【數(shù)學】復數(shù)的乘、除運算課件-2024-2025學年高一下學期數(shù)學人教A版（2019）必修第二冊

第七章<<<7.2.2復數(shù)的乘、除運算1.掌握復數(shù)代數(shù)形式的乘、除運算，并理解復數(shù)乘法的運算律.(重點)2.會在復數(shù)范圍內(nèi)解方程.3.了解in的周期性.學習目標兩個實數(shù)的積、商是一個實數(shù)，那么兩個復數(shù)的積、商是怎樣的？復數(shù)的加減運算把i看作一個字母，相當于多項式的合并同類項，那么復數(shù)乘法是否可以像多項式乘法那樣進行呢？導語一、復數(shù)乘法的運算法則和運算律二、復數(shù)代數(shù)形式的除法運算課時對點練三、在復數(shù)范圍內(nèi)解方程隨堂演練內(nèi)容索引四、in的周期性及其應用一復數(shù)乘法的運算法則和運算律類比多項式的乘法，我們該如何定義兩個復數(shù)的乘法呢？問題1提示復數(shù)的乘法法則如下：設z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)是任意兩個復數(shù)，那么它們的積(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i.類比實數(shù)乘法的運算律，你認為復數(shù)的乘法滿足哪些運算律？請證明你的猜想.問題2提示

猜想：對于任意z1，z2，z3∈C，有：(1)交換律：z1z2=z2z1；(2)結合律：(z1z2)z3=z1(z2z3)；(3)分配律：z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.證明：設z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i.(1)∵z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i，z2z1=(a2+b2i)(a1+b1i)=(a2a1-b2b1)+(b2a1+a2b1)i，且a1a2-b1b2=a2a1-b2b1，b1a2+a1b2=b2a1+a2b1，∴z1z2=z2z1.(2)∵(z1z2)z3=［(a1+b1i)(a2+b2i)］(a3+b3i)=［(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i］(a3+b3i)=［(a1a2-b1b2)a3-(b1a2+a1b2)b3］+［(b1a2+a1b2)a3+(a1a2-b1b2)b3］i=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3-b1b2b3)i，同理可得：z1(z2z3)=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3-b1b2b3)i，∴(z1z2)z3=z1(z2z3).(3)∵z1(z2+z3)=(a1+b1i)［(a2+b2i)+(a3+b3i)］=(a1+b1i)［(a2+a3)+(b2+b3)i］=［a1(a2+a3)-b1(b2+b3)］+［b1(a2+a3)+a1(b2+b3)］i=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i，z1z2+z1z3=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a1+b1i)(a3+b3i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i+(a1a3-b1b3)+(b1a3+a1b3)i=(a1a2-b1b2+a1a3-b1b3)+(b1a2+a1b2+b1a3+a1b3)i=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i，∴z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.1.復數(shù)的乘法法則設z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)是任意兩個復數(shù)，那么它們的積(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=

.(ac-bd)+(ad+bc)i2.復數(shù)乘法的運算律對任意復數(shù)z1，z2，z3∈C，有交換律z1z2=_______結合律(z1z2)z3=__________乘法對加法的分配律z1(z2+z3)=___________z2z1z1(z2z3)z1z2+z1z3

計算下列各題.(1)(1-i)(1+i)+(2+i)2；例

1(1-i)(1+i)+(2+i)2=1-i2+4+4i+i2=5+4i.(2)(2-i)(2+11i)(3-4i).(2-i)(2+11i)(3-4i)=(4+22i-2i-11i2)(3-4i)=(15+20i)(3-4i)=5(3+4i)(3-4i)=5×(9+16)=125.(1)兩個復數(shù)代數(shù)形式的乘法運算的一般步驟①首先按多項式的乘法展開；②再將i2換成-1；③然后再進行復數(shù)的加、減運算.(2)常用公式①(a+bi)2=a2-b2+2abi(a，b∈R)；②(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a，b∈R)；③(1±i)2=±2i.

