2024-2025學年新教材高中數(shù)學第十章概率10.1.3古典概型應用案鞏固提升新人教A版必修第二冊

PAGE1-10.1.3古典概型[A基礎達標]1．(2024·高考全國卷Ⅱ)生物試驗室有5只兔子，其中只有3只測量過某項指標．若從這5只兔子中隨機取出3只，則恰有2只測量過該指標的概率為()A.eq\f(2,3) B.eq\f(3,5)C.eq\f(2,5) D.eq\f(1,5)解析：選B.設3只測量過某項指標的兔子為A，B，C，另2只兔子為a，b，從這5只兔子中隨機取出3只，則樣本點共有10種，分別為(A，B，C)，(A，B，a)，(A，B，b)，(A，C，a)，(A，C，b)，(A，a，b)，(B，C，a)，(B，C，b)，(B，a，b)，(C，a，b)，其中“恰有2只測量過該指標”的取法有6種，分別為(A，B，a)，(A，B，b)，(A，C，a)，(A，C，b)，(B，C，a)，(B，C，b)，因此所求的概率為eq\f(6,10)＝eq\f(3,5)，選B.2．(2024·高考全國卷Ⅲ)兩位男同學和兩位女同學隨機排成一列，則兩位女同學相鄰的概率是()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,2)解析：選D.將兩位男同學分別記為A1，A2，兩位女同學分別記為B1，B2，則四位同學排成一列，狀況有A1A2B1B2，A1A2B2B1，A2A1B1B2，A2A1B2B1，A1B1A2B2，A1B2A2B1，A2B1A1B2，A2B2A1B1，B1A1A2B2，B1A2A1B2，B2A1A2B1，B2A2A1B1，A1B1B2A2，A1B2B1A2，A2B1B2A1，A2B2B1A1，B1B2A1A2，B1B2A2A1，B2B1A1A2，B2B1A2A1，B1A1B2A2，B1A2B2A1，B2A1B1A2，B2A2B1A1，共有24種，其中2名女同學相鄰的有12種，所以所求概率P＝eq\f(1,2)，故選D.3．(2024·福建省三明市質(zhì)量檢測)同時投擲兩個骰子，向上的點數(shù)分別記為a，b，則方程2x2＋ax＋b＝0有兩個不等實根的概率為()A.eq\f(1,5) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,2)解析：選B.因為方程2x2＋ax＋b＝0有兩個不等實根，所以Δ＝a2－8b>0，又同時投擲兩個骰子，向上的點數(shù)分別記為a，b，則共包含36個樣本點，滿意a2－8b>0的有(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(4，1)，(3，1)共9個樣本點，所以方程2x2＋ax＋b＝0有兩個不等實根的概率為eq\f(9,36)＝eq\f(1,4).故選B.4．某部三冊的小說，隨意排放在書架的同一層上，則各冊從左到右或從右到左恰好為第1，2，3冊的概率為()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)解析：選B.全部樣本點為(1，2，3)，(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)，(3，1，2)，(3，2，1)．其中從左到右或從右到左恰好為第1，2，3冊包含2個樣本點，所以P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).故選B.5．(2024·河北省滄州市期末考試)定義：abcde＝10000a＋1000b＋100c＋10d＋e，當五位數(shù)abcde滿意a<b<c，且c>d>e時，稱這個五位數(shù)為“凸數(shù)”．由1，2，3，4，5組成的沒有重復數(shù)字的五位數(shù)共120個，從中隨意抽取一個，則其恰好為“凸數(shù)”的概率為()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,10)C.eq\f(1,12) D.eq\f(1,20)解析：選D.由題意，由1，2，3，4，5組成的沒有重復數(shù)字的五位數(shù)恰好為“凸數(shù)”的有：12543，13542，14532，23541，24531，34521，共6個樣本點，所以恰好為“凸數(shù)”的概率為P＝eq\f(6,120)＝eq\f(1,20).故選D.6．(2024·湖北省四地七校聯(lián)考)擲兩顆勻稱的骰子，則點數(shù)之和為6的概率等于________．解析：擲兩顆勻稱的骰子，共有36個樣本點，點數(shù)之和為6的樣本點有(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)這五種，因此所求概率為eq\f(5,36).答案：eq\f(5,36)7．