2025年春北師版八年級數(shù)學(xué)下冊上課課件 第一章 4 角平分線 第2課時 三角形三個內(nèi)角的平分線

第2課時三角形三個內(nèi)角的平分線北師版八年級數(shù)學(xué)下冊學(xué)習(xí)目標(biāo)在角平分線的基礎(chǔ)上歸納出三角形三條內(nèi)角的平分線的相關(guān)性質(zhì).能夠運(yùn)用三角形三條內(nèi)角的平分線的性質(zhì)解決實(shí)際問題.重點(diǎn)難點(diǎn)新課導(dǎo)入分別畫出下列三角形三個內(nèi)角的平分線，你發(fā)現(xiàn)了什么？

發(fā)現(xiàn)：三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)．

分別過交點(diǎn)作三角形三邊的垂線，用刻度尺量一量每組垂線段，你發(fā)現(xiàn)了什么？

發(fā)現(xiàn)：過交點(diǎn)作三角形三邊的垂線段相等．新課探究

求證：三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等.

已知：如圖，在△ABC

中，角平分線BM

與角平分線CN

相交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P

分別作AB，BC，AC

的垂線，垂足分別為D，E，F(xiàn).

求證：∠A

的平分線經(jīng)過點(diǎn)P，且PD=PE=PF.ABCPEFMDN例2證明：∵BM

是△ABC

的角平分線，點(diǎn)P

在BM上，且PD⊥AB，PE⊥BC，垂足分別為D，E，∴PD=PE（角平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊的距離相等）.ABCPEFMDN

同理，PE

=PF.∴PD=PE=PF.

∴點(diǎn)P

在∠A

的平分線上（在一個角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個角的平分線上），

即∠A的平分線經(jīng)過點(diǎn)P.比較三角形三邊的垂直平分線和三條角平分線的性質(zhì)定理三邊垂直平分線三條角平分線三角形銳角三角形交于三角形內(nèi)一點(diǎn)交于三角形內(nèi)一點(diǎn)鈍角三角形交于三角形外一點(diǎn)直角三角形交于斜邊的中點(diǎn)交點(diǎn)性質(zhì)到三角形三個頂點(diǎn)的距離相等到三角形三邊的距離相等練習(xí)

如圖，已知△ABC

的周長是20，BO，CO分別平分∠ABC

和∠ACB，OD⊥BC

于點(diǎn)D，且OD=3，則△ABC

的面積是_______.練習(xí)

如圖，已知△ABC

的周長是20，BO，CO分別平分∠ABC

和∠ACB，OD⊥BC

于點(diǎn)D，且OD=3，則△ABC

的面積是_______.30【解析】如圖，連接OA，過點(diǎn)

O

分別作OE⊥AB于點(diǎn)E，OF⊥AC

于點(diǎn)F.∵BO，CO

分別平分∠ABC

和∠ACB，OD⊥BC，∴OE=OF=OD=3.∵△ABC

的周長是20，即AB+BC+AC=20，∴S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC=AB·OE+BC·OD+AC·OF=(AB+BC+AC)·OD=×20×3=30.

如圖，在△ABC

中，AC=BC，∠C=90°，AD

是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E.（1）已知CD=4cm，求AC

的長；（2）求證：AB=AC+CD.

ACBED例3∵AC

=BC，∴∠B=∠BAC（等邊對等角）.∵∠C=90°，∴∠B=×90°=45°.∴∠BDE=90°–45°=45°∴BE=DE（等角對等邊）.12在等腰直角三角形BDE中，

cm（勾股定理），∴AC=BC=CD+BD=（4+）cm.（1）解：∵AD

是△ABC

的角平分線，DC⊥AC，DE⊥AB，垂足為E，

∴DE=CD=4cm（角平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊的距離相等）.ACBED（2）證明：由（1）的求解過程易知，

Rt△ACD≌Rt△AED（HL）∴AC=AE（全等三角形的對應(yīng)邊相等）.∵BE=DE=CD，∴AB=AE+BE=AC+CD.ACBED練習(xí)鞏固提升一、三角形內(nèi)角、外角平分線的綜合應(yīng)用

1.如圖，∠MAC

和∠NCA

是△ABC

的外角，∠ABC的平分線BD

與∠MAC

的平分線AD

交于點(diǎn)D.求證：CD平分∠ACN.二、三角形的角平分線與垂直平分線的綜合

2.如圖，在△OBC

中，BC的垂直平分線交BC

于點(diǎn)P，交∠BOC

的平分線與點(diǎn)D，DM⊥OC

于點(diǎn)M，DN⊥OB

交OB

的延長線于點(diǎn)N.（1）若∠BOC=60°，求∠BDC

的度數(shù)；（2）若∠BOC=α，則∠BDC=_____；（3）寫出OB，OC，CM

之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.（2）∠BOC=α，則∠BDC=_______；180-α隨堂演練

1.有一塊三角形的草坪，先要在草坪上建一座涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪三條邊的距離相等，則涼亭的位置應(yīng)選在（）

A.三條角平分線的交點(diǎn)

B.三邊的垂直平分線的交點(diǎn)C.三條中線的交點(diǎn)D.三條高所在直線的交點(diǎn)A2.3.如圖，直線a，b，c

表示三條公路，現(xiàn)要建一個貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有（）一處兩處三處四處D

4.如圖，在Rt△ABC

中，∠ACB=90°，∠CAB=20°，∠ACB

的平分線與外角∠ABD的平分線交于點(diǎn)E，連接AE，則∠AEB

的度數(shù)為______.45°

5.如圖①，在△ABC

中，P

是∠BAC的平分線與BC

的垂直平分線的交點(diǎn)，PK⊥AB

于點(diǎn)K.（1）求證：①AB+AC=2AK；②AB-AC=2BK.（1）證明：①如圖①，連接PB，PC，過點(diǎn)P

作PM⊥AC

于點(diǎn)M.∵PK⊥AB，PM⊥AC，∴∠PKB=∠PMC=90°.∵P

是∠BAC

的平分線與BC

的垂直平分線的交點(diǎn)，∴PK=PM，PB=PC.∴Rt△BPK≌Rt△CPM（HL）.∴BK=CM.∵PK=PM，AP=AP，∴Rt△APK≌Rt△APM（HL）∴AK=AM.∴AB+AC=AK+BK+AM-CM=2AK.②∵AB-AC=（AK+BK）-（AM-CM）=AK-AM+BK+CM，AK=AM，BK=CM，∴AB-AC=2BK.（2）如圖②，若將題中“∠BAC

的平分線”改為“∠BAC

的外角∠BAD

的平分線”，其余條件不變.①寫出AB，AC與AK

之間的數(shù)量關(guān)系式：________________；②寫出AB，AC與BK

之間的數(shù)量關(guān)系式：________________.（不用證明）2AK+AC=ABAB+AC=2BK（3）當(dāng)∠BAC=120°時，請分別寫出（1）和（2）中AB，