】ABD【分析】根據(jù)終邊相同的角，象限角的定義，銳角和直角定義分別判斷即可.【詳解】小于90°的角不一定是銳角，比如?30°，故A錯(cuò)；終邊相同的角不一定相等，比如30°和390°的角，故B錯(cuò)；銳角是第一象限角，故C正確；直角不屬于任何象限角，故D錯(cuò).故選：ABD◆類型2時(shí)鐘旋轉(zhuǎn)的角度問題【例題12】若手表時(shí)針走過4小時(shí)，則時(shí)針轉(zhuǎn)過的角度為()A．120°B．－120°C．－60°D．60°【答案】B【解析】由于時(shí)針是順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，故時(shí)針轉(zhuǎn)過的角度為負(fù)數(shù)，即為－eq\f(4,12)×360°＝－120°.【變式12】1.鐘表的分針在1.5小時(shí)內(nèi)轉(zhuǎn)了（

）A．180° B．180° C．540° D．540°【答案】D【分析】根據(jù)任意角的定義即可得出選項(xiàng).【詳解】根據(jù)順時(shí)針為負(fù)角，則分針在1.5小時(shí)內(nèi)轉(zhuǎn)了?360故選：D【變式12】2.（2021·高一課時(shí)練習(xí)）如圖是清代的時(shí)辰醒鐘，此醒鐘直徑12.5厘米，厚7.5厘米，由清朝宮廷鐘表處制造，以中國傳統(tǒng)的一日十二個(gè)時(shí)辰為表盤顯示，其內(nèi)部結(jié)構(gòu)與普通機(jī)械鐘表的內(nèi)部結(jié)構(gòu)相似.則丑時(shí)與午時(shí)的夾角是（

）A．120° B．135° C．150° D．165°【答案】C【分析】首先求出一個(gè)時(shí)辰所對應(yīng)的圓心角，再根據(jù)丑時(shí)與午時(shí)相差的時(shí)辰個(gè)數(shù)計(jì)算可得；【詳解】解：一日十二個(gè)時(shí)辰，則一個(gè)時(shí)辰所對應(yīng)的圓心角為360°12=30°，丑時(shí)與午時(shí)相差5故選：C【變式12】3.（2021·高一課時(shí)練習(xí)）鐘的時(shí)針和分針一天內(nèi)會(huì)重合（

）A．21次 B．22次 C．23次 D．24次【答案】B【分析】根據(jù)一天24小時(shí)中時(shí)針和分針轉(zhuǎn)的圈數(shù)求解.【詳解】一天24小時(shí)中時(shí)針轉(zhuǎn)2圈，分針轉(zhuǎn)24圈，所以分針比時(shí)針多轉(zhuǎn)的圈數(shù)是242=22，又因?yàn)槊慷噢D(zhuǎn)一圈，分針就與時(shí)針相遇一次，所以鐘的時(shí)針和分針一天內(nèi)會(huì)重合22次，故選：B【變式12】4.（2022春·海南省直轄縣級單位·高二嘉積中學(xué)?？计谀?022年北京冬奧會(huì)開幕式倒計(jì)時(shí)環(huán)節(jié)把二十四節(jié)氣與古詩詞、古諺語融為一體，巧妙地呼應(yīng)了今年是第二十四屆冬奧會(huì)，更是把中國傳統(tǒng)文化和現(xiàn)代美學(xué)完美地結(jié)合起來，彰顯了中華五千年的文化自信．地球繞太陽的軌道稱為黃道，而二十四節(jié)氣正是按照太陽在黃道上的位置來劃分的．當(dāng)太陽垂直照射赤道時(shí)定為“黃經(jīng)零度”，即春分點(diǎn)．從這里出發(fā)，每前進(jìn)15度就為一個(gè)節(jié)氣，從春分往下依次順延，清明、谷雨、立夏等等．待運(yùn)行一周后就又回到春分點(diǎn)，此為一回歸年，共360度，因此分為24個(gè)節(jié)氣，則今年高考前一天芒種為黃經(jīng)（

）A．60度 B．75度 C．270度 D．285度【答案】B【分析】根據(jù)“節(jié)氣”的知識(shí)求得正確答案.【詳解】春分往下依次順延，清明、谷雨、立夏、小滿、芒種，所以芒種為黃經(jīng)15×5=75度.故選：B【變式12】5.(2022·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，圓O的圓周上一點(diǎn)P以A為起點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，10min轉(zhuǎn)一圈，24min之后OP從起始位置OA轉(zhuǎn)過的角是（