(2024·廣西欽州市期末考試)在某學校圖書館的書架上隨意放著編號為1，2，3，4，5的五本書，若某同學從中隨意選出2本書，則選出的2本書編號相連的概率為________．解析：從五本書中隨意選出2本書的全部可能狀況為(1，2)、(1，3)、(1，4)、(1，5)、(2，3)、(2，4)、(2，5)、(3，4)、(3，5)、(4，5)共10種，滿意2本書編號相連的全部可能狀況為(1，2)、(2，3)、(3，4)、(4，5)共4種，故選出的2本書編號相連的概率為eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).答案：eq\f(2,5)8．某城市有8個商場A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H和市中心O排成如圖所示的格局，其中每個小方格為正方形，某人從網(wǎng)格中隨機地選擇一條最短路徑，欲從商場A前往商場H，則他經(jīng)過市中心O的概率為________．解析：此人從商場A前往商場H的全部最短路徑有A→B→C→E→H，A→B→O→E→H，A→B→O→G→H，A→D→O→E→H，A→D→O→G→H，A→D→F→G→H，共6條，其中經(jīng)過市中心O的有4條，所以所求概率為eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)9．(2024·廣西欽州市期末考試)將一顆質(zhì)地勻稱的骰子先后拋擲2次，視察向上的點數(shù)，并分別記為x，y.(1)若記“x＋y＝5”為事務A，求事務A發(fā)生的概率；(2)若記“x2＋y2≤10”為事務B，求事務B發(fā)生的概率．解：將一顆質(zhì)地勻稱的骰子拋擲1次，它的點數(shù)有1、2、3、4、5、6這6種結(jié)果，拋擲第2次，它的點數(shù)有1、2、3、4、5、6這6種結(jié)果，因為骰子共拋擲2次，所以共有6×6＝36種結(jié)果.(1)事務A發(fā)生的樣本點有(1，4)、(2，3)、(4，1)、(3，2)共4種結(jié)果，所以事務A發(fā)生的概率為P(A)＝eq\f(4,36)＝eq\f(1,9).(2)事務B發(fā)生的樣本點有(1，1)、(1，2)、(1，3)、(2，1)、(2，2)、(3，1)共6種結(jié)果，所以事務B發(fā)生的概率為P(B)＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).10．某市實行職工技能競賽活動，甲廠派出2男1女共3名職工，乙廠派出2男2女共4名職工．(1)若從甲廠和乙廠報名的職工中各任選1名進行競賽，求選出的2名職工性別相同的概率；(2)若從甲廠和乙廠報名的這7名職工中任選2名進行競賽，求選出的這2名職工來自同一工廠的概率．解：記甲廠派出的2名男職工為A1，A2，1名女職工為a；乙廠派出的2名男職工為B1，B2，2名女職工為b1，b2.(1)從甲廠和乙廠報名的職工中各任選1名，不同的結(jié)果有(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，b1)，(A1，b2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，b1)，(A2，b2)，(a，B1)，(a，B2)，(a，b1)，(a，b2)，共12種．其中選出的2名職工性別相同的選法有(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(a，b1)，(a，b2)，共6種．故選出的2名職工性別相同的概率P＝eq\f(6,12)＝eq\f(1,2).(2)若從甲廠和乙廠報名的這7名職工中任選2名，不同的結(jié)果有(A1，A2)，(A1，a)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，b1)，(A1，b2)，(A2，a)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，b1)，(A2，b2)，(a，B1)，(a，B2)，(a，b1)，(a，b2)，(B1，B2)，(B1，b1)，(B1，b2)，(B2，b1)，(B2，b2)，(b1，b2)，共21種．其中選出的2名職工來自同一工廠的選法有(A1，A2)，(A1，a)，(A2，a)，(B1，B2)，(B1，b1)，(B1，b2)，(B2，b1)，(B2，b2)，(b1，b2)，共9種．故選出的2名職工來自同一工廠的概率為P＝eq\f(9,21)＝eq\f(3,7).[B實力提升]11．古代“五行”學說認為：“物質(zhì)分金、木、水、火、土五種屬性，金克木、木克土、土克水、水克火、火克金．”從五種不同屬性的物質(zhì)中隨機抽取兩種，則抽取的兩種物質(zhì)不相克的概率為()A.eq\f(3,10) B.eq\f(2,5)C.eq\f(1,2) D.eq\f(3,5)解析：選C.