2018屆高考數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)訓(xùn)練題16

題組層級(jí)快練(三十四)1．不等式(x＋2y＋1)(x－y＋4)≤0表示的平面區(qū)域?yàn)?)答案B解析方法一：可轉(zhuǎn)化為①eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y＋1≥0，,x－y＋4≤0))或②eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y＋1≤0，,x－y＋4≥0.))由于(－2，0)滿足②，所以排除A，C，D選項(xiàng)．方法二：原不等式可轉(zhuǎn)化為③eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y＋1≥0，,－x＋y－4≥0))或④eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y＋1≤0，,－x＋y－4≤0.))兩條直線相交產(chǎn)生四個(gè)區(qū)域，分別為上下左右區(qū)域，③表示上面的區(qū)域，④表示下面的區(qū)域，故選B.2．下面給出的四個(gè)點(diǎn)中，到直線x－y＋1＝0的距離為eq\f(\r(2),2)，且位于eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－1<0，,x－y＋1>0))表示的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)是()A．(1，1) B．(－1，1)C．(－1，－1) D．(1，－1)答案C解析經(jīng)驗(yàn)證(1，1)，(－1，1)不在eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－1<0，,x－y＋1>0))所表示的平面區(qū)域內(nèi)，而(－1，－1)，(1，－1)滿足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－1<0，,x－y＋1>0，))又點(diǎn)(－1，－1)到直線x－y＋1＝0的距離d＝eq\f(|－1＋1＋1|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，(1，－1)到直線x－y＋1＝0的距離d＝eq\f(|1－（－1）＋1|,\r(2))＝eq\f(3\r(2),2)，∴(－1，－1)滿足條件．3．(2015·湖南文)若變量x，y滿足約束條件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y≥1，,y－x≤1，,x≤1，))則z＝2x－y的最小值為()A．－1 B．0C．1 D．2答案A解析畫出可行域，如圖中陰影部分所示，平移參照直線2x－y＝0，當(dāng)直線2x－y＝z經(jīng)過x＋y＝1與y－x＝1的交點(diǎn)(0，1)時(shí)，z取最小值為zmin＝2×0－1＝－1，選A.4．(2015·廣東)若變量x，y滿足約束條件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x＋5y≥8，,1≤x≤3，,0≤y≤2，))則z＝3x＋2y的最小值為()A.eq\f(31,5) B．6C.eq\f(23,5) D．4答案C解析不等式組所表示的可行域如圖所示，由z＝3x＋2y，得y＝－eq\f(3,2)x＋eq\f(z,2).依題當(dāng)目標(biāo)函數(shù)直線l：y＝－eq\f(3,2)x＋eq\f(z,2)經(jīng)過A(1，eq\f(4,5))時(shí)，z取得最小值即zmin＝3×1＋2×eq\f(4,5)＝eq\f(23,5)，故選C.5．(2015·福建)變量x，y滿足約束條件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y≥0，,x－2y＋2≥0，,mx－y≤0.))若z＝2x－y的最大值為2，則實(shí)數(shù)m等于()A．－2 B．－1C．1 D．2答案C解析如圖所示，目標(biāo)函數(shù)z＝2x－y取最大值2即y＝2x－2時(shí)，畫出eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y≥0，,x－2y＋2≥0，))表示的區(qū)域，由于mx－y≤0過定點(diǎn)(0，0)，要使z＝2x－y取最大值2，則目標(biāo)函數(shù)必過兩直線x－2y＋2＝0與y＝2x－2的交點(diǎn)A(2，2)，因此直線mx－y＝0過點(diǎn)A(2，2)，故有2m－2＝0，解得m＝1.6．(2016·貴陽監(jiān)測(cè))已知實(shí)數(shù)x，y滿足：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y＋1≥0，,x<2，,x＋y－1≥0，))則z＝2x－2y－1的取值范圍是()A．[eq\f(5,3)，5] B．[0，5]C．[eq\f(5,3)，5) D．