）A．?864° B．432° C．504【答案】D【分析】求出點(diǎn)P逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一分鐘轉(zhuǎn)的度數(shù)再乘以24即可求解.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)P以A為起點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，10min轉(zhuǎn)一圈，所以點(diǎn)P逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一分鐘轉(zhuǎn)的度數(shù)為360°設(shè)24min之后OP從起始位置OA轉(zhuǎn)過的角為36°故選：D．【變式12】6.（2022·高一課時(shí)練習(xí)）（1）時(shí)鐘走了3小時(shí)20分，則時(shí)針?biāo)D(zhuǎn)過的角的度數(shù)為_______，分針轉(zhuǎn)過的角的度數(shù)為__________．（2）如圖，射線OA繞頂點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°到OB位置，并在此基礎(chǔ)上順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°到達(dá)OC位置，則∠AOC【答案】

?100°

?1200°

?75°【解析】（1）計(jì)算出指針單位時(shí)間內(nèi)走過的度數(shù)→乘以時(shí)間．（2）∠AOB=45°→∠【詳解】（1）從時(shí)針和分針每小時(shí)或每分鐘轉(zhuǎn)過的角度數(shù)切入，時(shí)針每小時(shí)轉(zhuǎn)30°，分針每小時(shí)轉(zhuǎn)360°，每分鐘轉(zhuǎn)6°、時(shí)針、分針都按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，故轉(zhuǎn)過的角度數(shù)都是負(fù)的，3小時(shí)20分即313小時(shí)，故時(shí)針轉(zhuǎn)過的角度數(shù)為?31（2）由角的定義可得∠AOC故答案為：?100°；?1200°；?75°．【點(diǎn)睛】本題考查任意角的概念，注意角的正負(fù)與順逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的規(guī)定．題型2象限角與集合間的基本關(guān)系◆類型1象限角的判定【例題21】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）在直角坐標(biāo)系中作出下列各角，并指出它們是第幾象限角：(1)135°；(2)?120°；(3)855°；(4)-750°.【答案】(1)詳見解析；(2)詳見解析；(3)詳見解析；(4)詳見解析.【分析】結(jié)合角的定義，利用終邊相同的角判斷.(1)解：135°在直角坐標(biāo)系中位置如圖所示：135°是第二象限角：(2)?120°在直角坐標(biāo)系中位置如圖所示：?120°是第三象限角：(3)885°855°是第二象限角：(4)-750°=-2×360°-30°在直角坐標(biāo)系中位置如圖所示：-750°是第四象限角.【變式21】1.（2022秋·新疆阿克蘇·高一?？茧A段練習(xí)）2022°A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角【答案】C【分析】根據(jù)終邊相同的角的定義求解.【詳解】因?yàn)?022°所以2022°與?138°所以2022°故選:C.【變式21】2．（2021秋·天津?qū)幒印じ咭惶旖蚴袑幒訁^(qū)蘆臺(tái)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）?530°是（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角【答案】C【分析】根據(jù)任意角的定義推算即可.【詳解】?530°=?360°故選：C.【變式21】3.（2022春·廣西桂林·高一?？计谥校┙o出四個(gè)命題：①?60°是第四象限角；②235°是第三象限角；③475°是第二象限角；④?315°是第一象限角.其中正確的有（