反思感悟

(1)計算：(1-i)2-(2-3i)(2+3i)等于A.2i-13 B.13+2iC.13-2i D.-13-2i跟蹤訓練

1√(1-i)2-(2-3i)(2+3i)=1-2i+i2-(4-9i2)=-13-2i.(2)若復數(shù)(1-i)(a+i)在復平面內(nèi)對應的點在第二象限，則實數(shù)a的取值范圍是A.(-∞，1) B.(-∞，-1)C.(1，+∞) D.(-1，+∞)√

二復數(shù)代數(shù)形式的除法運算類比實數(shù)的除法是乘法的逆運算，你認為該如何定義復數(shù)的除法運算？問題3

(1)若復數(shù)z滿足z(2-i)=11+7i(i為虛數(shù)單位)，則z為A.3+5i B.3-5iC.-3+5i D.-3-5i例

2

√

-2+i

反思感悟復數(shù)的除法法則在實際操作中不方便使用，一般將除法寫成分式形式，采用“分母實數(shù)化”的方法，即將分子、分母同乘分母的共軛復數(shù)，使分母成為實數(shù)，再計算.復數(shù)的除法運算法則的應用

跟蹤訓練

2√

三在復數(shù)范圍內(nèi)解方程

已知1+i是方程x2+bx+c=0(b，c為實數(shù))的一個根.(1)求b，c的值；例

3

(2)試判斷1-i是不是方程的一個根.由(1)知方程為x2-2x+2=0，把1-i代入方程，左邊=(1-i)2-2(1-i)+2=0=右邊，即方程成立.∴1-i是方程的一個根.延伸探究若將條件中的“1+i”改為“1+ai”，判斷a與c之間的關系.因為實系數(shù)復數(shù)方程的兩根互為共軛復數(shù)，所以另一根為1-ai，所以(1+ai)(1-ai)=c，即1+a2=c.故a與c之間的關系為1+a2=c.

反思感悟與復數(shù)方程有關的問題，一般是利用復數(shù)相等的充要條件，把復數(shù)問題實數(shù)化進行求解.根與系數(shù)的關系仍適用，但判別式“Δ”不再適用.解決復數(shù)方程問題的方法

已知關于x的方程x2+(k+2i)x+2+ki=0有實根，求這個實根及實數(shù)k的值.跟蹤訓練

3

四in的周期性及其應用

例

4√

反思感悟i4n=1，i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i(n∈N*).in的周期性中常用結論

跟蹤訓練

4√

1.知識清單：(1)復數(shù)的乘法及運算律.(2)復數(shù)的除法運算.(3)在復數(shù)范圍內(nèi)解方程.(4)in的周期性.2.方法歸納：分母實數(shù)化、配方法、求根公式法.3.常見誤區(qū)：分母實數(shù)化時忽視i2=-1造成運算錯誤.隨堂演練五12341.若a，b∈R，i為虛數(shù)單位，且(a+i)i=b+i，則A.a=1，b=1 B.a=-1，b=1C.a=-1，b=-1 D.a=1，b=-1√∵(a+i)i=ai-1=b+i，∴a=1，b=-1.

1234√

3.方程x2+3=0在復數(shù)范圍內(nèi)的解為x=

.

1234

1234

1234

課時對點練六答案題號12345678答案AABCABBD--1-3i題號11

121314

15答案ADACD

A對一對123456789101112131415169.

答案1234567891011121314151610.

答案1234567891011121314151616.

答案1234567891011121314151616.

答案1234567891011121314151616.

答案123456789101112131415161.若復數(shù)z=(1-i)(2+i)(i為虛數(shù)單位)，則z的虛部為A.-1B.-i C.-2D.1123456789101112131415基礎鞏固√16因為z=(1-i)(2+i)=2+i-2i-i2=3-i，所以z的虛部為-1.答案2.設復數(shù)z1，z2在復平面內(nèi)的對應點關于虛軸對稱，z1=2+i，則z1z2等于A.-5 B.5 C.-4+i D.-4-i123456789101112131415√16由于z1與z2在復平面內(nèi)的對應點關于虛軸對稱，則z2=-2+i，則z1z2=(2+i)(-2+i)=-1-4=-5.答案

√12345678910111213141516√答案12345678910111213141516

答案123456789101112131415

√16答案12345678910111213141516

答案

123456789101112131415√16

答案

12345678910111213141516√√答案12345678910111213141516

答案123456789101112131415

16答案123456789101112131415

-1-3i16

答案

12345678910111213141516

答案

12345678910111213141516

答案

12345678910111213141516

答案12345678910111213141510.已知復數(shù)z=1-2i.(1)若zz0=2z+z0，求復數(shù)z0的共軛復數(shù)；16答案12345678910111213141516

答案123456789101112131415(2)若z是關于x的方程x2-mx+5=0的一個虛根，求實數(shù)m的值.16答案12345678910111213141516因為z是關于x的方程x2-mx+5=0的一個虛根，所以(1-2i)2-m(1-2i)+5=0，即(2-m)+(2m-4)i=0.又因為m是實數(shù)，所以2-m=0，且2m-4=0，所以m的值為2.答案

123456789101112131415√綜合運用16答案12345678910111213141516

答案

123456789101112131415√16答案1234