[－eq\f(5,3)，5)答案D解析畫出不等式組所表示的區(qū)域，如圖中陰影部分所示，作直線l：2x－2y－1＝0，平移l可知2×eq\f(1,3)－2×eq\f(2,3)－1≤z<2×2－2×(－1)－1，即z的取值范圍是[－eq\f(5,3)，5)．7．(2016·鄭州第一次質(zhì)量預(yù)測(cè))已知點(diǎn)P(x，y)的坐標(biāo)滿足條件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥1，,y≥x－1，,x＋3y－5≤0，))那么點(diǎn)P到直線3x－4y－13＝0的距離的最小值為()A.eq\f(11,5) B．2C.eq\f(9,5) D．1答案B解析在坐標(biāo)平面內(nèi)畫出題中的不等式組表示的平面區(qū)域及直線3x－4y－13＝0，結(jié)合圖形可知，在該平面區(qū)域內(nèi)所有的點(diǎn)中，到直線3x－4y－13＝0的距離最近的點(diǎn)是(1，0)．又點(diǎn)(1，0)到直線3x－4y－13＝0的距離等于eq\f(|3×1－4×0－13|,5)＝2，即點(diǎn)P到直線3x－4y－13＝0的距離的最小值為2，選B.8．(2016·南昌調(diào)研)設(shè)變量x，y滿足約束條件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y≥x，,x＋3y≤4，,x≥－2，))則z＝|x－3y|的最大值為()A．10 B．8C．6 D．4答案B解析不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y≥x，,x＋3y≤4，,x≥－2，))所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示．當(dāng)平移直線x－3y＝0過點(diǎn)A時(shí)，m＝x－3y取最大值；當(dāng)平移直線x－3y＝0過點(diǎn)C時(shí)，m＝x－3y取最小值．由題意可得A(－2，－2)，C(－2，2)，所以mmax＝－2－3×(－2)＝4，mmin＝－2－3×2＝－8，所以－8≤m≤4，所以|m|≤8，即zmax＝8.9．(2016·沈陽質(zhì)檢)在滿足不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≥0，,x＋y－3≤0，,y≥0，))的平面點(diǎn)集中隨機(jī)取一點(diǎn)M(x0，y0)，設(shè)事件A為“y0<2x0”，那么事件A發(fā)生的概率是()A.eq\f(1,4) B.eq\f(3,4)C.eq\f(1,3) D.eq\f(2,3)答案B解析不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≥0，,x＋y－3≤0，,y≥0，))表示的平面區(qū)域的面積為eq\f(1,2)×(1＋3)×2＝4；不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≥0，,x＋y－3≤0，,y≥0，,y≤2x，))表示的平面區(qū)域的面積為eq\f(1,2)×3×2＝3，因此所求的概率等于eq\f(3,4)，選B.10．(2016·東北三校一聯(lián))變量x，y滿足約束條件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y≥－1，,x－y≥2，,3x＋y≤14，))若使z＝ax＋y取得最大值的最優(yōu)解有無數(shù)個(gè)，則實(shí)數(shù)a的取值集合是()A．{－3，0} B．{3，－1}C．{0，1} D．{－3，0，1}答案B解析作出不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y≥－1，,x－y≥2，,3x＋y≤14))表示的區(qū)域如下圖所示，由z＝ax＋y，得y＝－ax＋z.當(dāng)－a>0時(shí)，平行直線的傾斜角為銳角，從第一個(gè)圖可看出，當(dāng)a＝－1時(shí)，線段AC上的所有點(diǎn)都是最優(yōu)解；當(dāng)－a<0時(shí)，平行直線的傾斜角為鈍角，從第二個(gè)圖可看出，當(dāng)a＝3時(shí)，線段BC上的所有點(diǎn)都是最優(yōu)解．故選B項(xiàng)．11．已知實(shí)數(shù)x，y滿足條件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x－3）2＋（y－2）2≤1，,x－y－1≥0，))則z＝eq\f(y,x－2)的最小值為()A．3＋eq\r(2) B．2＋eq\r(2)C.eq\f(3,4) D.eq\f(4,3)答案C解析不等式組表示的可行域如圖陰影部分所示．目標(biāo)函數(shù)z＝eq\f(y,x－2)＝eq\f(y－0,x－2)表示在可行域取一點(diǎn)與點(diǎn)(2，0)連線的斜率，可知過點(diǎn)(2，0)作半圓的切線，切線的斜率為z＝eq\f(y,x－2)的最小值，設(shè)切線方程為y＝k(x－2)，則A到切線的距離為1，故1＝eq\f(|k－2|,\r(1＋k2)).