）個(gè).A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根據(jù)任意角的相關(guān)知識(shí)，對每一項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷和分析，即可選擇.【詳解】對①：?60°是第四象限角，故①正確；對②：180°<235°<270°，故其為第三象限角，故②正確；對③：475°=360°+115°，又115°是第二象限角，故475°是第二象限角，③正確；對④：?315°=?360°+45°，又45°是第一象限角，給?315°是第一象限角，④正確.故正確的有4個(gè).故選：D.【變式21】4．若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，則α在()A．第一或第三象限 B．第一或第二象限C．第二或第四象限 D．第三或第四象限【答案】A【解析】當(dāng)k＝2m＋1(m∈Z)時(shí)，α＝2m·180°＋225°＝m·360°＋225°，故α為第三象限角；當(dāng)k＝2m(m∈Z)時(shí)，α＝m·360°＋45°，故α為第一象限角．故α在第一或第三象限．【例題22】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）求下列各式的值，并作圖說明運(yùn)算的幾何意義．(1)90°+?60°(2)60°?180°；(3)?60°+270°．【答案】(1)30°，圖像和幾何意義見解析；(2)－120°，圖像和幾何意義見解析；(3)210°，圖像和幾何意義見解析；【分析】在平面直角坐標(biāo)系中，以x軸非負(fù)半軸作始邊，沿逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正角，加上一個(gè)角為終邊沿逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，減去一個(gè)角為終邊沿順時(shí)針旋轉(zhuǎn).（1）90°+?60°=30°，在平面直角坐標(biāo)系中，以x軸非負(fù)半軸作始邊，沿逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正角，（2）60°?180°=?120°，在平面直角坐標(biāo)系中，以x軸非負(fù)半軸作始邊，沿逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正角，60°?180°表示60°角的終邊沿順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°沿順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°：（3）?60°+270°=210°，在平面直角坐標(biāo)系中，以x軸非負(fù)半軸作始邊，沿逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正角，?60°+270°表示－60°角的終邊沿逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)270°：【變式22】1.（2022·高一課時(shí)練習(xí)）若α是第二象限角，則180°－α是第______象限角．【答案】一【分析】利用象限角的定義進(jìn)行求解.【詳解】若α是第二象限角，則k?360°所以?k?360即?k?360所以180°－α是第一象限角．故答案為：一.【變式22】2．若α是第一象限角，則下列各角中屬于第四象限角的是()A．90°－αB．90°＋αC．360°－αD．180°＋α【答案】C【解析】特例法，取α＝30°，可知C正確．作為選擇題，用特例求解更簡便些．一般角所在的象限討論，應(yīng)學(xué)會(huì)用旋轉(zhuǎn)的方法找角所在的象限．如，α＋90°，將角α的終邊逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，α－90°，則將α的終邊順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，角180°＋α的終邊為角α的終邊反向延長線，180°－α，先將角α的終邊關(guān)于x軸對稱，再關(guān)于原點(diǎn)對稱，即可得到180°－α的終邊等等．【變式22】3.（2022秋·湖北武漢·高一武漢市第六中學(xué)校考階段練習(xí)）若α是第一象限角，則下列各角中屬于第三象限角的是（

）A．90°?α B．90°+α C．360°?α【答案】D【分析】由題意逐一考查所給選項(xiàng)即可求得最終結(jié)果.【詳解】若α是第一象限角，則：90°?α90°+α360°?α180°+α故選：D◆類型2象限角與集合的關(guān)系【例題23】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知集合A={第一象限的角}，B={銳角}，C={小于90°的角}．給出下列四個(gè)命題：①A=B=CA．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)定義，集合A={第一象限角}表示要終邊落在第一象限的角；B={銳角}，是指大于0°而小于90°的角；C={小于90°的角}【詳解】解：A={第一象限角}B={銳角}，是指大于0°而小于90°C={小于90°的角}，小于90°根據(jù)集合的含義和基本運(yùn)算判斷：①A=②A?C，比如，361°∈A③B∪C=C，則集合④A∩C=B，比如所以正確命題個(gè)數(shù)為1個(gè)．故選：B．【變式23】1.（2021·江蘇·高一專題練習(xí)）已知A＝{第二象限角}，B＝{鈍角}，C＝{大于90°的角}，那么A、B、C關(guān)系是（