從五種不同屬性的物質(zhì)中隨機抽取兩種，有(金，木)、(金，水)、(金，火)、(金，土)、(木，水)、(木，火)、(木，土)、(水，火)、(水，土)、(火，土)共10種等可能發(fā)生的結(jié)果，其中金克木，木克土，土克水，水克火，火克金，即相克的有5種，則不相克的也是5種，所以抽取的兩種物質(zhì)不相克的概率為eq\f(1,2).12．(2024·江西省上饒市期末統(tǒng)考)圖1和圖2中全部的正方形都全等，圖1中的正方形放在圖2中的①②③④某一位置，所組成的圖形能圍成正方體的概率是()A.eq\f(3,4) B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,4) D．1解析：選A.由題意，可得樣本點的總數(shù)為n＝4，又由題圖1中的正方形放在題圖2中的①處時，所組成的圖形不能圍成正方體；題圖1中的正方形放在題圖2中的②③④處的某一位置時，所組成的圖形能圍成正方體，所以將題圖1中的正方形放在題圖2中的①②③④的某一位置，所組成的圖形能圍成正方體的概率為P＝eq\f(3,4).故選A.13．設a是從集合{1，2，3，4}中隨機取出的一個數(shù)，b是從集合{1，2，3}中隨機取出的一個數(shù)，構成一個樣本點(a，b)．記“這些樣本點中，滿意logba≥1”為事務E，則E發(fā)生的概率是________．解析：事務E發(fā)生包含的樣本點是分別從兩個集合中取一個數(shù)字，共有12種結(jié)果，滿意條件的樣本點是滿意logba≥1，可以列舉出全部的樣本點，當b＝2時，a＝2，3，4，當b＝3時，a＝3，4，共有3＋2＝5個，所以依據(jù)古典概型的概率公式得到概率是eq\f(5,12).答案：eq\f(5,12)14．某校從高二甲、乙兩班各選出3名學生參與書畫競賽，其中從高二甲班選出了1名女同學、2名男同學，從高二乙班選出了1名男同學、2名女同學．(1)若從這6名同學中抽出2名進行活動發(fā)言，寫出全部可能的結(jié)果，并求高二甲班女同學、高二乙班男同學至少有一人被選中的概率；(2)若從高二甲班和乙班各選1名同學現(xiàn)場作畫，寫出全部可能的結(jié)果，并求選出的2名同學性別相同的概率．解：(1)設選出的3名高二甲班同學為A，B，C，其中A為女同學，B，C為男同學，選出的3名高二乙班同學為D，E，F(xiàn)，其中D為男同學，E，F(xiàn)為女同學．從這6名同學中抽出2人的全部可能結(jié)果有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F(xiàn))，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F(xiàn))，(C，D)，(C，E)，(C，F(xiàn))，(D，E)，(D，F(xiàn))，(E，F(xiàn))，共15種．其中高二甲班女同學、高二乙班男同學至少有一人被選中的可能結(jié)果有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F(xiàn))，(B，D)，(C，D)，(D，E)，(D，F(xiàn))，共9種，故高二甲班女同學、高二乙班男同學至少有一人被選中的概率P＝eq\f(9,15)＝eq\f(3,5).(2)高二甲班和乙班各選1名的全部可能結(jié)果為(A，D)，(A，E)，(A，F(xiàn))，(B，D)，(B，E)，(B，F(xiàn))，(C，D)，(C，E)，(C，F(xiàn))，共9種，選出的2名同學性別相同的有(A，E)，(A，F(xiàn))，(B，D)，(C，D)，共4種，所以選出的2名同學性別相同的概率為eq\f(4,9).[C拓展探究]15．在某親子嬉戲結(jié)束時有一項抽獎活動，抽獎規(guī)則是：盒子里面共有4個小球，小球上分別寫有0，1，2，3的數(shù)字，小球除數(shù)字外其他完全相同，每對親子中，家長先從盒子中取出一個小球，登記數(shù)字后將小球放回，孩子再從盒子中取出一個小球，登記小球上數(shù)字將小球放回．①若取出的兩個小球上數(shù)字之積大于4，則嘉獎飛機玩具一個；②若取出的兩個小球上數(shù)字之積在區(qū)間[1，4]上，則嘉獎汽車玩具一個；③若取出的兩個小球上數(shù)字之積小于1，則嘉獎飲料一瓶．(1)求每對親子獲得飛機玩具的概率；(2)試比較每對親子獲得汽車玩具與獲得飲料的概率，哪個更大？請說明理由．解：樣本空間Ω＝{(0，0)，(0，1)，(0，2)，(0，3)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，(3，3)}共16個樣本點．(1)記“獲得飛機玩具”為事