解得k＝eq\f(3,4).12．(2015·陜西)某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用A，B兩種原料．已知生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品需原料及每天原料的可用限額如表所示，如果生產(chǎn)1噸甲、乙產(chǎn)品可獲利潤(rùn)分別為3萬元、4萬元，則該企業(yè)每天可獲得最大利潤(rùn)為()甲乙原料限額A(噸)3212B(噸)128A.12萬元 B．16萬元C．17萬元 D．18萬元答案D解析設(shè)該企業(yè)每天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為x，y噸，則利潤(rùn)z＝3x＋4y.由題意可列eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋2y≤12，,x＋2y≤8，,x≥0，,y≥0，))其表示如圖陰影部分區(qū)域：.當(dāng)直線3x＋4y－z＝0過點(diǎn)A(2，3)時(shí)，z取得最大值，所以zmax＝3×2＋4×3＝18，故選D項(xiàng)．13．(2015·四川文)設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y≤10，,x＋2y≤14，,x＋y≥6，))則xy的最大值為()A.eq\f(25,2) B.eq\f(49,2)C．12 D．16答案A解析根據(jù)不等式組作出可行域，如圖中陰影部分所示．在△ABC區(qū)域中結(jié)合圖象可知，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在線段AC上時(shí)xy取得最大值，此時(shí)2x＋y＝10，xy＝eq\f(1,2)(2x·y)≤eq\f(1,2)(eq\f(2x＋y,2))2＝eq\f(25,2)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(5,2)，y＝5時(shí)取等號(hào)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)(eq\f(5,2)，5)落在線段AC上，故xy的最大值為eq\f(25,2)，選A.14.(2015·北京文)如圖，△ABC及其內(nèi)部的點(diǎn)組成的集合記為D，P(x，y)為D中任意一點(diǎn)，則z＝2x＋3y的最大值為________．答案7解析由題意，目標(biāo)函數(shù)z＝2x＋3y的可行域?yàn)椤鰽BC邊界及其內(nèi)部(如圖所示)．令z＝0，即2x＋3y＝0，平移直線2x＋3y＝0至目標(biāo)函數(shù)于可行域內(nèi)，可知當(dāng)2x＋3y＝z過點(diǎn)A(2，1)時(shí)，z取得最大值，即zmax＝2×2＋3×1＝7.15．已知實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＋2≥0，,x＋y－4≥0，,2x－y－5≤0，))目標(biāo)函數(shù)z＝y(tǒng)－ax(a∈R)．若z取最大值時(shí)的唯一最優(yōu)解是(1，3)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．答案(1，＋∞)解析作出可行域，可行域?yàn)槿龡l直線所圍成的區(qū)域，則它的最大值在三條直線的交點(diǎn)處取得，三個(gè)交點(diǎn)分別為(1，3)，(7，9)，(3，1)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3－a>9－7a，,3－a>1－3a.))所以a>1.16．設(shè)x，y滿足約束條件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y≥2，,ex－y≥0，,0≤x≤2，))則M(x，y)所在平面區(qū)域的面積為________．答案e2－2解析畫出平面區(qū)域，如圖所示．M(x，y)所在平面區(qū)域的面積為eq\i\in(0,2,)exdx－S△AOB＝exeq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(,,,))eq\s\up12(2)0－eq\f(1,2)×2×1＝e2－e0－1＝e2－2.1．(2014·廣東文)若變量x，y滿足約束條件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y≤8，,0≤x≤4，,0≤y≤3，))則z＝2x＋y的最大值等于()A．7 B．8C．10 D．11答案C解析作出約束條件下的可行域如圖(陰影部分)，當(dāng)直線y＝－2x＋z經(jīng)過點(diǎn)A(4，2)時(shí)，z取最大值為10.2．