）A．B＝A∩C B．B∪C＝CC．AC D．A＝B＝C【答案】B【分析】利用任意角象限角的概念逐一分析判斷得解.【詳解】解：對A，如480°在集合A∩C對B，鈍角大于90°，小于180°，故BC，故選項(xiàng)B正確；對C，AC，如?210°在第二象限，但是并不大于對D，A＝B＝C錯(cuò)誤.如?210故選：B【變式23】2.（2023·高一單元測試）如果A={第一象限角}，B={銳角}，C={小于90°的角}A．B=A∩C．A∪C=【答案】B【分析】利用舉特例可判斷ACD選項(xiàng)，由B?【詳解】因?yàn)锳={第一象限角}，B={銳角}，C={小于90°所以對于A，因?yàn)?330°∈A，?330°∈對于B，∵B?C對于C，∵?30°∈C，∴?30對于D，∵?30°?A，?30°?故選：B【變式23】3.設(shè)M＝{α|α＝k?90°，k∈Z}∪{α|α＝k?180°+45°，k∈Z}，N＝{α|α＝k?45°，k∈Z}，則（）A．M?NB．M?NC．M＝ND．M∩N＝?【答案】A【解析】∵N＝{α|α＝k?45°，k∈Z}，∴當(dāng)k為偶數(shù)，即k＝2n時(shí)，n∈Z，α＝k?45°＝2n?45°＝n?90°，∴當(dāng)k為奇數(shù)，即k＝2n+1時(shí)，n∈Z，α＝k?45°＝（2n+1）?45°＝n?90°+45°，又M＝{α|α＝k?90°，k∈Z}∪{α|α＝k?180°+45°，k∈Z}，∴M?N．【變式23】4.（2022秋·山東青島·高二?？茧A段練習(xí)）設(shè)集合M=xxA．M∩N=? B．MN C．NM【答案】B【分析】兩個(gè)集合分別用列舉法表示即可求解.【詳解】由于M=xx所以MN，故選：B.題型3終邊相同角【方法總結(jié)】對于集合S={β|β=a＋k360°，k∈Z}的理解應(yīng)注意三點(diǎn)：α是任意角．（2）“k∈Z”有三層含義：①特殊性：k每取一個(gè)整數(shù)值就對應(yīng)一個(gè)具體的角；②一般性：表示所有與角α終邊相同的角（包括α自身）；③從幾何意義上看，k表示角的終邊按一定的方向旋轉(zhuǎn)的圈數(shù)，k取正整數(shù)時(shí)，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)；k取負(fù)整數(shù)時(shí)，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)；k=0時(shí)，沒有旋轉(zhuǎn).（3）集合中"k360°"與"α"之間用"+"連接，如30°＋k360°應(yīng)看成（30°）+k·360°，表示與30°角終邊相同的角.【注意】相等的角終邊一定相同，但終邊相同的角不一定相等，終邊相同的角有無數(shù)個(gè)，它們相差360°的整數(shù)倍.【例題31】（2023秋·湖北十堰·高一統(tǒng)考期末）寫出一個(gè)與130°終邊相同的角：__________.【答案】490°（答案不唯一）【分析】根據(jù)終邊相同的角的集合寫出即可.【詳解】與130°終邊相同的角的集合為{α取k=1，則α=490°，（k取值時(shí)，故答案為：490°（答案不唯一）.【變式31】1.（2023·高一課時(shí)練習(xí)）與?2022°的終邊重合的最大負(fù)角是______，與【答案】

?222°【分析】根據(jù)終邊相同的角相差360°的整數(shù)倍，利用集合的描述法可寫出符合條件的集合，給k【詳解】根據(jù)終邊相同的角相差360°故與?2022°終邊相同的角可表示為：{α則當(dāng)k=5時(shí)，α與角2023°終邊相同的角可表示為：{α當(dāng)k=?5時(shí)，α故答案為：?222°，【變式31】2.在0°～360°范圍內(nèi)，與﹣853°18'終邊相同的角為（）A．136°18'B．136°42'C．226°18'D．226°42'【答案】D【解析】由﹣853°18'＝﹣3×360°+226°42′，可得，在0°～360°范圍內(nèi)，與﹣853°18'終邊相同的角為226°42′，【變式31】3.（2022·高一課時(shí)練習(xí)）將x軸正半軸繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，得到角α，則下列與α終邊相同的角是（

）A．330° B．?330° C．210° D．?210°【答案】B【分析】寫出終邊相同的角α的集合，進(jìn)而選出正確答案.【詳解】由題意得：αα當(dāng)k=?1時(shí)，α故選：B【變式31】4.（2023·高一課時(shí)練習(xí)）在0°到360°之間與【答案】30【分析】列出與?1050【詳解】與?1050°終邊相同的角可表示為依題意有0°≤k?360°?所求的角對應(yīng)為30°故答案為：30°【例題32】（2020秋·新疆喀什·高一莎車縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）與?75°終邊相同的角的集合是（

