求數(shù)列通項公式市公開課一等獎省賽課獲獎?wù)n件

求數(shù)列通項公式第1頁通項公式：假如數(shù)列｛an｝前n項與序號n之間關(guān)系能夠用一個式子來表示,即注意：1.通項公式通常不是唯一，普通取其最簡單形式；

2.通項公式以數(shù)列項數(shù)n為唯一變量；

3.并非每個數(shù)列都存在通項公式.第2頁例1、寫出下面數(shù)列一個通項公式，使它前幾項分別是以下各數(shù)。

已知數(shù)列前幾項，觀察數(shù)列特征，通常先將各項分解成幾部分（如符號、分子、分母、底數(shù)、指數(shù)等），然后觀察各部分與項數(shù)關(guān)系，寫出通項。一、觀察法第3頁1、寫出以下數(shù)列一個通項公式:(1)

9,99,999,9999,……解：an=10n－1(2)1,11,111,1111,……分析：注意觀察各項與它序號關(guān)系有10－1，102－1，103－1，104－1解：an=(10n－1)

這是特殊到普通思想，也是數(shù)學(xué)上主要思想方法，但欠嚴(yán)謹(jǐn)！分析:注意與熟悉數(shù)列9,99,999,9999,···聯(lián)絡(luò)練習(xí)：第4頁第5頁二、

公式法：

(1)等差數(shù)列通項公式：(2)等比數(shù)列通項公式：比如：(1)

(2)第6頁三、

定義法：利用第7頁例2.｛an｝前項和Sn=2n2－1，求通項an解：當(dāng)n≥2時，an=Sn－Sn－1

=(2n2－1)－[2(n－1)2－1]=4n－2不要遺漏n=1情形哦！當(dāng)n=1時,a1=1不滿足上式

所以an=1

(n=1)4n

－2(n≥2,)第8頁變式.已知{an}中，a1+2a2+3a3+???+nan=3n+1,求通項an解:∵a1+2a2+3a3+···+nan=3n+1(n≥1)注意n范圍∴a1+2a2+3a3+···+(n－1)an－1=3n（n≥2）

nan=3n+1－3n=2·3n2·3nn∴an=而n=1時,a1=9（n≥2）兩式相減得：∴an=9(n=1)2·3nn（n≥2,）第9頁例3.第10頁例4.第11頁例5.已知{an}中,an+1=an+n(n∈N*),a1=1,求通項an解:由an+1=an+n(n∈N*)得a2

－a1=1a3

－a2=2a4

－a3=3???an－an－1=n

－1an=(an－an－1)+(an－1－an－2)+???+(a2

－a1)+

a1

=(n－

1)+(n

－2)+???+2+1+1四、累加法(遞推公式形如an+1=an+f(n)型數(shù)列)n個等式相加得a1=1an+1－

an=n(n∈N*)（1）注意討論首項;(2)適合用于an+1=an+f(n)型遞推公式第12頁求法：累加法練習(xí)：第13頁五、累乘法

(形如an+1=f(n)?an型)例6.已知{an}是首項為1正項數(shù)列,且(n+1)an+12+an+1an－nan2=0,

求{an}通項公式解:∵(n+1)an+12+an+1an－nan2=0∴(an+1+an)[(n+1)an+1－

nan]=0∵an+1+an>0∴(n≥1)∴an=...

注意：累乘法與累加法有些相同，但它是n個等式相乘所得∴(n+1)an+1=

nan第14頁練習(xí)1：五、累乘法

(形如an+1=f(n)?an型)第15頁練習(xí)2五、累乘法

(形如an+1=f(n)?an型)第16頁六、結(jié)構(gòu)法題型1.已知數(shù)列{an}首項,以及滿足條件an+1=pan+q（p、q為常數(shù)）時，求該數(shù)列通項公式.例7.已知，依據(jù)條件,確定數(shù)列通項公式.

方法①：猜測證實：由及,

計算出,,,,

歸納猜測：;

然后用數(shù)學(xué)歸納法證實猜測正確(略).第17頁六、結(jié)構(gòu)法題型1.已知數(shù)列{an}首項,以及滿足條件an+1=pan+q（p、q為常數(shù)）時，求該數(shù)列通項公式.例7.已知，依據(jù)條件,確定數(shù)列通項公式.方法②迭代法：。第18頁六、結(jié)構(gòu)法題型1.已知數(shù)列{an}首項,以及滿足條件an+1=pan+q（p、q為常數(shù)）時，求該數(shù)列通項公式.例7.已知，依據(jù)條件,確定數(shù)列通項公式.方法③結(jié)構(gòu)法：依據(jù)結(jié)構(gòu)一個新數(shù)列設(shè)，則，∴，∴，即，∴為等比數(shù)列，首項為，公比為3.∴，∴.第19頁六、結(jié)構(gòu)法題型1.已知數(shù)列{an}首項,以及滿足條件an+1=pan+q（p、q為常數(shù)）時，求該數(shù)列通項公式.方法總結(jié)：利用待定系數(shù)法令

an+

=p(an-1+

),

得到從而結(jié)構(gòu)出等比數(shù)列{},輔助求出{an}通項公式第20頁六、結(jié)構(gòu)法例8.已知數(shù)列中，34，第21頁六、結(jié)構(gòu)法例8.已知數(shù)列中，34，第22頁六、結(jié)構(gòu)法第23頁【變式遷移】已知數(shù)列｛an｝中，a1＝5且an＝2an－1＋2n－1（n≥2且n∈N*）.（1）求證數(shù)列為等差數(shù)列；（2）求數(shù)列｛an｝通項公式.

解：（1）方法1：（結(jié)構(gòu)法）因為a1＝5且an＝2an－1＋2n－1，所以當(dāng)n≥2時，an－1＝2（an－1－1）＋2n，所以

，所以

，第24頁所以是以為首項，以1為公差等差數(shù)列.（2）由（1）知,所以an＝（n＋1）2n＋1.已知數(shù)列｛an｝中，a1＝5