(2014·新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ理)設(shè)x，y滿足約束條件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－7≤0，,x－3y＋1≤0，,3x－y－5≥0，))則z＝2x－y的最大值為()A．10 B．8C．3 D．2答案B解析作出可行域如圖中陰影部分所示，由z＝2x－y得y＝2x－z，作出直線y＝2x，平移使之經(jīng)過可行域，觀察可知，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)B(5，2)時(shí)，對(duì)應(yīng)的z值最大．故zmax＝2×5－2＝8.3．(2014·福建文)已知圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝1，平面區(qū)域Ω：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－7≤0，,x－y＋3≥0，,y≥0.))若圓心C∈Ω，且圓C與x軸相切，則a2＋b2的最大值為()A．5 B．29C．37 D．49答案C解析利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義轉(zhuǎn)化為求距離的平方的最大值．作出可行域，如圖，由題意知，圓心為C(a，b)，半徑r＝1，且圓C與x軸相切，所以b＝1.而直線y＝1與可行域的交點(diǎn)為A(6，1)，B(－2，1)，目標(biāo)函數(shù)z＝a2＋b2表示點(diǎn)C到原點(diǎn)距離的平方，所以當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)A重合時(shí)，z取到最大值，zmax＝37.4．(2016·衡水調(diào)研卷)設(shè)變量x，y滿足條件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y≥2，,x＋y≥4，,x≤5，))則點(diǎn)P(x＋y，x－y)所在區(qū)域的面積為()A．4 B．6C．8 D．10答案C解析作出不等式組表示的線性區(qū)域如圖①所示．可知x＋y∈[4，8]，x－y∈[2，6]，且當(dāng)x＋y＝4時(shí)，x－y可以取到[2，6]內(nèi)的所有值；當(dāng)x＋y＝8時(shí)，x－y＝2，即△ABC所表示的區(qū)域如圖②所示，則S△ABC＝eq\f(1,2)×4×4＝8，故C正確．5．(2014·北京理)若x，y滿足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－2≥0，,kx－y＋2≥0，,y≥0，))且z＝y(tǒng)－x的最小值為－4，則k的值為()A．2 B．－2C.eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)答案D解析作出可行域，平移直線y＝x，由z的最小值為－4求參數(shù)k的值．作出可行域，如圖中陰影部分所示，直線kx－y＋2＝0與x軸的交點(diǎn)為Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,k)，0)).∵z＝y(tǒng)－x的最小值為－4，∴eq\f(2,k)＝－4，解得k＝－eq\f(1,2)，故選D項(xiàng)．6．(2016·貴州七校聯(lián)考)一個(gè)平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(－1，2)，(3，4)，(4，－2)，點(diǎn)(x，y)在這個(gè)平行四邊形的內(nèi)部或邊上，則z＝2x－5y的最大值是()A．16 B．18C．20 D．36答案C解析平行四邊形的對(duì)角線互相平分，如圖，當(dāng)以AC為對(duì)角線時(shí)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得AC的中點(diǎn)為(eq\f(3,2)，0)，也是BD的中點(diǎn)，可知頂點(diǎn)D1的坐標(biāo)為(0，－4)．同理，當(dāng)以BC為對(duì)角線時(shí)，得D2的坐標(biāo)為(8，0)，當(dāng)以AB為對(duì)角線時(shí)，得D3的坐標(biāo)為(－2，8)，由此作出(x，y)所在的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，由圖可知當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z＝2x－5y經(jīng)過點(diǎn)D1(0，－4)時(shí)，取得最大值，最大值為2×0－5×(－4)＝20，故選C.7．變量x，y滿足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－4y＋3≤0，,3x＋5y－25≤0，,x≥1，))(1)設(shè)z＝eq\f(y,x)，求z的最小值；(2)設(shè)z＝x2＋y2，求z的取值范圍；(3)設(shè)z＝x2＋y2＋6x－4y＋13，求z的取值范圍．答案(1)eq\f(2,5)(2)[2，29](3)