），A．ββB．ββC．ββD．ββ【答案】A【分析】利用終邊相同的角的定義求解.【詳解】解：由終邊相同的角知：與?75°終邊相同的角的集合是ββ故選：A【變式32】1.（2022春·江西宜春·高一江西省萬載中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知角α=A．–22o B．–220o C．–202o D．–158o【答案】A【分析】由α=k?180°?2002°<0【詳解】因?yàn)棣?所以k<11+又k∈Z所以當(dāng)k=11時(shí)，最大負(fù)角為?22°故選：A【變式32】2.將?885°化為A．?165°+C．195°+?2【答案】B【分析】直接由終邊相同的角的概念求解即可.【詳解】由α∈0°故選：B.【變式32】3．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知角α的集合為M=(1)集合M中有幾類終邊不相同的角？(2)集合M中大于－360°且小于360°的角是哪幾個(gè)？(3)求集合M中的第二象限角β．【答案】(1)四類(2)－330°，－240°，－150°，－60°，30°，120°，210°，300°(3)β=120°+k【分析】集合M中的角分為第一、二、三、四象限的四類終邊不相同的角；k取適當(dāng)?shù)恼麛?shù)即可得到指定范圍內(nèi)的角；找到集合中的一個(gè)第二象限角，寫出與它終邊相同的角即可.【詳解】（1）集合M中的角可以分成四類，即終邊分別與－150°，－60°，30°，120°的終邊相同的角．（2）令?360°<30°+k?90°<360°，得又k∈分別是:－330°，－240°，－150°，－60°，30°，120°，210°，300°．（3）集合M中的第二象限角與120°角的終邊相同，所以β=120°+k?360°【變式32】4.將下列各角表示為k·360°＋α(k∈Z,0°≤α<360°)的形式，并指出是第幾象限角．(1)420°；(2)－510°；(3)1020°.【解析】(1)420°＝360°＋60°，而60°角是第一象限角，故420°是第一象限角．(2)－510°＝－2×360°＋210°，而210°是第三象限角，故－510°是第三象限角．(3)1020°＝2×360°＋300°，而300°是第四象限角，故1020°是第四象限角．反思感悟首先把各角寫成k·360°＋α(k∈Z,0°≤α<360°)的形式，然后只需判斷α所在的象限即可．【例題33】在0°～360°范圍內(nèi)，與角－60°的終邊在同一條直線上的角為________．【答案】120°，300°【解析】根據(jù)終邊相同角定義知，與－60°終邊相同角可表示為β＝－60°＋k·360°(k∈Z)，當(dāng)k＝1時(shí)β＝300°與－60°終邊相同，終邊在其反向延長線上且在0°～360°范圍內(nèi)的角為120°.【變式33】1.若角α滿足180°<α<360°，角5α與α有相同的始邊與終邊，則角α＝________.【答案】270°【解析】∵角5α與α具有相同的始邊與終邊，∴5α＝k·360°＋α，k∈Z，得4α＝k·360°，k∈Z，∴α＝k·90°，k∈Z，又180°<α<360°，∴當(dāng)k＝3時(shí)，α＝270°.【變式33】2.終邊與坐標(biāo)軸重合的角α的集合是()A．{α|α＝k·360°，k∈Z}B．{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}C．{α|α＝k·180°，k∈Z}D．{α|α＝k·90°，k∈Z}【答案】D【解析】終邊在坐標(biāo)軸上的角大小為90°或90°的整數(shù)倍，所以終邊與坐標(biāo)軸重合的角的集合為{α|α＝k·90°，k∈Z}．故選D.【變式33】3.（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若角α、β的終邊相同，則α?A．x軸的正半軸上 B．x軸的負(fù)半軸上C．y軸的正半軸上 D．y軸的負(fù)半軸上【答案】A【分析】結(jié)合終邊相同的角的概念可得α?【詳解】因?yàn)榻铅粒碌慕K邊相同，所以α?β=所以α?故選：A.【變式33】4.（多選）（2022秋·重慶沙坪壩·高一重慶八中?？茧A段練習(xí)）如果角α與角γ+60°的終邊相同，角β與角γA．120° B．360° C．1200°【答案】AC【分析】由已知，表示出α?【詳解】角α與角γ+60°的終邊相同，α角β與角γ?60°的終邊相同，β∴α?即α?β與故選：AC．【例題34】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）終邊在直線y=【答案】α【分析】直線y=x為平分一、三象限的直線，取第一象限的銳角【詳解】直線y=x為平分一、三象限的直線，取第一象限的銳角則與π4終邊在同一條直線上的角的集合為α故答案為:αα【變式34】1.（2022·全國·高一專題練習(xí)）終邊落在直線y=3xA．αα=kC．αα=k【答案】B【分析】先確定y=3x【詳解】易得y=3x的傾斜角為60°，當(dāng)終邊在第一象限時(shí)，α=60°+k?360°，k∈Z故選：B【變式34】2.若角α的終邊落在直線x+y=0上，求在[﹣360°，360°]內(nèi)的所有滿足條件的角α．【答案】﹣315°，135°，45°，225°【解析】角α的終邊落在直線x+y＝0上，則直線的傾斜角為：45°，角α的終邊的集合為：{α|α＝k?180°+45°，k∈Z}．當(dāng)k＝﹣2時(shí)，α＝﹣315°，k＝﹣1時(shí)，α＝﹣135°，k＝0時(shí)，α＝45°，k＝1時(shí)，α＝225°，在[﹣360°，360°]內(nèi)的所有滿足條件的角α：﹣315°，135°，45°，225°．【變式34】3.已知α，β都是銳角，且α＋β的終邊與280°角的終邊相同，αβ的終邊與670°角的終邊相同，求角α，β的大?。窘馕觥坑深}意可知α＋β＝－280°＋k·360°，k∈Z.∵α，β為銳角，∴0°<α＋β<180°.取k＝1，得α＋β＝80°，①α－β＝670°＋k·360°，k∈Z.∵α，β為銳角，∴－90°<α－β<90°.取k＝－2，得α－β＝－50°，②由①②得α＝15°，β＝65°.【變式34】4.已知角α＝45°；（1）在區(qū)間[﹣720°，0°]內(nèi)找出所有與角α有相同終邊的角β；（2）集合M={x|x=k2×180°+45°,k∈Z}，N={x|x=【答案】（1）β＝﹣675°或β＝﹣315°；（2）M?N【解析】（1）由題意知：β＝45°+k×360°（k∈Z），則令﹣720°≤45°+k×360°≤0°，得﹣765°≤k×360°≤﹣45°，解得?765（2）因?yàn)镸＝{x|x＝（2k+1）×45°，k∈Z}表示的是終邊落在四個(gè)象限的平分線上的角的集合；而集合N＝{x|x＝（k+1）×45°，k∈Z}表示終邊落在坐標(biāo)軸或四個(gè)象限平分線上的角的集合，從而：M?N．題型4n倍角與n分角所在的象限【例題4】（2021·高一課時(shí)練習(xí)）θ2的終邊在第三象限，則θA．第一、三象限 B．第二、四象限C．第一、二象限或y軸非負(fù)半軸 D．第三、四象限或y軸非正半軸【答案】C【解析】根據(jù)題意得出π+2kπ<θ2【詳解】由于θ2的終邊在第三象限，則π所以，2π因此，θ的終邊可能在第一、二象限或y軸非負(fù)半軸.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查角的終邊位置的判斷，一般利用不等式來判斷，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.【變式41】1.（2022·高一課時(shí)練習(xí)）已知角α2是第一象限角，則αA．第一象限 B．第二象限C．第一或第二象限 D．第一或第二象限或y軸的非負(fù)半軸上【答案】D【分析】由象限角可得到角α2的范圍,進(jìn)而可求得α的范圍,即可得出α【詳解】∵由角α2是第一象限角,∴可得2∴4k即α的終邊位于第一或第二象限或y軸的非負(fù)半軸上.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了象限角,熟練利用角的范圍是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.【變式41】2.（多選）（2023秋·吉林長春·高一長春市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期末）若角α是第二象限角，則下列各角中是第三象限角的是（

）A．?α B．π?α C．α?【答案】AC【分析】利用不等式表示象限角，根據(jù)象限角的定義逐項(xiàng)判斷可得答案.【詳解】因?yàn)榻铅潦堑诙笙藿?，所以?+2k對于A，?π?2kπ<?α<?2k對于B，?2kπ<π?α<?2k對于C，?π+2kπ<α?3π對于D，π+4kπ<2α<4kπ+2π,故選：AC【變式41】3.（2021·全國·高三專題練習(xí)）已知α是第三象限角,試確定2α【答案】在第一或第二象限,或終邊在y軸的正半軸上【解析】寫出α的范圍，由不等式得2α【詳解】∵α是第三象限角,.∴180°+:∵360°+2k即2k∴2α【點(diǎn)睛】本題主要考查了由α所在的象限求2α所在的象限，屬于中檔題.【變式41】4.（2019·全國·高三專題練習(xí)）若角α是第二象限角，則角2α的終邊不可能在()A．第一、二象限 B．第二、三象限C．第三、四象限 D．第一、四象限【答案】A【分析】求出角α的范圍，進(jìn)而可求出角2α的范圍，即可判斷角2α終邊所在位置，從而可得到答案．【詳解】∵角α是第二象限角，∴k×360°＋90°＜α＜k×360°＋180°，k∈Z.∴2k×360°＋180°＜2α＜2k×360°＋360°，k∈Z.∴2α可能是第三或第四象限角或是終邊在y軸的非正半軸上的角，即其終邊不可能在第一、二象限.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了象限角、軸線角知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．【例題42】已知角2α的終邊在x軸的上方，那么α是第________象限角．【答案】一或三【解析】由題意知k·360°<2α<180°＋k·360°(k∈Z)，故k·180°<α<90°＋k·180°(k∈Z)，按照k的奇偶性進(jìn)行討論．當(dāng)k＝2n(n∈Z)時(shí)，n·360°<α<90°＋n·360°(n∈Z)，∴α在第一象限；當(dāng)k＝2n＋1(n∈Z)時(shí)，180°＋n·360°<α<270°＋n·360°(n∈Z)，∴α在第三象限．故α是第一或第三象限角．【變式42】1.（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知α終邊在第四象限，則2α【答案】第三象限或第四象限或y軸負(fù)半軸【分析】由角α的范圍求出2α的范圍，再結(jié)合象限角的概念求解即可.【詳解】由于α是第四象限角,故2kπ?π2<α<2故答案為：第三象限或第四象限或y軸負(fù)半軸.【變式42】2.（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若角α是第二象限角，試確定2α，α【答案】角2α的終邊落在第三象限、第四象限或y軸的負(fù)半軸；角α【分析】根據(jù)象限角的知識(shí)確定正確答案.【詳解】由于角α是第二象限角，所以2k所以4kπ+π<2α所以角2α的終邊落在第三象限、第四象限或y角α2【變式42】3.（2022·高一課時(shí)練習(xí)）若α=k?360°+24【答案】2α為第一象限角；α【分析】分別求得2α和α2，根據(jù)對【詳解】由α=k?360°由α=k?當(dāng)k=2nn∈Z當(dāng)k=2n+1n∈綜上所述：2α為第一象限角；α【變式42】4.已知α為第三象限角，則α2是___，2【答案】

第二象限角或第四象限角

第一、二象限角或終邊在y軸的非負(fù)半軸的角【分析】由2kπ+π<α【詳解】∵α是第三象限角，即∴kπ+當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，α2為第二象限角；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，α而2α的終邊落在第一、二象限或y故答案為：第二象限角或第四象限角；第一、二象限角或終邊在y軸的非負(fù)半軸的角【點(diǎn)睛】本題考查的是三角函數(shù)的基本概念，較簡單.【變式42】5.（2021·高一課時(shí)練習(xí)）若α是第一象限角，問?α，2α，【答案】?α是第四象限角；2α是第一、二象限角或終邊在y軸的非負(fù)半軸上；【分析】根據(jù)已知寫出角α的取值集合，再分別求出?α，2α，【詳解】因?yàn)棣潦堑谝幌笙藿?，所以k?360°<所以?k所以?α所在區(qū)域與(?90°,0°)范圍相同，故?2k所以2α所在區(qū)域與(0°,180°)范圍相同，故2α是第一、二象限角或終邊在k?120°<當(dāng)k=3n(n∈當(dāng)k=3n+1(n∈當(dāng)k=3n+2(n∈綜上可知：α3【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：若已知角α是第幾象限角，判斷2α，α題型5區(qū)域角的表示【方法總結(jié)】方法總結(jié)表示區(qū)域角的三個(gè)步驟第一步：先按逆時(shí)針的方向找到區(qū)域的起始和終止邊界；第二步：分別標(biāo)出起始和終止邊界對應(yīng)的－180°～180°范圍內(nèi)的角α和β，寫出最簡區(qū)間{x|α<x<β}；第三步：起始、終止邊界對應(yīng)角α，β再加上360°的整數(shù)倍，即得區(qū)域角集合．◆類型1一個(gè)區(qū)域型【例題51】如圖所示，寫出頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊重合于x軸的非負(fù)半軸，終邊落在陰影部分的角的集合．【解析】如題圖(1)所示，以O(shè)B為終邊的角有330°角，可看成是－30°，∴以O(shè)A，OB為終邊的角的集合分別是：S1＝{x|x＝75°＋k·360°，k∈Z}，S2＝{x|x＝－30°＋k·360°，k∈Z}．∴終邊落在陰影部分的角的集合為{θ|k·360°－30°≤θ≤k·360°＋75°，k∈Z}．如題圖(2)所示，以O(shè)B為終邊的角有225°角，可看成是－135°，∴終邊落在陰影部分的角的集合為{θ|－135°＋k·360°≤θ≤135°＋k·360°，k∈Z}．【變式51】1.已知角α的終邊在如圖陰影表示的范圍內(nèi)(不包含邊界)，那么角α的集合是_______．【答案】{α|k·360°＋45°<α<k·360°＋150°，k∈Z}【解析】觀察圖形可知，角α的集合是{α|k·360°＋45°<α<k·360°＋150°，k∈Z}．【變式51】2.寫出終邊在下列各圖所示陰影部分內(nèi)的角的集合．【解析】先寫出邊界角，再按逆時(shí)針順序?qū)懗鰠^(qū)域角，則得（1）{α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}．(2){α|150°＋k·360°≤α≤390°＋k·360°，k∈Z}．【變式51】3．（2022·全國·高一專題練習(xí)）如下圖，終邊落在OA位置時(shí)的角的集合是__________；終邊落在OB位置，且在?360°～360°內(nèi)的角的集合是________；終邊落在陰影部分（含邊界）的角的集合是______．【答案】

{α|α=【分析】找出以O(shè)A為終邊的一個(gè)角，用終邊相同角的表示法表示即可得終邊OA上的角的集合，同樣得終邊在OB上的角的集合，然后確定在已知范圍內(nèi)的即可得，在以O(shè)A，OB邊終邊的角中各找一個(gè)在一個(gè)周期內(nèi)且以O(shè)B為終邊較小的角，然后由不等關(guān)系寫出結(jié)論．【詳解】由題意以O(shè)A為終邊的一個(gè)角是120°，因此以O(shè)A為終邊的角的集合是{α以O(shè)B為終邊的角的集合是{α|α=k∴終邊落在陰影部分（含邊界）的角的集合為{α故答案為：{α|α=k【點(diǎn)睛】本題考查終邊相同角的表示方法，對于陰影部分角的表示要注意，特別象題中陰影部分，要抓住終邊按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)時(shí)角在增大，就不容易出錯(cuò)．【變式51】4．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知α∈α45°+A． B．C． D．【答案】B【分析】令k=0【詳解】令k=0，得45°≤故選：B．◆類型2兩個(gè)區(qū)域型【例題52】已知角α的終邊在圖中陰影部分內(nèi)，試指出角α的取值范圍．【解析】終邊在30°角的終邊所在直線上的角的集合為S1＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}，終邊在180°－75°＝105°角的終邊所在直線上的角的集合為S2＝{α|α＝105°＋k·180°，k∈Z}，因此，終邊在圖中陰影部分內(nèi)的角α的取值范圍為{α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z}．【變式52】1.已知角α的終邊在圖中陰影所表示的范圍內(nèi)(不包括邊界)，那么α的取值范圍是____．【答案】{α|n·180°＋30°<α<n·180°＋150°，n∈Z}【解析】方法一(并集法)在0°～360°范圍內(nèi)，終邊落在陰影內(nèi)的角為30°<α<150°和210°<α<330°.所以α∈{α|k·360°＋30°<α<k·360°＋150°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°<α<k·360°＋330°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°<α<2k·180°＋150°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)·180°＋30°<α<(2k＋1)·180°＋150°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°<α<n·180°＋150°，n∈Z}．方法二(旋轉(zhuǎn)法)觀察圖形可知，圖中陰影成“對角型”區(qū)域，其中一個(gè)區(qū)域逆(或順)時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，恰好與另一個(gè)區(qū)域重合，由此可知α∈{α|n·180